基于工程模型的多阶段过程统计控制外文翻译资料

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基于工程模型的多阶段过程统计控制

Liming Xiang¹，FUGEE TSUNG²

¹新加坡，南洋理工大学，物理和数学科学专业

²香港清水湾，香港科技大学，工业工程和物流管理专业

邮箱：season@ust.hk

2005年8月收稿，认可于2006年3月

大部分的制造企业的制造过程是由大量过程阶段组成。大量的文章已经讨论了关于物理机械规律下线性空间形态的多阶段过程模型。这种模型描述了多阶段过程间的质量联系。然而，最近关于多阶段过程统计过程的研究大多没有使用这种方法模型。统计过程控制的目的是描述在工程状态模型下的多阶段过程控制。就像第一阶段spc分析的描述，依赖于EM算法的最大似然估计已经得到了发展。现在，复杂的多阶段控制问题已经转化为了单阶段控制问题，只需在控制模型前加一步指数加权移动平均的计算便可。平均运行链长的结果展现了指数加权移动平均的重要性。此方法的有效性表明了此方法可以应用于不论是全自动生产商还是装配生产线。

关键词：多阶段过程，线性状态空间模型，EM算法，EWMA组控制图

1. 绪论

传统的统计过程控制方法是为了改进质量，通常是用于制造业和服务业中的单阶段过程。相关的研究结果已经由Lowry和Montgomery（1995），Woodall和Montgomery（1999），Stoumbos et al（2000）发表。大部分的制造过程譬如电路板刻画、半导体制造、全自动装配过程。但是，很少是单阶段过程，而是多阶段过程。在这种多阶段过程中，下一阶段的操作会受到上一阶段操作结果的影响。并且，在多阶段过程中，产品或部件也会在运输途中受到额外因素的影响，而这些绝对不会发生在单阶段过程中。

在近些年的文献中不难发现，多阶段过程应用的身影。Zhou、Huang、Shi（2003）论述了一个二维汽车车身制造的实例，它包含了多阶段制造过程，诊断了表面光洁度和尺寸缺陷度两方面问题。他们也发表了另一篇实例，包括上百个不同阶段，其中30多步均用来制造发动机盖。Djurdjanovic和Hi（2010）研究了包含大量复杂阶段的制造过程。

近来，传感器和信息技术的发展带动了自动收集数据技术的发展，它被大量应用在复杂的多阶段过程中。所以，与质量管理有关的数据和信息是现成的。在多阶段过程管理中应用工程和统计方法给从业者带来了巨大的乐趣。

尽管从业者在多阶段过程中定义和发现失控状态是对质量提升非常有帮助的，但是，从业者并不是简单地将单阶段的spc拓展成为多个状态，这些过程是相互联系的，上一阶段的输出影响着下一阶段的活动。高效的和有效的多阶段过程控制和管理面临着多阶段过程复杂性提升的挑战。

检测多阶段过程失控状态，一方面可以在最后阶段应用SPC技术来监控质量，就像休哈特控制图一样。累积和指数加权移动平均控制图用于单变量质量控制。Hotellingrsquo;sT²控制图应用于多变量的情况。然而，这些单变量和多变量工具均是应用于单阶段过程，不能有效的定义多阶段过程的失控状态。亦或，另一方面可以分别绘制控制图来监测每个独立的阶段。但是，这一方法忽略了在特定阶段的质量受着上一阶段输出质量的影响。这种多阶段过程的级联效应给统计过程监测和诊断带来了巨大的挑战。

当过程变量相关时，霍金（1991，1993）研发了回归平差方法，这成为了从业者们的首选。更多的关于回归平差方法的研究是Lowry和Montgomery（1995），Rao et al.（1996），Hauck er al.（1999）进行发表的。通过这个方法监控制造过程的特定阶段，输入的质量变量和输出的质量变量就存在着回归关系。由于它能解决多阶段过程的级联特性，因此霍金的方法被应用于解决多阶段过程的控制问题。特别的，Hauck论述了在过程均值在不同方向不变化时控制回归平差变量。Rao等人基于贝叶斯统计框架，解决了在多阶段制造过程中霍金回归平差方法的应用。Zantek等人应用联立方程的方法描述质量测量与多阶段在一个过程中的统计关系。然而，自从不同阶段的质量具有高度相关性，直接用回归平差的方法监控回归模型残差将会有与共线性导致错误出现。

