不确定的相关中断下可靠性设施选址设计外文翻译资料

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不确定的相关中断下可靠性设施选址设计

摘要：大多数先前的关于可靠性设施选址设计的研究都认为，在不同地点的中断是相互独立的。本文中，我们提出了一种模型，该模型可以将干扰与不确定的联合分布相关联，而且我们运用分布式鲁棒优化方法将最坏情况下的期望成本最小化，并给出边际破坏概率。最坏的分布情况对破坏传播有实用解释，它的稀疏结构可以有效地解决问题。我们的数值结果表明，忽略中断相关性可能导致在源灾难概率、破坏传播效应和服务中断惩罚等关键因素中的损失显著增加。另一方面，鲁棒模型会导致非常低的遗憾，即使是独立的中断，并且在中断轻微相关的情况下，开始超越模型的独立性。鲁棒模型的大部分好处都可以通过非常低的额外成本获得，这使得实现起来很容易。考虑到这些优点，我们相信，鲁棒模型有希望作为解决可靠性设施选址问题的一种替代方法。

关键词：设施选址；供应链中断；分配的不确定性

1、介绍

最近，由于设备损坏和生产或服务中断，严重的供应链中断造成了重大的损失。在设施受到随机干扰的情况下设计可靠的供应链，引起了业界和学术界的空前关注。例如，IBM推出了业务连续性和弹性服务，以帮助企业评估其中断风险，并通过优化规划和设计提高其弹性。福特汽车公司实施了一种量化模型，评估采购和供应商选择的中断风险（Simchi-Levi 等，2014）。在运营研究和管理科学领域，可靠的设施定位设计已经被广泛的研究（例如，Snyder and Daskin 2005，Cui 等2010，Lim 等2010）。

在大多数现有可靠的设施位置文献中，不同地点的干扰被认为是独立的。然而，在实践中，相关中断被广泛地观察到。首先，如地震、海啸和飓风等大规模的自然灾害，通常会造成巨大的地理区域的损失。例如，在2012年10月，飓风“桑迪”导致了15个不同州的790万家企业和家庭断电（CNN 2014年）。其次，恶劣的天气条件，如龙卷风和暴风雨，往往会在短时间内大规模爆发。例如，在2013年5月，3天内在8个不同的州发生了61次龙卷风，造成的总损失估计达30亿美元。在这种情况下，多个设施可能会因一场大规模灾难或多个短时间内发生的严重天气灾害而同时中断。

中断相关性可以显著影响供应链所面临的中断风险的严重程度。我们稍后会看到，它也会影响最优设施选址设计。然而，由于估计、建模和优化方面的困难，大多数现有的可靠的设施定位设计文献只考虑了独立的中断。在本文中，我们提出了一个分布的鲁棒优化模型，用于整合相关中断。我们假设，这些中断具有未知的联合分布，并在给定的边际中断概率的最坏的情况分布下将期望成本最小化。利用一类被广泛研究的可靠设施选址问题的结构性质，我们得出了最坏的分布形式，并给出了实际的解释。最坏情况分布的稀疏结构也允许我们把这个看似复杂的问题转化成一个简单得多的问题，并有效地解决它。

我们将鲁棒模型的最优解与基于独立中断假设的传统模型的最优解进行比较。我们特别感兴趣的是模型错误规范造成的遗憾或损失，当一个模型的最优解在另一个模型中被错误地使用时，成本会增加。我们发现，忽略破坏相关性可能会导致重大损失。另一方面，在独立中断下应用鲁棒模型会导致更低的成本增长。我们研究了源灾害概率、破坏传播效应和服务中断惩罚等关键因素对这两种模型的遗憾。我们发现，随着这些因素的增加，传统模型的遗憾会急剧增加，而鲁棒模型的遗憾只会略微增加或基本保持不变。我们还比较了两个模型在不同程度上的相关性，并发现尽管鲁棒模型是基于最坏情况的相关性，但当破坏只是轻微相关时，它仍然比传统模型表现得好。通过考虑由最坏情况预期成本和正常运营成本组成的加权平均目标而不中断，我们发现鲁棒模型的大部分好处可以用非常低的额外成本来获得。

考虑到这些优点，我们相信这个鲁棒模型可以作为解决可靠性设施选址问题的一个有希望的替代方案。它不需要任何额外的模型输入，因此可以直接应用于假设独立中断的传统方法正在解决的现实问题中。鲁棒模型还需要更少的计算工作，因此，它可以用来有效地解决大规模的问题。

本文的其余部分安排如下。在2中我们回顾相关文献。在3中，我们提出了分布式鲁棒可靠性设施选址模型及其等效公式。在4的例子中，我们给出了一个使用现实生活中数据的供应链网络设计实例，并利用模拟数据进行了数值研究。在5中，我们总结了结果并讨论了未来工作的方向。

2、文献综述

斯奈德等人（2014）确定了两种可靠的设备位置模型:随机（S）模型和鲁棒（R）模型。随机模型进一步分为四个主要类别:基于场景的（SB）模型、隐式公式（IF）模型、可靠备份（RB）模型和连续近似（CA）模型。对于鲁棒模型，大多数文献都是基于中间值（IM）模型的。表1总结了这些类别中的一些文献。要获得更全面、更详细的讨论，请参阅斯奈德等人（2014）。

