斐波那契数数列和黄金比例贯穿数学史
的教学效果
Buuml;lent Kaygin,Bilal Balccedil;in,Cemalettin Yildiz,Selahattin Arslan
Erzincan University, Erzincan University Faculty of Education, Erzincan, 24100, Turkey
Karadeniz Technical University, Fatih Faculty of Education, Trabzon, 61100, Turkey
摘要：本研究的目的是通过在斐波那契数列和黄金比例中贯穿数学史来确定数学史教学对学生成绩的影响以及学生对此问题的看法。本研究采用案例研究法，对2009-2010学年春季学期额尔津干市一所小学八年级的30名学生进行了研究。数据收集采用绩效测试和问卷调查的形式，问卷由5个开放性问题组成。结果表明，将斐波那契数列和黄金比例与数学史相结合的教学方法对学生学习成绩有积极的影响。
关键词：数学教育；数学史；黄金比例；斐波那契数列；小学
1.介绍
1865年1月16日，伦敦数学学会第一任主席奥古斯都·德·摩根在开幕式上发表了如下演讲:“除非科学或艺术领域与人类历史有关，否则人类不可能拥有自由和宽阔的胸怀。”虽然数学家们对数学的历史一无所知，但他们却谈论数学，这是相当令人吃惊的。这些人自称了解现实，破坏了历史趋势。每个人在自己的头脑和想象中都有一定的历史知识。(翁健，2008)。在他的演讲中，德摩根指出，一个人需要了解数学的历史，才能有一个关于数学的值得注意的单词。
近年来的数学史研究强调，数学史是数学教学的基础。由于数学历史中蕴含着博大精深的文化和广博的知识，人们更容易理解抽象的数学概念，从而使数学不再是一门令人恐惧和担忧的学科。Gulikers and Blom(2001)认为，数学史可以应用于教育案例中，营造生动的课堂氛围，为数学教学增添活力。帕金斯(1991)认为，通过数学的历史，可以用更有趣的方式来进行课堂教学，从而带来更多的成就。此外，了解数学的历史发展有助于我们看到数学的哲学、科学和社会内容，以便更好地理解数学(Grabiner, 1975)。在课堂上运用数学史并不能保证在课堂上取得巨大的成就，但它将数学学习转化为一种有意义的、生动的体验。因此，它会让学习变得更容易，学生将有更深刻的理解。一个熟悉数学历史发展的教师，会更有耐心，更人性化，少些傲慢(Siu, 1997)。
本研究的目的是通过在斐波那契数列和黄金比例中贯穿数学史来确定数学史教学对学生成绩的影响以及学生对此问题的看法。学生们通过数字、符号和概念来做数学运算，但他们不知道这些运算在实践中有什么用，令人感到悲哀。然而，数学是一门跨学科的科学，它也可以影响其他科学分支。数学是一门可以应用于日常生活的学科，可以通过日常生活中的例子来解释。本研究的另一个目的是将数学从其传统和根深蒂固的结构中抽离出来，并证明数学是一门活跃的科学分支，它在自然界中真实存在。事实上，斐波那契数列在自然界的许多地方都可以看到，比如松果、雏菊、向日葵、烟草植物等。同样，黄金比例也可以在自然界，甚至在活体中看到。它可以在人的脸上、牙齿上、手指上、手臂上、花朵上、贝壳上、蜗牛上、椅子上、汽车上、米玛·西南和阿诺特卡比尔的作品等等上看到。通过斐波那契数列和黄金比例，学生将能够明白数学是一门有趣和可爱的课程。
- 方法
本研究采用案例研究法。案例研究能够通过有限的抽样对单个或多个案例、现象或事件进行深入调查(Cepni, 2007)。在这个过程中，背景、个体或过程被整体研究，角色和关系吸引了主要的焦点(YOldOUOm amp; uimuek, 2005)。
2.1.参与者
该研究是在2009-2010学年春季学期，对额尔津干市一所小学八年级的30名学生进行。
2.2.数据收集工具
本研究的数据通过5个开放式问题收集，并通过斐波那契数列和黄金分割比这两个主题开发了15个问题的性能测试。为保证测试内容的效度，对3名小学数学教师和2名从事数学教育研究的学者进行了成绩测试。并以国家教育部小学数学课程为参照来确保试题适合八年级小学生水平。为了计算试验的可靠性，进行了试验研究。因此，我们调查了学生对测试中的问题时是否有理解上的困难，以及回答测试的必要时间。额尔津干市这所小学八年级中，共有50名学生参与了试验研究。在试验研究的基础上，采用合适的公式计算了试验中各项目的信度系数和判别指标。由于这些计算，歧视指数低于0.30的项目被排除在研究之外。采用SPSS 15统计分析，发现本试验的Cronbachrsquo;s alpha信度系数为0.91。编制了4份研究工作表。在第一份工作表中，讲述了斐波那契的生平故事，并在文章的结尾添加了开放式的问题。第二张工作表是关于确定斐波那契数列的兔子问题的，在斐波那契的书《Liber Abaci》中。兔子问题的前5位数字被描绘出来，要求学生们填写剩下的数字。研究的第三个工作表由一个展示斐波那契数列与海亚姆三角形关系的活动组成。第四份工作表是关于存在于松果和无叶蕨植物中的斐波那契数列。
2.3.数据采集工具的实现
学生们在表演过程中分成两组进行活动。首先，实践斐波那契生命故事的活动。然后，将兔子问题作为一个历史问题呈现给学生。在此基础上，对斐波那契数列与海亚姆三角形的关系进行了研究。最后，对学生进行了斐波那契数列与自然关系的展示活动。在这里，我们的目的是研究松果和树枝对活动的影响。给每个学生一个松果，要求他们在松果上画螺旋数，从而得到松果上的斐波那契数列。此外，学生们观看了一个关于斐波那契数列和黄金比例的视频。在程序结束时，我们分发了5个开放式问题的问卷，收集学生对课程的意见。研究组采用干预前1个月和干预后立即进行的前测和后测。
2.4.数据分析
采用相关t检验对学生的成绩进行分析。研究人员根据学生对调查问题的回答，根据他们之间的相似性和差异性进行独立分析。然后，对研究中形成的要点和主题进行分析和讨论，形成共同的要点和主题(Yin, 1994)。
- 结果与讨论
这部分包括通过性能测试和调查问题收集的数据。
3.1.性能测试的结果
表1显示t检验结果，用于判断学生在考试前和考试后的成绩是否存在显著差异。
表1.相关t检验结果与前后检验结果的关系
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测试 |
N |
Mean |
Sd |
df |
t |
p |
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前测 |
30 |
53,111 |
16,186 |
29 |
-3,644 |
0,01 |
|
后测 |
68,889 |
14,682 |
从表中可以看出p lt; 0.05，学生的成绩在测试前和测试后存在显著差异(表1)。在t检验中看出，在
斐波那契数列和黄金分割中贯穿数学史的教学提高了学生的学习成绩(t(29) = -3.644, p lt; 0.05)。这个案例研究与oslash;dikut (2007)的研究并行。此外，可以注意到，应用的材料对学生理解斐波那契数列和黄金比例的科目是有效的。
3.2.问卷调查的结果
表2显示了学生对“课程中教学的信息有多有用，为什么?”这一问题的回答情况
表2.关于课程中所教授的信息的有用性的评论
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主题 |
