在数学教育中使用历史的“为什么”和“如何”的分类

摘要：这是一篇理论性的文章，提出了一种组织和组织讨论为什么和如何在数学教学和学习中使用数学史的方法，以及使用历史的论据和这样做的方法之间的相互关系。解决这个问题的方法是提出两组类别，在其中放置使用历史的论据(“为什么”)和做这件事的不同方法(“如何”)。使用历史的论据分为两类;历史是工具，历史是目标。使用历史的方法分为三类:照明、模块和基于历史的方法。这种分类，加上对使用历史的动机的讨论，既关注数学的内部问题(内部问题)，也关注数学的元问题(元问题)，提供了一种排序“为什么”和“如何”讨论的方法。

关键词：在数学教育中使用历史·“为什么”和“如何”·历史作为工具，历史作为目标·辩论的不可或缺性·议题内和元议题·启发、模块和基于历史的方法·遗传原理

1介绍

当阅读有关在数学教育中使用数学史的文献时，人们会遇到各种各样的论点，支持为什么这是一个好主意，以及各种各样的想法，我将分别称之为“为什么”和“如何”。

不幸的是，这样的文学阅读似乎揭示了一些模糊的讨论这些为什么和如何。部分解释可能与许多不同类型的研究人员(数学家、历史学家、教育家等)正在处理的问题有关，每个人都有自己的议程、背景和风格。此外，每个研究人员往往要处理一定程度的教育，可能受到某一国家或地理区域教育当局施加的限制。这并不是说有什么错;相反，为了扩大在教学中应用历史的范围，并传播关于这一主题的现有资料，非常需要进行这种工作。然而，从一般和理论的观点来看，这样的工作并不一定解决讨论中所涉及的核心问题。幸运的是，文献也提供了一些有趣的尝试来分类“为什么”和/或“如何”。当然，任何分类都有其优点和缺点，这些也是如此，新的分类也会如此。

在我看来，现有分类的一个缺点是，它们并没有把“如何”和“为什么”的分类严格地分开。有人可能会说，这是因为“为什么”和“怎么做”可能是如此相互关联，以至于这不是一件非常直接的事情，甚至可能不是一件自然的事情。原则上，一个“如何”的频率会设定或预设一个“为什么”。然而，我的主张是，通过严格地将“为什么”的分类与“如何”的分类分开，可能会获得新的见解，“为什么”和“如何”之间的相互关系也会变得更加清晰。除了提供智力上的清晰，了解“为什么”和“如何”之间的相互联系，可以使我们更容易地用历史来分析教材，例如，看看它是否满足某些要求或目标。我认为，这些知识在决定内容、展示形式和组织方式时也很有用，这些内容涉及到教师和材料设计师对历史的使用。无论如何，使用历史的原因和方法之间的相互关系在文献中并不经常被讨论。因此，在我看来，关于使用历史的讨论将受益于另一个系统的尝试，即创建一个新的平台，让人们可以深入讨论数学史在数学教育中的潜在作用。

1.1研究问题和研究方法

我相信，如果你对数学史在数学教学和学习中的应用感兴趣，它的优点，缺点，可能性，限制，思想等，那么将这种兴趣建立在一个系统和有组织的基础上是值得的

1.为什么历史可以/应该用于数学的教学和学习;

2.历史可以/应该如何在数学的教学中使用;

3.使用历史的论据和方法，即为什么和如何使用历史的论据，在哪些方面是相互关联的?

这三个问题正是本文的重点。回答这些问题的方法是提出两组(新的)类别，在这些类别的基础上，可以处理不同“为什么”和“如何”之间的相互关系。关于这两种分类，重要的是要记住，它们不是绝对的，也不是注定的。它们有一个特定的目的:为分析历史在数学教育中的具体应用创造必要条件，即，如何的具体实现(参见Jankvist, 2007b, 2008)。此外，应该指出的是，这些分类并没有区分在课堂、教科书和不同教育水平(包括教师培训)中使用历史。这些都是集体考虑的。

为了检验提出的“为什么”和“如何提出”的类别，我们考虑了以下研究人员编辑的样本:Swetz、Fauvel、Bekken、Johansson和Katz (1995);Jahnke, Knoche和Otte (1996);Calinger (1996);Katz (2000);Fauvel和van Maanen(2000)编辑的国际数学教学委员会(ICMI)研究，以及来自各种期刊的相关文献，包括数学教育历史专刊和论文集(例如，最近修订的数学历史和教育学论文集(HPM2004)和ESU4)。同时,搜索在过去十年(1998 - 2007)的数学教育研究(ESM),数学教育研究》杂志上(JRME),数学的学习(FLM)和Zentralblatt毛皮Didaktik der Mathematik (ZDM)进行,以确定最近的相关文献,并证明其分类。在ESM中，在这10年的时间里，发现了27篇以某种方式涉及历史和/或在数学教育中使用历史的论文，其中20篇与本文讨论的问题有关(见参考文献)。在JRME、FLM和ZDM中，发现的论文数量分别为1篇(零相关)、4篇(一相关)和0篇。然而，没有一篇论文讨论了ICMI研究中没有涉及的论点或方法，ICMI研究是关于这个主题的最全面、最统一的单一出版物。为此，ICMI研究将主要举例说明提出的“为什么”和“如何”的分类。

