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第四章 受压构件

4.1介绍

受压构件是仅受到轴向压力的结构元件，也就是说，荷载沿纵向轴线穿过构件横截面的质心，并且应力可以取为f = P / A，其中f在整个横截面上被认为是均匀分布的。这个理想状态在现实中永远不存在，因为荷载的一些偏心是不可避免的。会产生弯曲，但通常可以认为是次要的。 正如我们看到的，受压构件强度的AISC规范方程解释了这种意外偏心。

在建筑物和桥梁中最常见的受压构件类型是立柱，其主要功能是支撑垂直载荷。在许多情况下，这些构件也受到弯曲作用，在这些情况下，构件是梁柱构件。我们将在第6章中介绍这个主题。受压构件也用于桁架和支撑系统的组件。未被划分为柱的较小受压构件有时被称为支撑。

在许多小结构中，柱轴力可以从其支撑的梁的反力或直接从地面或屋顶载荷轻易地计算得出。如果构件连接不传递弯矩，以上情况是可能的；换句话说，如果柱不是刚性框架的一部分。对于刚性框架中的柱，可计算弯矩和轴向力，并且需要进行框架分析。AISC规范提供三种分析方法，以获得刚性框架构件中的轴向力和弯矩：

1. 直接分析法

2.有效长度法

3.一阶分析方法

除了非常简单的情况，一般使用计算机软件进行分析。虽然这三种方法的细节超出了本章的范围，但在第6章“梁柱”中将会更多的提到它们。 重要的是要认识到，这三种方法用于确定构件所需的强度（轴向载荷和弯矩）。允许强度可通过本章“受压构件”，第5章“梁”和第6章“梁柱”的方法计算。

4.2柱理论

考虑图4.1a所示的长而细的受压构件。如果缓慢地施加轴向载荷P，则荷载最终将变得足够大以使构件变得不稳定并呈现虚线所示的形状。 该构件就已经屈服，相应的载荷称为临界屈曲载荷。如果该构件更粗壮，如图4.1b所示，则需要较大的负载才能使组件处于不稳定的状态。对于非常粗壮的构件，可能发生受压屈服而不是屈曲失效。在失效之前， 无论是通过屈服还是通过屈曲失效，压应力P / A在沿着长度的任何点处的横截面上将是均匀的。发生弯曲的荷载受细长比影响，对于非常纤细的构件，这种荷载可能相当小。如果构件太过细长（我们很快给出了长细比的精确定义），刚刚屈曲之前的应力低于比例限制，即构件仍然是弹性的 - 临界屈曲载荷由下式给出

其中E是材料的弹性模量，I是横截面积相对于次要主轴的惯性矩，L是构件在支撑点之间的长度。 对于等式4.1，该构件必须具有弹性，其端部必须可以自由旋转，而不能横向平移。 铰链或销钉可以满足此条件，如图4.2所示。 这种非同寻常的关系首先由瑞士数学家Leonhard Euler制定，并于1759年出版。临界载荷有时被称为欧拉载荷或欧拉屈曲载荷。方程4.1的有效性已经通过许多令人信服的测试证明。 这里给出其推导来说明终端条件的重要性。

图4.1

图4.2

为了方便起见，在下面的推导中，构件将沿着其在图4.3中给出的坐标系的x轴的纵向轴线定向。滚动支座将被解释为限制构件向上或向下翻转。 施加轴向压缩载荷并逐渐增加。如果施加临时横向载荷以使构件偏转成虚线所示的形状，当轴向载荷小于临界屈曲载荷，则当该临时载荷被移除时，构件将恢复其初始位置。临界屈曲载荷Pcr被定义足以满足为当临时横向载荷被移除后能保持偏转形状的载荷。

给出经受弯曲的弹性构件的偏转形状的微分方程式是

其中x沿着构件的纵向轴线定位点，y是该点处轴线的偏转，M是该点处的弯矩。E和I是先前定义的，这里的惯性矩I相对于弯曲的轴线（屈曲）。这个方程由雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）和欧拉（Euler）独立推导出来，他将其专门用于柱屈曲问题（Timoshenko，1953）。如果我们从屈曲点开始，那么从图4.3可以看出弯矩是。 方程式4.2可以写成

其中所述表示关于x微分。 这是具有常数系数的二阶线性普通微分方程，并具有解

其中，A和B是常数。 通过应用以下边界条件来求这些常数：

当 A=0

当

这最后一个条件要求如果B不为零，则sin（cL）为零（平凡解，对应于P = 0）。 对于sin（cL）= 0，cL = 0, p, 2p, 3p, . . . = np, n= 0, 1, 2, 3, hellip;

