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第五章 梁
5.1引言
梁是主要承受横向载荷的结构构件，主要发生屈曲或弯曲。如果梁同时还承受大量的轴向荷载，那构件应称为梁柱（梁柱在第6章中被提及）。尽管在任何结构构件中都存在不同程度数量的轴向载荷，但在实际情况下这种影响可以忽略不计，因此这种构件可以视为梁。梁通常被认为沿水平方向布置并承受垂直方向的荷载，但这种情况并不是绝对的。一个结构构件如果因为承受荷载而弯曲的话也被称为梁。
梁通常使用的横截面形状包括W形，S形和M形，有时梁也使用管道形状，比如由板构建成且横截面为I形或箱形的梁。由于接下来讨论的原因，可知双轴对称的横截面形状，
比如标准轧制的W，M，S形状是最有效的。
AISC规范中关于梁的内容分为两个章节：第F章“屈曲构件设计”，第G章“剪切构件设计”。规范中涉及了数种梁。在这本书中，我们在本章里讨论了最常见的案例，我们也在第10章讨论了一个特殊的案例，即板梁。
图5.1显示了两种类型的梁截面;热轧双对称I形截面和焊接双对称组合I形状。热轧I形截面是最常用的梁截面形式。焊接形式的截面通常应用于板梁。
对于弯曲（剪切将在之后被讨论），所需承担的以及能存在的力是力矩。根据荷载效应和抗力设计（LRFD），公式2.6可以写为
（5.1）
=要求的力矩强度=由源于ASCE 7的可变荷载效应组合产生的最大力矩
=弯曲（屈曲）抗力系数= 0.90
=标准力矩强度
公式5.1的右侧是设计强度，有时称为设计力矩。
根据允许强度设计（ASD），公式2.7可以写为
（5.2）
=要求的力矩强度=由源于ASCE 7的可变荷载效应组合产生的最大力矩
=弯曲安全系数= 1.67
公式5.2也可以写成
将两侧同时除以弹性断面模数S（将在下一节介绍），我们得到了允许应力设计方程：
或者
=最大计算弯曲应力
=允许弯曲应力
5.2弯曲应力和塑性力矩
为了能够确定力矩标准值，我们首先要检验梁在整个载荷范围内的表现，从非常小的荷载到屈服点 考虑图5.2a所示的梁，因为它的定向所以弯曲作用在主轴上（对于I形，它将是x-x轴）。 对于线弹性材料且变形微小的情况下，弯曲应力的分布如图5.2b所示，
假定应力沿横梁宽度方向均匀分布。（剪切在第5.8节分开考虑。）根据材料的弹性力学，任何一点的应力可以由下列挠曲公式得出：
（5.3）
其中M是所考虑的横截面处的弯矩，y是从中性轴到目标点的垂直距离，是横截面对于中性轴（x轴）的惯性矩。对于一个均质材料，中性轴是与重心轴重合的。公式5.3是基于压力从上到下的呈线性分布的假设，这个假设反过来又是基于横截面在弯曲之前是平整的在弯曲依然保持平整的假设。此外，梁横截面必须具有关于垂直轴的对称性，荷载必须在包含该轴的纵向平面内。不符合这些标准的梁将在第5.15节中讨论。最大应力会发生在端部纤维，这里正是y值最大的地方。因此，有两个最大值：顶部纤维中的是最大压应力和底部纤维是最大拉伸应力。如果中性轴是对称轴，则这两个应力将是幅度相等。对于最大应力，公式5.3是这样计算的：
（5.4）
其中c是从中性轴到端部纤维的垂直距离，是横截面的弹性截面模数。 对于任何横截面形状，截面模数将是一个常数。 对于不对称的横截面，将具有两个值：一个用于顶部纤维，一个用于底部。 标准轧制截面的值在手册中的尺寸和属性表中列出了。
只要荷载足够小使物质保持在它的线弹性范围内，方程5.3和5.4将保持有效。 对于钢结构，这意味着应力不得超过，弯矩不得超过
其中是使梁达到屈服点的弯矩。
在图5.3中，一个有跨中集中载荷的简支梁显示出了连续的荷载阶段。一旦开始发生屈服，应力在横截面的分布上将不再是线性的，并且屈服将端部纤维朝向中性轴方向发展。同时，屈服区也将沿纵向扩大直当弯矩在多个方向达到屈服强度。这些屈服的区域由图5.3c和d中的黑色区域表示。在图5.3b中，屈服刚刚开始。在图5.3c中，屈服发展到了腹板，在图5.3d中，整个横截面已经产生了屈服。使梁从b阶段到d阶段所需的额外弯矩是屈服弯矩的10到20％（对于W形）。当达到阶段d时，任何进一步的增加荷载会导致崩溃，因为横截面的所有部位已经到达应力 - 应变曲线的平稳阶段和无法控制的塑性变化将发生。一个塑性铰据说已经在梁的中心形成，而这个铰和沿着梁的端部处的实际铰构成了一个不稳定的结构。在塑性破坏过程中，结构运动将如图5.4所示。结构分析中基于考虑结构破坏的分析称为塑性分析。一个本书的附录中介绍了塑性分析与设计。
塑性力矩最大值，这是形成塑性铰所需的弯矩，可以容易地通过考虑相应的应力分布来计算。 在图5.5中，展示出了压缩和拉伸应力的作用结果，其中是受压缩的横截面面积，是受拉伸应力的横截面面积。这些是塑料中性轴上方和下方的区域，不一定与弹性中性轴相同。根据力的平衡，