在回归平差方法中经常出现共线性问题，这一问题应用选控方法便可以有所缓解，Zhang（1984，1985，1989，1992）、Wade、Woodall（1993）评论到。选控方法在原则上与回归平差控制图方法相似。特别的，当前阶段的质量变量较之前阶段的质量变量有些退化。选控控制图是建立在休哈特和其它基于独立同分布的回归模型的残差的基础上。当控控制图发出信号时，当前阶段失去控制。与回归平差方法有所不同，这些方法仅仅包括回归模型中相邻的两个阶段，并且仅会导致容易认定的失控步骤。现今关于多阶段过程的选控图的潜在研究包括Shu和Tsung（2003），Shu等人（2003），Shu等人（2004）。

由于缺乏工程背景和知识，统计模型方法通常不能明确的描述各阶段间的关系，它的本质是合并多阶段的工程背景并分析，以更有效的过程控制和监测。因此，基于工程模型的多阶段过程监测吸引了研究者和工程师的兴趣。

大量的文章应用多阶段工程模型与线性状态空间模型结构来阐述多阶段过程的质量信息，这一结构基于物理规律和工程背景。Jin和Shi（1999）；Ding、Ceglarek、Shi（2002）；Ding等人（2005）应用这一方法于死板的装配过程。Djurdjanovic和Ni（2001）；Huang等人（2002）；Zhou、Ding、Chan、Shi（2003）；Zhou、Huang、Shi（2003）应用之一方法于多阶段机械制造过程。Agrawal等人（1999）、Lawless等人（1999）发现了一个AR（1）模型，可以应用于线性动态空间模型，以代表不论是多阶段装配还是制造过程中的变量转换。线性状态空间模型提供了应用于建模、分析、诊断多阶段过程的工程分析工具。然而，基于这种工程模型的过程控制和监测还有待深入探索。

在这篇文章中，我们建立了一个基于工程模型、为了多阶段过程质量管理的统计监测步骤。特别的，在线性状态空间模型中考虑物理和机械规律的工程模型，被应用于描述各个阶段过程之间的质量关系。EM算法模型用来获得模型中参数的最大似然估计，接着，霍金（1991，1993）发现与回归平差方法原则相似。我们建立一个基于独立同分布的EWMA组图，可以提前一步预测模型的错误，从而将复杂的多阶段监测问题转化为单阶段监测问题。建立监控计划的性能，然后通过仿真研究评估已知的和未知的过程参数。这个方法通过两个实例详细地说明。

2、线性状态空间形态在多阶段模型中的应用

过程数据发生的分层性质暗示了两阶段模型。第一阶段包括输入体系质量数据的适应性和质量信息。第二阶段模型是将质量信息改变为从以前过程阶段收集的功能信息。一个通用的线性状态空间模型可以暗示这两个层次的性质。假设一个过程有n个阶段，应用Zhou、Huang和Shi（2003）给出的相同符号，在受控过程k阶段质量测量值的线性状态空间模型可以被归纳为：

y_k=C_kx_k v_k,

x_k=A_kminus;1x_kminus;1 w_k, （1）

对于k=1,2，......,N，x_K表示不可观察的产品质量信息，例如零件尺寸的偏差。w_k表示过程噪声进程，就像常见的原因变化和不能模拟的错误。v_k代表产品质量的测量错误。A_k-1x_k-1表示质量信息从k-1阶段转化到k阶段。C_k表示过程状态x_K和质量测量值y_k之间的联系。A_k和C_k表示k阶段的常数矩阵，这由工程背景派生或估计得来，指明物理规律和过程/产品设计信息。Jin和Shi（1999）；Ding、Shi、Ceglarek（2002）阐述了过程/产品设计如何决定系统矩阵A_k和C_k的详细过程。特别是单变量情况下，, 的方差取决于阶段指数k和初始状态，a₀和tau;²已知。值得注意的是，模型（1）的第二个方程和Zhang（1992）的控选模型相似，但是有着不同的意义。在控选模型中，只有考虑了一个影响因素。然而，模型（1）适合更多的实际工艺条件。