从，我们可以得到

图4.3

n的各种值对应于不同的屈曲模式; n = 1表示第一模式，n = 2表示第二模式，依此类推。零值给出无负载的微不足道的情况。 这些屈曲模式如图4.4所示。n大于1的值是不可能的，除非受压构件在发生曲率反转的点处的偏转被物理约束住。

图4.4

因此微分方程的解：

系数B是不确定的。 这个结果是在制定微分方程时进行近似的结果；使用非线性现象的线性表示。

对于在其端部之间没有支撑的受压构件的一般情况，n = 1并且欧拉方程被写为

为方便起见，重写等式4.3为

其中A是横截面积，r是相对于屈曲轴线的回转半径。 比率是细长比，是构件细长度的量度，其值越大对应于越细长的构件。

临界负荷除以横截面积，则获得临界屈曲应力：

在这种压应力下，构件将发生围绕对应于r的轴发生弯曲。一旦载荷达到等式4.3给出的值，就会发生弯曲，并且该柱将在对应于最大细长比的主轴上变得不稳定。 该轴通常是具有较小转动惯量的轴（稍后会检查此情况的异常）。 因此，通常在等式4.3和4.4中使用最小转动惯量和回转半径。

早期的研究人员很快发现，欧拉方程没有给出粗短，不够纤细的受压构件的可靠结果。原因是这种类型的构件的细长比会导致较大的屈曲应力（从公式4.4）。 如果发生屈曲的应力大于材料的比例极限，则应力和应变之间的关系不是线性的，并且不能再使用弹性模量E。（在实例4.1中，屈曲应力为le;A= 278.9〜14.6 = 19.10ksi，远远低于任何等级的结构钢的屈服强度。）这个困难最初由Friedrich Engesser解决，他在1889年提出在等式4.3中使用可变切线模量。 对于具有如图4.5所示的应力 - 应变曲线的材料，对于大于比例极限的应力，E不是常数。切线模量被定义为和之间的f值的应力 - 应变曲线的切线的斜率。 如果屈曲时的压应力A在该区域，则可以表明

方程4.5与欧拉方程相同，不同之处在于Et代替E。

图4.5

图4.5所示的应力 - 应变曲线与前面对韧性钢（图1.3和1.4）所示的应力 - 应变曲线不同，因为它具有显著的非线性区域。这条曲线是典型的称为短长度W形的短柱的压缩试验的结果，而不是拉伸试验的结果。 非线性主要是因为W形中存在残余应力。 当热轧形状在轧制后冷却时，横截面的所有元素不以相同的速率冷却。例如翼缘的尖端比翼缘和腹板的接合部分冷却得更快。 这种不均匀的冷却导致永久保持的应力。 其他因素，例如焊接和冷弯会在梁中产生弯曲，可能有助于产生残余应力，但冷却过程是其主要来源。

请注意，小于E，对于相同的对应于较小的临界负载。 由于的变化，通过使用公式4.5在非弹性范围内计算是困难的。一般来说，必须采用试错法，必须使用图4.5所示的压应力应变曲线来确定的试验值。 因此，大多数设计规范（包括AISC规范）都包含非弹性柱的经验公式。

Engesser的切线模量理论有其诋毁者，他们指出了几个不一致之处。Engesser对他们的论点深信不疑，1895年他完善了自己的理论，结合了一个在E和之间有一个降低的模数。 然而，测试结果总是与切线模量理论密切相关。 Shanley（1947）解决了原始理论中的明显不一致，而今天的切线模量公式，方程4.5被接受为非弹性屈曲的正确模型。 尽管由该方程式预测的负载实际上是临界负载的真实值的下限，但是差异很小（Bleich，1952）。

对于任何材料，临界屈曲应力可以作为细长比的函数绘制，如图4.6所示。 切线模量曲线在对应于材料比例极限的点处与欧拉曲线相切。 称为柱强度曲线的复合曲线完全描述了给定材料的任何柱的强度。 除了作为材料性质的，E和以外，强度仅仅是细长比的函数。

图4.6

有效长度

欧拉和切线模量方程均基于以下假设：

1.该柱是完全直的，没有初始弯曲。

2.荷载为轴向，无偏心。

3.柱两端固定。

前两个条件意味着在弯曲之前在构件中没有弯矩。 如前所述，一些偶然的时刻将会存在，但在大多数情况下，它可以被忽略。 但是，对固定端的要求是严重限制，必须对其他支座条件作出规定。铰接状态要求在端部限制构件的横向平移，而不是旋转。 构件无摩擦铰接实际上是不可能的，因此即使这种支座条件最多只能接近理想状态。 显然，所有的柱必须可以自由地轴向变形。