关于这些理由，我不久也将谈到这些论点的不可缺少性。在这些例子中，我们将特别注意所谓的遗传原理。在讨论了“为什么”和“如何”，以及它们之间的相互关系之后，我将转向对在数学教育中使用历史的批评，并讨论这些与所呈现的类别之间的关系。

2论点的两类

总的来说，使用历史的论据有两种:一种是将历史作为辅助数学实际学习和教学的工具，另一种是将历史本身作为目标。这两种类型的每一种都构成了它自己的论点范畴。

2.1以历史为工具的争论

“历史作为工具”这一范畴包含了关于学生如何学习数学的争论。这里的一个典型论点是，历史可以成为学生学习和学习数学的一个激励因素，例如，通过帮助维持学生对该学科的兴趣和兴奋，或者历史方法可能会让数学更人性化。通常，过去的数学家们所遇到的数学发展的一些问题也会给今天的数学学生带来麻烦(，学生可以从中获得安慰;伟大的数学家们花了几百年的时间才最终形成了他们现在难以掌握的数学概念。

除了具有这些动机性和更多的情感效应，历史还可能在支持数学的实际学习中扮演认知工具的角色。例如，有一种观点认为，历史可以通过提供不同的观点或呈现方式来改善学习和教学。另一些观点认为，历史现象学可以为假设的学习轨迹的发展做准备，或者历史“可以帮助我们通过学生的眼睛看问题”。

巴舍拉(1938)提出，历史作为一种认知工具的特殊用途出现在识别认识论障碍的过程中。当将认识论障碍的概念纳入他的教学情境理论时，Brousseau (解释道:“真正的认识论起源的障碍是那些人们既不能也不应该逃脱的障碍，因为它们在被寻求的知识中扮演着形成性的角色。”它们可以在概念本身的历史中找到。”由于“学生的某些困难可以围绕历史证明的障碍进行分组”，历史不仅可以帮助识别这些障碍，还可以帮助克服它们:“一个认识论反思数学思想的发展历史可以丰富教学的分析提供了重要的线索可以指定要教知识的本质,并探索不同的方式获得知识”。

1布鲁索的一个重要观点是，历史不应该未经修改就被使用。这个想法是利用历史的“论点，选择一个适合学校使用的概念的起源，并构建或“发明”教学环境，提供这个起源”。

最后一种非常独特的“将历史作为工具”的论证可以被称为“进化论证”，因为他们声称，没有历史就没有数学的学习。进化理论中最明确的论点就是所谓的重演论，它认为“个体发生重演系统发育。”

2根据Furinghetti (2004,p。5)，由德国生物学家和自然哲学家恩斯特·海克尔于1874年提出，被称为“生物起源的基本法则”。海克尔进一步发展了这一思想，他说:“儿童的心理发展只是系统发育进化的一个简短重复”。这个论点可以转化为重演论点，可以这样表述:要真正学习和掌握数学，一个人的思维必须经历数学在进化过程中经历的相同阶段。再现论证不仅适用于数学的整体，也适用于单一的数学概念和理论。通常是单一的数学概念的发展之间的关系,另一个工具参数相关的进化,所谓历史的并行性,提出的“测试”历史并行性问题困难和障碍,出现在历史的观察他们在教室里出现。并行性的概念也可以作为一种方法论或启发式，在数学教育中生成假设。

2.2以历史为目标的争论

“以历史为目标”的论点中包含了这样的论点，即学习数学史的各个方面本身就是有目的的。请注意，当将历史本身作为一个目标时，这不能被误认为是将数学史知识作为一个独立的主题，也就是说，为了数学史而将数学史作为一个独立的主题。相反，重点是发展和进化方面的数学作为一门学科。

从这个意义上说，例如，它被认为是向学生展示数学在时间和空间中存在和发展的目标;这是一个经历了演变的学科，而不是凭空产生的东西;人类参与了这种进化);数学在历史上通过许多不同的文化演变而来，这些文化对数学的形成产生了影响，反之亦然，或者进化是由内部和外部力量驱动的。