接下来，我们将讨论为什么文献中的大多数模型都不适用或适用于相关的干扰。IF模型是基于隐式计算每个设施服务客户的概率，这需要假设独立的中断。RB模型假定在所有的中断场景下，每个客户都由固定的完全可靠的设施进行备份。中断相关性不会影响到一个客户必须重新路由到更远的备份设施的可能性。事实上，如果备份设施具有无限的容量(据我们所知，所有使用RB模型的文献都假定)，中断相关性将不会影响预期的成本。“IM模型”关注的是所有可能场景中最坏的中断场景，但它不考虑任何概率分布。因此，它不能模拟中断相关性。当在自然灾害和恶劣天气灾害的威胁下设计供应链时，中断通常遵循正相关的概率分布。此外，当多个供应商或配送中心中断时，供应通常必须从更遥远的地方运输。因此，上述的模型可能不适用。

SB模型可以使用样本平均近似（SAA）来合并相关的中断。据我们所知，唯一一篇认为SAA方法可靠设施位置的论文是沈等（2011），假定独立的中断。他们的结果表明，与贪婪的启发式算法相比，SAA方法的表现相当糟糕。对于相关中断，人们可以预计，SAA的性能与独立中断一样糟糕，因为相关的伯努利随机变量的联合分布没有明确的定义，而且这种分布的模拟比从独立分布中模拟更困难。SAA方法的另一个缺点是，它需要了解中断相关性。在实践中，确切的相关性可能是未知的，只有边际破坏概率是已知的。例如，在4的例子中，我们给出了一个供应链网络设计的例子，其中利用来自美国国家海洋和大气管理局（NOAA）的恶劣天气灾害概率数据估计边际破坏概率。另一方面，中断相关性是不可用的。

据我们所知，CA是唯一一种成功应用于整合相关中断的方法。李和欧阳(2010)考虑了条件破坏概率的情况。他们发现，当干扰呈正相关时，预期成本会更高。他们的数值研究表明，当破坏概率和服务中断惩罚都很高时，相关性对预期成本的影响是显著的。Lim 等（2013）考虑了具有容量的备份设备的RB模型的CA模型。他们的主要目的是研究错误指定的破坏概率和/或相关的相关性。他们发现，预期成本在相关性上增加而在容量上下降。计算结果表明，与联合超估计相比，中断概率和相关性的联合低估导致更高的损失。伯曼等人（2013）认为，连续的2-中值和2-中心问题仅限于一个单位线段。它们根据中断概率和相关性推导出最佳位置的轨迹。

我们的模型和基于CA模型的模型之间的主要区别是，我们的模型是一个离散的位置模型，而CA模型是一个连续的位置模型。连续位置模型要求需求点可以通过连续函数正确地近似，并且潜在位置不限于给定候选地点的集合。尽管在某些情况下，这些条件可能是成立的（例如，城市地区的个人客户可以通过一个连续的函数来近似），但在许多其他情况下，这些条件可能不成立。我们考虑了一个详细的供应链设计问题，在这个问题中，离散的需求点分布在一个大的区域，而仓库和配送中心的潜在位置被限制在许多候选地点。因此，我们认为离散模型更适合这个场景。

考虑到模型的性质和具体设置的不同之处，将本文和基于CA的论文的结果和见解进行简单的比较可能并不完全合适。尽管如此，我们还是注意到了以下几个关键的区别。首先，李和欧阳（2010）发现忽略相关性的遗憾通常并不显著，与之相反，我们发现，在使用真实的数据的供应链网络设计实例和使用模拟数据的数值研究中，这种遗憾是显著的。此外，我们发现，这种遗憾远远高于在独立的干扰下使用稳健设计的遗憾。此外，李和欧阳（2010年）发现，当中断相关时，开放设施的数量较少，而我们发现是相反的情况。其次，Lim 等（2013）发现，单纯的中断相关的错误设定的影响非常有限的。我们发现，仅在相关性上的错误规范也可能导致重大损失，并高估相关性（即假设最坏情况的相关性）总的来说比低估要好（即假设独立）。

最近，一些论文研究了在不同位置之间具有确定性的相互依赖结构的离散位置模型。Liberatore等人（2012）认为是一种相互依赖的“涟漪效应”，即其中一个地点的中断将导致附近的设施失去固定的容量。他们在IM模型中加入了涟漪效应，并进行了强化决策。我们的模型与Liberatore等人（2012）的不同之处在于，IM模型是用于确定给定的位置设计的最坏情况，而我们的模型是为了确定最优的设计。另一个不同之处是，我们考虑了相关的随机干扰，而Liberatore等人（2012）则考虑了位置之间的确定性相互依赖结构。李等人（2013）考虑了一种称为“支持站”的不同类型的相互依赖关系，即设施需要由几个支持站提供资源。因此，支持站的独立中断将导致设施的相关中断。我们的模型不需要支持站的特殊结构，因此可以在更一般的环境下应用。

