点燃智慧的火花——小学生数学直觉思维能力培养的思考外文翻译资料

Ignite the Spark of Wisdom

——Thinking on the Cultivation of Elementary Studentsrsquo; Mathematical Intuition Thinking Ability

原文作者 Jianhua shen 单位 浙江师范大学丁晖实验小学

摘要：在小学数学学习过程中，直觉思维仍然是学生分析和解决数学问题的重要环节，对启发和发展学生潜在的智力因素和非智力因素起着不可替代的作用。通过对数学直觉思维相关理论和研究成果的分析比较，结合小学生的学习特点，总结出适合小学生数学直觉思维能力培养的四种策略。

关键词：直觉思维；培养；小学数学

一、介绍

《孙子算经》中有一道计算题，“有些项目，具体数字我不知道。如果我数三乘三，剩下两个；如果我五乘五，还剩三个；如果我把它们七乘七，剩下两个，那么这些项目的数量是多少？”著名数学家华罗庚第一次看到这个问题时，很快就想出了答案。他是这样想的：如果我数到三乘三，就剩两个，如果我数到七乘七，也就剩两个，那么数字就可以是3了times;7 2=23，再将5除以23，答案为3。显然，这不是一般的思维方式，而是解决问题的直觉思维。

布鲁纳认为：“直觉就是聪明的推测、丰富的假设和大胆而迅速地得出的实验结论。”数学直觉是人脑对数学对象的一种快速而直接的洞察或理解，其基本形式与直觉的启发和洞察有关。在小学数学教学过程中，直觉思维能力的培养对培养学生思维的灵活性、敏捷性和创造性具有重要意义。

二、鼓励猜想，培养直觉思维能力

著名数学家乔治·波利亚宣称：“要成为一名优秀的数学家，首先必须努力成为一名好的猜测家。”。在教学过程中，教师要有意识地引导学生进行合理的猜想，这有助于培养学生的直觉思维能力。

例如，在分数的加法与分式的练习课上，我让学生做了一组口算练习：1/2－1/7，1/4＋1/7，1/3－1/8。在核对答案后，其中一个学生举手说：“我发现了一条规则，如果你用一个分数加一个分数，那么和的分母就是这两个分数分母的乘积，分子就是这两个分母的和；在减法中，差分的分母是这两个代词的乘积，分子是这两个代词之间的差，“很明显，这个猜想是错误的，虽然我还是表扬了他，但是我让大家用c定律做了几个算术题onjecture:1/4 －1/10 , 1/6＋1/8 ,很快我发现刚才的结论是错误的。于是，我及时问：“各位同学，请仔细想想，为什么错了？”经过讨论，最后得出结论，“前面的规则应该以这两个分母的分母是同素数为前提”，教师要及时肯定学生的猜想，使学生感到心理上的安全和自由，从而大胆地去思考、表达和猜测，运用合理的猜想方法，猜测问题的结论和解决问题的方法，并能从特殊范围到一般范围猜测可能性和知识之间的有机联系，从而真正“触及”自己的研究对象。

三、数形结合，培养直觉思维习惯

数学形象直觉是数学直觉思维的源泉之一。在数学教学中，要引导学生通过深入的观察和联想，使形与数很好地结合起来。利用图形特征诱导直觉，有利于培养直觉思维的敏捷性和准确性。

例如，计算1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128，可以从公式的结构特征得出，后者总是前者的一半。构造图1可以解决这个问题，通过图1可以看出原来的公式等于1-1/128=127/128。

数字与形状的结合有助于进一步理解数学问题，丰富学生的想象力。教师要有意识地提供直观思维的意境和机会，挖掘数形结合的典范，对数形关系进行合理的提示和转化，引导学生用图形直观地学习问题，并借助图形特征来诱导学生的直觉。这些都有助于培养学生直觉思维的敏捷性和准确性。

四、追求美感，寻求直觉思维的源泉

法国数学家雅克·所罗门·哈达玛认为，数学直觉的本质是一种“美感”或“美感”。数学的美感是直觉产生的丰富源泉。

在数学教学中，应引导学生体验和欣赏数学的内在美，培养审美意识，这对提高学生的直觉能力起着至关重要的作用。

例如，制造下列工件需要多少立方厘米（图2）？

学生们通常都在处理计算规则圆柱体体积的问题，而现在他们似乎没有办法从这个问题开始。而如果我们倾向于从养颜的角度来思考，把不规则的变成规则的（图3），我们可以把两个相同的工件做成一个规则的圆柱体，然后计算出它的体积，再除以2。