从历史作为目标的观点来看，了解数学的历史并不是更好更彻底地学习数学的主要工具，尽管这可能仍然是一个(积极的)副产品。在以历史为目标的过程中，对数学发展和进化方面的学习，要么是为了达到目标本身，要么是为了说明该学科的其他历史方面。

2.3数学的元问题和内问题

另一种将历史描述为目标论证的方式是，它们是学习数学的元方面或元问题的论证。在这里，我指的是从元视角层面来看整个数学学科的问题。建议对这类元问题进行研究的问题示例如下:

数学是如何随着时间发展的?进化过程中可能存在哪些力量和机制?社会和文化环境在这一演变中发挥了作用吗?如果是这样,如何?那么数学是否与文化、社会、地点和时间有关呢?古老的数学也是过时的数学吗?

与“历史为目标”的论证关注的是数学的元问题不同，“历史为工具”的论证关注的是数学的内在问题或内在问题。通过in-issues，我思考与数学概念、理论、学科、方法等相关的问题——内在的数学。例如，学习数字集(N, Z, Q, R, C)，它们的相互关系，它们的基数等，被认为是对问题中的研究。另一方面，了解不同类型的数字的历史发展，以及接受无理数、负数或复数的困难，涉及到数学元问题的各个方面。

中的问题之间的区别和meta-issues有一些相似之处,戴维斯和赫斯(1981),谈论“内在的问题”和“外问题”的数学,或者尼斯(2001 b, 163页),他谈到“从内部的数学知识”和“知识的数学从外面。”然而，当将历史作为目标和历史作为工具的论据分别与元问题和问题中问题联系起来时，应该给出一个警告:如果目的是教授数学的元问题，而我在这里考虑的元问题与学科的发展无关(例如，数学作为一门纯粹的或应用的科学，数学证明的美学，等等)，那么历史只是实现这一目的的工具。只有当元问题与数学的进化、发展等有关时，历史才会成为一个目标。然而，现在让我们来看看ICMI研究中支持在数学教育中使用历史的论据，看看这些论据如何被归入为什么的两类。

3分类ICMI的“为什么”

如第1节所述，数学教育文献提供了大量支持在数学教学中使用历史的论据。然而，在我阅读上述样本(见第1节)期间，我没有遇到任何不能归入上述类别的论点。为了使这一说法显得可信，我将讨论由Tzanakis和Arcavi (2000, pp. 203-207)给出的“列表”——ICMI研究中“支持整合历史的一些论点”。该列表包含17个不同的主题，分别位于以下五个“主要领域”:

(a)学习数学

(b)数学和数学活动的本质

(c)教师的教学背景

(d)对数学的情感倾向

(e)把欣赏数学作为一种文化努力

讨论每个领域内的每个论点需要太多的空间，所以我将从五个主要领域中分别选择论点，并展示如何对它们进行分类。

显然，第一个领域的标题，数学的学习，表明重点是在数学的问题，因此，历史作为一种工具。例如，论点a2(第一个主要领域a下的第二个)谈到历史是一种资源，具有“激发、兴趣和吸引学习者的潜力”(Tzanakis amp; Arcavi, 2000，第204页，a2)。数学学习领域提供了唯一与进化工具有关的论点(在主题a1下)，尽管作者似乎反对重演主义，称“历史最多可以以自然的方式提出可能的方法”，并因此成为教师的灵感来源(Tzanakis amp; Arcavi, 2000, p. 204, a1)。事实上，主题a1更多地处理了这样一个事实，即“生成中的数学”不同于“作为最终产品的数学”(Siu amp; Siu, 1979，p . 563)。也就是说，有些主题可能会把历史作为一个目标来处理，这取决于对历史的解释。论证a3指出，历史可以作为数学和其他学科之间的桥梁(Tzanakis amp; Arcavi, 2000，第205页，a3)。如果这种“跨课程桥梁”的目的是将一些更“流行”的学科引入数学教学，并通过这些学科激发学生学习所涉及的数学，那么这种论证就属于“历史作为工具”的范畴。另一方面，如果它的目的是要表明数学的创造往往是发生在其他科学领域的问题的“后代”，那么它就属于把历史作为目标的范畴。然而，从ICMI研究中a3的讨论来判断，例如，谈到了在显然不相关的科学领域之间建立联系，后者似乎是正确的。在任何方面，为使用历史而提供的论据有时都要加以解释。正是这种解释的结果决定了论证必须被归入哪一类。