要点 |
频率 |
支持句 |
|
无用的 |
包含有效信息 |
18 |
这节课充满了日常生活中有用的信息。 |
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理解数学存在于自然界中 |
7 |
因为数学让我想起不是计算，而是来自自然的样本。 |
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这个信息很有趣 |
5 |
老师说得很有趣，我非常喜欢它。 |
可以看出，对于这门课程的实用性，学生们有这样的评价:数学在自然界的存在，获得关于学科的新鲜有趣的信息。
表3显示了学生对“这门课的教学效果如何?为什么?”的回答情况
表3.关于如何有效地教授这一课的评论
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主题 |
要点 |
频率 |
支持句 |
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这节课是怎么教的 |
更好地理解课文 |
15 |
我更好地理解了这节课 |
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获得新信息 |
6 |
它很有效，因为我学到了新的主题。 |
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确保积极参与 |
5 |
我参加了这个课程，因为我要求发言的许可。 |
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教学是精心设计和启发性的 |
4 |
这节课很有启发性 |
从学生们对这门课的教学方式的评论中可以看出，更好地理解这门课的要点是最重要的。
表4显示了学生对“在做这个活动的时候，你发现数学有什么有趣的地方吗?如果你这么做了，你为什么认为它们很有趣?”的回答情况。
表4.贯穿整个研究的令人惊讶的数学观点
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主题 |
要点 |
频率 |
支持句 |
|
观点 |
黄金比例 |
11 |
在斐波那契数列中，当数除以它前面的数时得到了非常相似的值。 |
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斐波那契数列和使用领域 |
4 |
我很惊讶松果和向日葵竟然有斐波那契数系列。 |
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斐波那契数列之间的关系系列与海亚姆三角 |
4 |
斐波那契数列存在于海亚姆三角形。 |
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松果活动 |
4 |
我对松果上的螺旋形数字感到惊讶。 |
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数学在自然界和日常生活中的重要性 |
2 |
数学与自然有着深刻的联系令我很吃惊。 |
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斐波那契的一生 |
3 |
斐波那契是一个穆斯林教徒，的他将这些数字引入欧洲。 |
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关于兔子的问题 |
2 |
结果表明，该方法具有良好的数学效果有趣。 |
在研究中，学生们发现最有趣的是黄金比例。他们也被松果的活动和斐波那契数列在自然界的使用场所所吸引，因为这些都显示了数学在日常生活中的地位。学生们发现斐波那契的生活故事很有趣，因为他把自己从穆斯林身上学到的东西传播到了欧洲。
表5显示了学生对“你认为本研究使用的材料怎么样?为什么?”的回答情况
表5.对使用材料的评论
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主题 |
要点 |
频率 |
支持句 |
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材料内容 |
具有启发性，帮助理解 |
16 |
活动帮助我们更好地理解。 |
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提供关于数学历史的信息 |
7 |
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Available online at www.sciencedirect.com
Procedia Social and Behavioral Sciences 15 (2011) 961–965 WCES-2011 The effect of teaching the subject of Fibonacci numbers and golden ratio through the history of mathematics Buuml;lent KaygOtilde;n a *, Bilal Balccedil;Otilde;n b, Cemalettin YOtilde;ldOtilde;z c, Selahattin Arslan d aErzincan University, Erzincan University Faculty of Education, Erzincan, 24100, Turkey b,c,d Karadeniz Technical University, Fatih Faculty of Education, Trabzon, 61100, Turkey Abstract This study aims to determine the influence of teaching Fibonacci numbers and golden ratio through history of mathematics on student achievement and the opinions of students regarding this issue. This study was carried out by case study method with 30 students who attended the 8th grade of an elementary school in Erzincan in spring term of 2009-2010 school year. Data were collected with performance test and a questionnaire form composed of 5 open-ended questions. The results showed that teaching Fibonacci numbers and golden ratio which was integrated with the history of mathematics had a positive effect on student achievement.