在等式4.3的推导中可以考虑其他端部条件。 通常，弯矩将是x的函数，导致非均匀微分方程。 边界条件与原始推导方法不同，但总体程序相同。 所得到的等式的形式也将相同。 例如，考虑一个如图4.7所示一端铰接另一端限制旋转和平移的受压构件。 以与方程4.3相同的方式导出的这种情况的欧拉方程是

或

图4.7

因此，该受压构件具有与两端铰接的柱相同的载荷能力，并且只有给定柱的70％长。 对于具有其他终端条件的柱，可以找到类似的表达式。

柱屈曲问题也可以用四阶微分方程来表示，而不是等式4.2。 这个证明当处理除铰接端之外的边界条件时更方便的。

为方便起见，临界屈曲载荷的方程将写为

其中KL是有效长度，K是有效长度因子。铰接受压构件的有效长度系数为0.70。两端固定限制旋转和平移是最有利的条件，K = 0.5。这些和其他情况的K值可以通过AISC规范附录7的评注中的表C-A-7.1来确定。包括迄今提到的三个条件，以及一些可能的杆端转化。 给出了K的两个值：理论值和当杆端条件接近理想状态时推荐使用的设计值。因此，除非“固定”端是完全固定的，否则使用更保守的设计值。 只有在最特别的情况下才能使用合理的理论值。 但是请注意，C-A-7.1中的条件（d）和（f）的理论值和推荐设计值都相同。原因是任何偏离完全无摩擦的铰链或销都会引起旋转抑制并趋于减少K。因此，在这两种情况下使用理论值是保守的。

使用有效长度KL代替实际长度L决不会改变迄今讨论的任何关系。 图4.6所示的柱强度曲线不变，除了重命名横坐标。 对应于给定长度（实际或有效）的临界屈曲应力保持不变。

4.3 AISC要求

受压构件的基本要求载于AISC规范的第E章。 标称抗压强度i

对于LRFD，

式中 —设计极限荷载的总和；

—压缩阻力系数= 0.90；

—设计抗压强度。

对于ASD，

式中 —使用荷载的总和；

—压缩安全系数= 1.67；

—允许抗压强度。

如果使用允许应力公式，

式中 —计算轴向压应力=；

—允许轴向压应力

为了呈现临界应力的AISC表达式，我们首先将欧拉载荷定义为

这是根据欧拉方程的临界屈曲载荷。 欧拉的压力是

稍微修改，该表达式将用于弹性范围内的临界应力。 为了获得弹性柱的临界应力，欧拉应力减小如下，以解释初始弯曲的影响：

对于非弹性柱，切线模量方程式，方程4.6b被替换为指数方程

使用公式4.9，可以获得非弹性柱的直接解，避免了在使用切线模量方程中固有的试错法。在非弹性和弹性柱之间的边界，方程4.8和4.9给出相同的值。 当近似等于时会发生这种情况。

总结如下，

当时，

当时，

AISC规范提供了基于的值（如方程4.10和4.11中）或比值的值来区分非弹性和弹性特征。的极限值可以如下导出。 从AISC公式E3-4，

对于，

完整的AISC抗压强度规格如下：

当或时，

当或，

在本书中，我们将通常使用的限值，如方程4.10和4.11所示。 这些要求如图4.8所示。

图4.8

AISC公式E3-2和E3-3是涵盖（Galambos，1988）的五个范围的五个方程的精简版本。 这些方程式基于实验和理论研究，这些研究考虑了残余应力的影响以及Lge;1500的初始平直度，其中L是构件长度。 这些方程的完全推导由Tide（2001）给出。

虽然AISC规范不强制要求细长比的上限，但建议上限为200（参见AISC E2中的用户注释）。 这是一个实际的上限，因为任何更细长的压缩构件将具有很小的强度并且将不经济。

在实例4.2中，，并且在x方向上存在过量的强度。 方形结构管（HSS）是压缩构件的有效形状，因为，两个轴的强度相同。 由于相同的原因，空心圆形有时被用作受压构件。

迄今认为的失效模式被称为弯曲屈曲，因为当其变得不稳定时，构件经受挠曲或弯曲。 对于一些横截面构造，构件将通过扭转（扭转屈曲）或通过扭转和弯曲（弯曲 - 扭转屈曲）的组合而失效。 我们将在第4.8节考虑这些不常见的情况。

4.4局部稳定性

如果横截面的元件如此薄以致发生局部屈曲，那么对应于任何总体屈曲模式的强度（例如弯曲屈曲）将不能得到发展。 这种类型的不稳定性是在隔离位置处的局部屈曲或起皱。 如果发生，截面不再完全有效，而且构件失效。I形薄翼缘或腹板的横截面很容易受到这种现象影响，并且应

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