关于数学本质和数学活动的领域被作者安排在“内容”和“形式”两个主题下。根据解释，这些主题提供了工具和目标的论点。例如，有人说，“在原始材料的帮助下，甚至从原始材料中摘录，教师和学习者都可能意识到现代数学形式的优点和/或缺点”(Tzanakis和Arcavi, 2000, p. 205, b1)。现在，如果这个论点的观点是关于数学发展的方面，例如，数学技术和符号的发展，那么它就属于目标范畴。但是，如果重点是比较古代和现代的数学，为了说:“看冗长的和麻烦的过去的技术和符号,看看如何不久,我们今天可以做同样的优雅,“那么参数可能被

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Educ Stud Math (2009) 71:235–261 DOI 10.1007/s10649-008-9174-9

A categorization of the “whys” and “hows” of using history in mathematics education

Uffe Thomas Jankvist

Published online: 21 January 2009

copy; Springer Science Business Media B.V. 2009

Abstract This is a theoretical article proposing a way of organizing and structuring the discussion of why and how to use the history of mathematics in the teaching and learning of mathematics, as well as the interrelations between the arguments for using history and the approaches to doing so. The way of going about this is to propose two sets of categories in which to place the arguments for using history (the “whys”) and the different approaches to doing this (the “hows”). The arguments for using history are divided into two categories; history as a tool and history as a goal. The ways of using history are placed into three categories of approaches: the illumination, the modules, and the history-based approaches. This categorization, along with a discussion of the motivation for using history being one concerned with either the inner issues (in-issues) or the metaperspective issues (meta-issues) of mathematics, provides a means of ordering the discussion of “whys” and “hows.”

Keywords Using history in mathematics education · Whys and hows · History as a tool, history as a goal · Indispensability of arguments · In-issues and meta-issues · Illumination, modules, and history-based approaches · Genetic principle

Introduction

When reading the literature on using the history of mathematics in mathematics edu- cation, one comes across various arguments in favor of why it may be a good idea and various ideas on how to do it, what I shall refer to as the whys and hows respectively. Unfortunately, such a reading of the literature seems to reveal some blurring in the

U. T. Jankvist (B)

Department of Science, Systems, and Models, IMFUFA,

Roskilde University, P.O. Box 260, 4000 Roskilde, Denmark e-mail: utj@ruc.dk

discussion of these whys and hows. Part of the explanation of this may have to do with the issues being tackled by many different kinds of researchers (mathematicians, historians, educators, etc.), each having their own agenda, background, and style. Also, each researcher is often dealing with a certain level of education, perhaps subject to restrictions imposed by the educational authorities in a given country or geographical region. Not that there is anything wrong with this; on the contrary, such work is much needed in order to broaden the picture of applying history in teaching, and to disseminate the information already available on the topic. However, from a general and theoretical viewpoint, such work does not necessarily address the core issues that are at stake in the discussion. Fortunately, then, the literature also offers some interesting attempts at categorizing the whys and/or the hows (e.g., Tzanakis amp; Arcavi, 2000; Tzanakis amp; Thomaidis, 2000; Gulikers amp; Blom, 2001; Fried, 2001; Furinghetti, 2004; Tang, 2007). Any categorization, of course, has its advantages and disadvantages, and so do these—and so will a new one.

One disadvantage of the classifications available, as I see it, is that they do not all necessarily separate, strictly, the categorizations of the hows from the categorization of the whys. One could argue that this is because the whys and hows may be so interconnected that it is not a very straightforward, or maybe even a natural, thing to do. In principle, a “how” often conditions or presupposes a “why.” Nevertheless, it is my claim that, by trying to strictly separate the categorizations of the whys from the categorizations of the hows, new insight may be gained, and the interrelations between the whys and the hows may become clearer. Besides providing intellectual clarity, knowing about the interconnections between the whys and hows can make it easier to analyze teaching material applying history in order, for instance, to see if it fulfills certain requirements or goals. Such knowledge would also, I suspect, be useful when making decisions about content, form of presentation, and organization concerning the use of history for teachers as well as material designers. At any rate, the interrelations of the whys and hows of using history is not something that is discussed very often in the literature. It therefore seems to me that the discussion on using history would benefit from yet another—systematic—attempt at creating a new platform from which one may discuss, in depth, the potential role of the history of mathematics in mathematics education.

• 1. Research questions and research method

I believe that if you are interested in the use of the history of mathematics in the teaching and learning of mathematics, its advantages, disadvantages, possibilities, limitations, ideas, etc., then it is worthwhile basing this interest on a systematic and organized foundation in terms of

1. Why history may/should be used in the teaching and learning of mathematics;
2. How history may/should be used in the teaching and learning of mathematics;
3. In what ways the arguments for using history and the approaches to doing so, i.e., the whys and hows, are interrelated.

These three questions are exactly the foci of this article. The way to answer them is by proposing two (new) sets of categories on the basis of which the inte

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