Keywords: Mathematics education, history of mathematics, golden ratio, Fibonacci numbers, primary school 1. Introduction Augustus de Morgan, the first chairman of London Mathematical Society delivered the following speech at the opening ceremony on the 16th of January, 1865: “Unless a field of science or art is related to human history, human being can not be free and broad minded. It is quite astonishing that mathematicians talk about mathematics though they do not know anything about the history of mathematics. Claiming that they know the realities, these people damage historical tendency. Every person has certain historical knowledge in his / her own mind and imagination.” (Weng Kin, 2008). In his speech, De Morgan points out that one needs to know the history of mathematics in order to have a noteworthy word about mathematics. Recent studies in the history of mathematics lay stress on the fact that the history of mathematics is fundamental to mathematics teaching. Thanks to the vast culture and wide knowledge held within the history of mathematics, it becomes easier to understand the abstract concepts of mathematics which is thus longer a subject arousing fear and concern. According to Gulikers and Blom (2001), the history of mathematics can be applied in educational cases to create a lively classroom atmosphere and to add vitality to mathematics teaching. According to Perkins (1991), through the history of mathematics, lessons can be taught in a more interesting way, which will thus bring about more achievement. Moreover, knowledge of the historical development of mathematics helps us to see the
E-mail address: bulentkaygin09@gmailcom 1877–0428 copy; 2011 Published by Elsevier Ltd. Open access under CC BY-NC-ND license. doi:10.1016/j.sbspro.2011.03.221 962 Buuml;lent Kaygın et al. / Procedia Social and Behavioral Sciences 15 (2011) 961–965 philosophical, scientific and social content of mathematics and to have a better understanding of mathematics (Grabiner, 1975). Using the history of mathematics in classrooms does not warrant a great achievement in classes but it transforms mathematics learning into a meaningful and lively experience. Thus, it will become easier to learn and the student will have more profound understanding. A teacher, who is acquainted with the historical development of mathematics, will be more patient, humanist and less arrogant (Siu, 1997). The goal of this study is to determine the influence of teaching Fibonacci numbers and golden ratio through history of mathematics on student achievement and the opinions of students regarding this issue. It is really sad that students do mathematical operations through numbers, symbols and concepts though they do not know what these operations serve for in practice. However, mathematics is an interdisciplinary science. It can influence other branches of science, as well. Mathematics is a subject that can be applied in daily life and that can be explained through examples from daily life. Another objective of this study is to take mathematics away from its traditional and entrenched structure and to demonstrate that mathematics is a lively branch of science with its real presence in nature. Actually, Fibonacci numbers can be seen in many places in nature such as in pine cones, daisies, sunflowers, tobacco plants, etc. Similarly, the golden ratio can be seen in nature and even in alive beings. It can be seen on human face, teeth, fingers, arms, flowers, sea shells, snails, chairs, cars, works by Mimar Sinan and AnOtilde;tkabir, etc. Through Fibonacci numbers and golden ratio, students will be able to see that mathematics is an entertaining and likeable course. 2. Method Case study method was used in this study. Case studies enable in-depth investigation of a single or a number of cases, phenomena or events with a limited sampling (Ccedil;epni, 2007). During this process, the setting, individual or processes are investigated holistically and the roles and relations draw the main focus (YOtilde;ldOtilde;UOtilde;m amp; ugrave;imuacute;ek, 2005). 2.1. Participants The study was carried out with 30 students enrolled at the 8th grade of a school in Erzincan in the spring term of 2009-2010 school year. 2.2. Data collection tools 剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料 资料编号：[271920]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word </p |
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