总之，我们的模型与现有文献的研究结果有很大的不同。与基于CA模型的模型相比，我们的模型是一个离散的模型，它适用于更一般的问题设置。从我们的数字结果中可以得出新的见解。与Liberatore等人（2012）和李等人（2013）的模型相比，我们的模型是基于相关的随机干扰，而不是确定性的相互依赖结构。

3、模型和公式

在这一节中，我们研究了可靠的无容量固定电荷位置（RUFL）问题，说明了可信赖的设施选址问题的分布鲁棒优化模型。同样的方法可以应用于其他广泛研究的可靠的设备位置问题，包括p-中值问题、容量固定的固定电荷位置问题和多分配中心位置问题。

分布式鲁棒优化已被广泛的研究，并应用于各种运营管理的问题。更具体地说，我们的模型属于边际矩模型（bertsimet等人2004）。Agrawal等人（2012）也研究了边际矩模型。他们的关注点是，从忽视对一类问题的相关性而产生的遗憾中，得出一个上限。大多数的可靠性设施选址模型不在这类中，这意味着忽略相关性会导致大量的遗憾。

尽管考虑到最坏情况的分布是保守的，但我们相信这通常是合理的。首先，先前的研究表明，在供应链风险管理中，管理者更关心“最大风险”，即最坏的情况（唐2006）。其次，我们稍后会讨论，DR-RUFL问题的最坏情况的分布有一个实际的解释。对于某些类型的中断，如地震，最坏情况的分布与实际分布更接近于独立分布。第三，由于实际分布通常是未知的，考虑到边际概率，人们可以应用假设独立中断的传统模型，或者应用考虑最坏情况的DR-RUFL模型。我们的数值结果在4表明，即使中断只是轻微相关，后一种选择的表现也优于前者。此外，在最坏的情况下，最优解决方案的实现并不昂贵，而且它的大部分好处都可以通过非常低的额外成本实现。

4、数值结果

在这一节中，我们使用数值结果来说明分布鲁棒模型相对于传统模型的优越性，该模型假定独立的中断。首先，我们将给出供应链网络设计的实例，并说明考虑中断相关性如何影响优化设计。然后，我们将在数值研究中与模拟数据进行比较，并得出管理见解。

4.1、供应链网络设计实例

在恶劣天气的威胁下，我们采用可靠性分布式鲁棒优化设施选址模型，解决了供应链网络设计问题。供应链操作数据是由Ballou（2004）的一个案例研究所采用的。一家生产一系列工业清洗剂的公司正在规划其配送中心（DC）网络，为其在美国48个连续州的客户提供服务。该公司拥有超过7万名个人客户，这些客户被汇总为191个需求点。根据历史销售数据，需求总量估计为1.47亿英镑，有45个潜在的DC位置。开设DC的固定成本与单位存储成本成正比。利用线性回归模型对各DC的单位运输成本进行估计，并将其作为旅行距离的函数。

我们认为，供应链受到了严重的天气危害的威胁。我们使用来自NOAA风暴预测中心的数据来估计DC的边际破坏概率。有关数据集的更多细节可以在在线附录中找到。当一个DC被中断时，分配给它的需求点必须由其他DC来服务，这会导致成本的大幅增加。此外，当多个DC被中断时，一些客户可能会经历服务中断。服务中断的惩罚将是产品价值的9倍，以反映所期望的服务级别。考虑到这些投入，我们将寻求设计一个可靠的供应链，以最大程度地减少由DC的固定成本和预期的运输/惩罚成本构成的总成本。

由于只有边际干扰概率可用，我们面临两种选择。第一种假设是，这种中断是独立的，因此适用于传统的RUFL模型（例如，崔等人2010）。图1中显示了最优设计（I），其中的方块代表了DC，点表示需求点，而这些线代表了需求点对DC的分配。第二种选择是考虑所有已知的边际破坏概率的联合分布，并应用DR-RUFL模型。最优设计（R）如图2所示。这两种设计都在表2中进行了总结。我们可以看到这两种设计非常相似。如表3所示，当没有干扰时，或者当中断独立时，设计I的性能比设计R稍微好一点，实现设计R将使成本增加1.48%或1.1.37%。然而，在最坏的情况下，设计R的性能要比设计I好得多，实现设计I将使成本增加超过25%。

为了理解为什么在相关的干扰下，设计I能造成如此大的成本增加，考虑纽约、纽约和底特律的两个DC，在设计I中，这两个DC处理了超过45%的销售。对于分配给他们的许多需求点，这两个DC中的一个作为另一个的主要备份。然而，由于它们的边际破坏概率非常接近（分别为0.05和0.06），它们的中断之间的相关性可能高达90%。当这两个都被打乱时，最接近的备份DC是Covington，KY。然而，该DC的中断概率为0.09，因此无法在最坏的情况下提供有效的备份。因此，当纽约DC和底特律DC都受到干扰时，大量货物必须从一千多英里以外的DC运来，这将带来额外的成本。在设计R中，一个更

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