数学本身蕴含着丰富的审美因素，具有简单性、对称性、相似性、和谐性、奇异性等特点，是激发学生学习数学兴趣的源泉，也是数学直觉的动力。因此，在教学实践中，教师可以用数学美来启发学生，用美的原理来引导学生进行想象和思考，鼓励学生追求数学美，帮助学生实现从情感愉悦到理性理解的转变。

五、为直觉思维打下坚实的基础，创造条件

知识和经验仍然是直觉思维的先决条件。直觉的获得虽然是偶然的，但绝对不是幻想，而是建立在扎实的知识和经验基础上的。

例如，计算3.625times;9.24times;0.75divide;（9times;3times;），如果你一步一步地做，事情会很复杂。如果你能看到三组因子之间的关系，即3.625等于3，9.24等于9，0.75是四分之一的三倍，那么你一眼就能看出答案是3，熟练的分数和小数的相互转换技巧，熟练运用运算法则和性质，是直觉形成的前提。

正如布鲁纳所说：“直觉思维总是建立在对知识领域及其所涉及的结构的熟悉的基础上，使思考者能够跨越、超越、走捷径。”因此，要培养学生的直觉思维能力，首先也是最重要的是使他们能够掌握所学的知识，丰富他们的日常生活和数学学习经验。只有这样，我们才能与所学的知识建立联系，才能理解它们之间的内在联系和差异，才能从纷繁复杂的数学问题中洞察事物的本质，通过类比来理解事物。

我们强调直觉思维在培养创新能力中的重要作用，但并不否定逻辑思维，相反，要注意逻辑思维与直觉思维的互补关系。它们都有一个功能：直觉是发明的工具，逻辑是证明的工具。对于数学来说，直觉思维和逻辑思维形成了数学发展的两翼，二者同等重要。在数学教学中，培养学生的直觉思维应与逻辑思维紧密结合，使二者相辅相成，培养学生的创新思维。

“思维中真正有价值的因素是直觉”，爱因斯坦这样评价直觉的人说。

只有依靠扎实全面的知识背景和教师敏锐的眼睛去发现、去捕捉、去执着的训练，直觉思维才能发出智慧的亮光——闪现奇特的光芒。

外文文献出处：Jianhua Shen. Ignite the Spark of Wisdom——Thinking on the Cultivation of Elementary Studentsrsquo; Mathematical Intuition Thinking Ability[J]. Journal of Educational Theory and Management,2020,4(2).

附外文文献原文

Understanding childrenrsquo;s reasoning in multiplication problem-solving

原文作者 Lianfang Lu^a and Kerri Richardson^b

单位 a:阿肯色大学数学与统计系；b:北卡罗来那大学教师教育与高等教育系

摘要：本文调查了两个来自不同教育背景的儿童在解决多重应用问题时的直觉思维。其中一个孩子在美国南部的一所小学。他在一年级和二年级都遇到了同样的问题。另一个孩子是中国西南地区的一年级学生，她也遇到了同样的问题。研究结果揭示了除了直接建模和计数策略之外，通过加法解决乘法问题的各种直觉思维。作者还讨论了早期初等数学教育中不同的教育背景如何影响儿童在解决乘法问题时的直觉思维和推理。这项研究暗示了理解儿童直觉乘法思想的重要性，并强调了在算术学习的早期阶段发展儿童对乘法思维和代数思维的理解的潜在机会。

关键词：乘法的直觉思维；解决问题；任务型访谈，美国和中国的基础数学教育

一、介绍

你有没有想过学生们什么时候开始进行乘法推理？尤其是儿童乘法推理的发展，在教师和数学教育工作者中引起了大量的质疑。在这项研究中，我们调查了没有正式乘法教学的儿童是如何解决乘法问题的。我们询问学生内在感知的作用，或者我们称之为“直觉思维”的东西对我们来说，直觉思维指的是孩子在正式教学前进行乘法推理的方式。更具体地说，我们研究两个来自不同国家的孩子。对我们来说，了解儿童在不同国家对乘法的直觉思维和其他国家的课程要求，有助于了解我们在美国的情况。