本研究方法检测过程是否失控，相当于测试公司的目标均值y_k是否有所转变。这种失控条件可能是由于过程中的夹具误差、加工误差、热误差等所致。Jin和Shi（1999）使用线性状态空间模型来描述多阶段装配过程。在模型（1）第二个方程的右边加入一个新的术语B_ku_k来表示k阶段的过程故障。u_k是k阶段的夹具偏差；B_k是输入矩阵，这一矩阵表示夹具偏差如何影响k阶段的过程偏差。在过程监控中，进行一个合理的假设，偏差或错误在受控过程中是零形态的（即，忽略了控制模型中的B_ku_k术语）。如果现阶段的操作（例如，夹具）是明显的偏差，被认为是失控的，应由建议的图表计划检测。

指出，即使在正常的操作环境，不同的阶段有不同的工艺手段和不同的基于k阶段的固有额外变量。这意味着更复杂的过程监测问题，这超出了现有论文的研究范围。因此，为了简化问题，并纳入SPC方法，现在的研究聚焦于常规操作条件下的多阶段过程。在同一过程的不同阶段，每一阶段均属于受控状态，但没考虑固有额外变化。

为了解决多阶段过程移动的均值向量和这阶段导致的额外变化，Zhou等人（2004）将线性状态空间模型转变为方差器件模型。他们建议利用统计方法，就像参数估计和假设检验。这关系到研究的目标，检测和识别多阶段过程中的根本原因。然而代替模型的故障过程，我们开始建立一个受控模型，然后应用SPC监测受控模型的提前一步预测错误。Zhou等人（2004）准确的估计或确切的知道受控过程参数的真实性。然而，在许多实际情况，受控参数必须预先估计。因此，本论文聚焦参数估计和SPC应用于多阶段控制图的设计。

1. 参数估计

SPC应用中的第一阶段分析，模型（1）的未知参数会对这一部分估计和分析。正态假设情况下，估计模型的自然选择方法是最大似然估计方法。Zhou等人（2004）应用一般混合线性模型的典型估计方法估计模型（1）的过程参数。然而，我们应用EM算法计算参数的最大似然估计（MLEs）。本节给出了单变量情形的估计步骤，多变量的对应估计方法在附录中讨论，在6.2节中应用例子说明。

假设y_k,j表示j产品k阶段观测的质量测量值，表示到模型（1）中，j=1......m，k=1......N。这样模型可以写为

y_k,j=C_kx_k,j v_k,j,

x_k,j=A_kminus;1x_kminus;1,j w_k,j, （2）

X_k,j表示将j产品k阶段进行合并后的状态，，, Let。由于包括积分的近似复杂形态，theta;的最大似然估计很难准确获得。在下面的章节中，我们展示如何应用卡尔曼滤波平滑和EM算法获得theta;近似的最大似然估计。

3.1、应用EM算法参数估计

基于模型（2）并且不包含附加常数的参数theta;，添加可观测的数据Y=（y_k,j，k=1,...,N,j=1,...,m）和不可观测的X=（x_k,j,k=1,...,N,j=1,...,m）联合对数似然函数到EM的术语中，得到如下方程

（3）

如果不可观测状态x_k,j的信息是不可用的，EM算法（由M阶段和E阶段）构成可以应用于方程（3）的最大期望条件来间接地最大化对数似然函数。获得考虑theta;的观测值Y={y_k,j,k=1,...,N,j=1,...,m}。Y_k-1={y_1,j,...y_k-1,j,j=1,...,m},micro;_k,j = E(x_k,j|Y), a_k,j = E(x_k,j|Y_k-1)，P_kj =

E(x_k,j - a_k,j)²。给定参数theta;^(t)的当前值，根据完全近似计算E步骤的期望值，如下：

（4）

e_k,j = y_k,j -C_kx_k,j，ecirc;_k,j=E(e_k,j|Y)=y_k,j- C_kmicro;_k,j，h_k,

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