二、 理论视角

（一）文献综述

乘法思维是“灵活运用乘法（和除法）的概念、策略和代表性的能力，因为它们发生在广泛的环境中”（Siemon、Breed和Virgona，2005年，第2页）。乘法推理对于理解分数、比例和函数以及发展代数思维至关重要。这是3-5年级数学教学的重点（NCTM，2001）。尽管在美国，乘法通常在二年级正式引入（CCSSI，2010），但研究表明，幼儿在接受乘法的正式教学之前，对多重复制推理有相当多的知识。早在幼儿园，他们就可以通过各种方法解决有上下文或无上下文的多应用任务（Anghileri，1989；Bakker，Van Den Heuvel Panhuizen和Robitsch，2014；Mulligan和Mitchlmore，1997）。研究人员发现，幼儿可以使用直接建模，结合计数策略，如计数、完全计数和加倍策略来解决乘法问题（Anghileri，1989；Carpenter，Ansell，Franke，Fennema和Weisbeck，1993；Downton，2008；Kouba，1989；Mulligan，1992）。Bakker等人（2014）发现，即使没有实物，一年级学生仍然能够解决乘法任务。此外，上下文问题，尤其是可数物体的图片，以及加倍问题对幼儿来说相对容易，因为这些类型的问题与加法有着更密切的关系（Bakker等人，2014）。

Thompson和Saldanha（2003）在对儿童代数思维的研究中发现，了解加法并不足以形成对乘法的概念性理解。相反，为了理解乘法，孩子们需要将数学对象想象成大小相等的组，并认识到组大小与组数有关（Sullivan、Clarke、Cheeseman和Mulligan，2001）。涉及不同类型数量识别的乘法推理不同于加法推理，加法推理中的数量总是相同的类型（Bakker等人，2014）。通过与孩子们的非正式数学、数学知识和推理建立联系来教孩子们数学是至关重要的。

儿童的非正式知识来源于他们的经验和先验知识。在Bakker等人（2014）进行的调查中，一年级的学生个体表现出不同的解决乘法任务的非正式知识。Bakker等人（2014年）指出，教育背景，如一年级末课堂上使用的数学教科书，对学生的乘法教学前知识有很大影响。文化因素，如父母的教育水平和期望，也会对儿童的非正式知识产生影响（Davis Kean，2005）。中国的基础教育在文化、课程、教学方式和教师知识等方面与美国有很大不同（蔡等人，2005年；马，1999年）。然而，很少有研究强调美国和中国幼儿关于乘法推理的非正式知识的差异。

（二）研究现状

第一作者最初通过基于任务的访谈调查了美国一年级学生在解决乘法问题时的直觉想法（Lu，2013）。本文报告了一项后续研究，考察了他在一年后对乘法理解的增长。它还描述了对中国一年级学生的重复研究。将这种理解与一个具体的例子结合起来，比如对一个来自不同教育背景的孩子进行基于任务的访谈，可以让我们更深入地了解我们可以做些什么来支持小学学生乘法推理的发展。在这项研究中，我们描述了幼儿如何通过乘法推理任务工作。我们特别好奇来自不同国家的学生之间乘法推理的本质，以及直觉思维在乘法推理任务中的作用。

三、方法

（一）参与者

这项研究涉及两名学生：美国南部一所小学的7岁亚裔男孩戴维和中国西南部一所小学的7岁中国女孩莹。David在美国学校参加了一个天才项目，而Ying是学校认定的班里的尖子生。

（二）数据来源和分析

本研究是基于临床访谈，尤其是基于任务的访谈的案例研究。基于任务的访谈研究个体在解决给定问题的过程中的数学行为。

它专注于激发学生的直觉思维，也可以用来评估他们对数学思想的理解。任务型访谈已被广泛用于教育工作者，以了解学生在解决问题时的数学思维，并为改进教学实践提供见解（Goldin，1997）。这项研究的主要任务是“一位老人拿着一根有三根树枝的棍子。每根树枝上有三个笼子。每个笼子里有三只鸟。一共有多少只鸟？”（方，2003）。主要任务是一个乘法上下文问题。它支持对数字关系的理解，并提供灵活的解决方法。为了进一步加深对学生思维的理解，在对两名学生的采访中还采用了一种主要任务的变体。变化情况是：一位老人拿着一根有四根树枝的棍子。每根树枝上都有四个笼子。每个笼子里有四只鸟。一共有多少只鸟？”任务及其变体都旨在“具有深度和响应灵活性，从而能够提供证据，证明不同学科的能力存在巨大差异”（Goldin，2000年，第540页）。

对这两名学生的采访分别在美国和中国进行。为了探索学生在解决问题时的直觉思维，鼓励自由思考的环境至关重要（Goldin，2000）。在对两名学生的所有采访中，研究人员（主要作者）没有对学生的思维过程施加任何想法或判断；相反，研究人员使用“为什么”和“如何”问题来激

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