C = T
=
=
因此塑性中性轴将横截面划分成两个相等的区域。对于形状关于弯曲轴对称的截面，弹性和塑性中性轴是一样。 塑性弯矩是由两个大小相等方向相反的力形成的，或
A=总截面面积
a=两个半区域的重心之间的距离
Z=塑性截面模数
5.3稳定性
如果梁可以被控制从而保持稳定到完全塑性状态，标准力矩强度可以作为塑性力矩;
否则，将小于。
与压缩构件一样，不稳定性可以是整体意义上或者可以是局部的。总体屈曲如图5.9a所示。当梁弯曲时，压力区域（中性轴上方）类似于柱，并且以同一种方式类似于柱，如果构件细长，它会弯曲。但是，与柱不同的是，横截面的压缩部被拉伸部约束，并且向外偏转伴随着扭转。这种不稳定形式称为横向扭转屈曲（LTB）。横向扭转屈曲可以通过在足够接近的间隔内支撑梁来抵抗扭转这种方式防止。这可以通过两种类型的稳定性支撑来实现：横向支撑，如图5.9b所示，扭转支撑，如图5.9c所示。横向支撑，防止横向翻转，应该是尽可能布置地靠近受压翼缘。扭转支撑直接防止扭曲，它可以是在节点布置或连续布置，它可以采取交叉框架或隔膜的形式。节点和相关类别的定义在第4章“受压构件”力。AISC规范的附录6给出了梁支撑的强度和刚度要求。这些规定是基于尤拉的工作（2001）。我们将看到，力矩强度在一定程度上取决于不受支撑的长度，即支撑点之间的距离。
梁是否可以承受足够大的力矩以使其达到完全塑性状态还取决于横截面的完整性是否得到保持。这种完整性将会丧失如果横截面的一个受压单元弯曲。这种类型的弯曲可以是受压翼缘屈曲，称为翼缘局部屈曲（FLB）或腹板受压部分屈曲，称为腹板局部屈曲（WLB）。正如第4章“受压构件”所讨论的那样，是否发生任何一种类型的局部屈曲将取决于横截面受压部分的宽度与厚度之比。
图5.10进一步说明了局部和横向扭转屈曲的影响。在这个荷载与中心偏转关系图上显示了五个互为独立的梁。图1是变得不稳定（以任何方式）的梁的荷载 - 偏转曲线，并在达到第一个屈服点之前失去承载能力（见图5.3b）。曲线2和3对应于可以加载超过第一屈服点但远不够达到足以形成塑性铰从而造成塑性崩溃的梁。如果可以达到塑性崩溃，载荷 – 偏转曲线将表现为曲线4或曲线5。曲线4是针对有沿梁全长的均匀弯矩的情况，曲线5是针对具有可变弯矩的梁（力矩梯度）。对应于任意一个曲线的梁的安全设计都可以实现，但曲线1和2代表了材料的低效使用。
5.4形状分类
AISC根据宽度与厚度的比值将横截面形状分类为紧凑，非紧凑或细长。对于I型，突出翼缘（非加强部件）的宽厚比为，并且腹板（加强部件）的宽厚为。 形状的分类见表B4.1b中B4部分规范的“构件属性”（表B4.1a用于受压构件）。 可概括如下，让
宽厚比
紧凑类别的上限
非紧凑类别的上限
接着
如果，并且翼缘连续与腹板连接，则形状紧凑;
如果，形状不紧凑;
如果，则形状细长。
该类别基于横截面的最不利情况下宽厚比。例如，如果腹板是紧凑的并且翼缘是非紧凑的，则形状被分类为非紧凑 表5.3是从AISC表B4.1b提取的，适用于热轧I型截面。
表5.3也适用于管道型，除了翼缘宽厚比是的情况。
5.5紧凑型截面的弯曲强度
梁可能因为承受弯矩达到且进入完全塑性状态而崩溃，或者它的崩溃原因为：
1.横向扭转屈曲（LTB），弹性或非弹性;
2.翼缘局部屈曲（FLB），弹性或非弹性;要么
3.腹板局部屈曲（WLB），弹性或非弹性。
如果当屈曲发生时最大弯曲应力小于比例极限时，认定为弹性屈曲。否则，它是非弹性的。 （相关讨论见于第4.2节“柱的理论”）
为方便起见，我们首先将梁分为紧凑型，非紧凑型或细长型，然后根据横向支撑的程度确定抵抗力矩。本节讨论适用于两种类型的梁：（1）热轧I形截面（关于强轴弯曲而荷载加载在弱轴的平面内。（2）管道形梁横截面（关于强轴弯曲，并且加载通过剪切中心或被限制扭转）。（如果梁在不扭曲的情况下弯曲，剪切中心是横截面上横向荷载必须通过的地方。）重点将在I形截面上。C形截面的不同之处在于翼缘的宽厚度比为而不是。
我们从紧凑型截面形状开始，定义为那些腹板连续不断地连接到翼缘并且满足以下对于腹板和翼缘的宽厚比要求：
所有标准I和C形的腹板都满足手册上的要求;因此，在大多数情况下，仅需要检查翼缘比（注意该组合焊接的I形状可以具有非紧凑或细长的腹板）。大多数截面形状会也符合翼缘要求，因此将其分类为紧凑型。非紧凑形在尺寸和属性表中用（脚注f）标识。注意，受压构件具有与弯曲构件不同的标准，因此形状可以受弯时归类为紧凑但受压时归类为细长。正如在第4章中讨论过的，具有细长压缩部分的截面形状以一个脚注（脚注c）标识。如果梁截面是紧凑的并且具有连续的横向支撑，或者如果无支撑长度非常短，则标准力矩强度就是截面完全塑性状态下的的力矩容量，。 对于侧向支承不足的构件，力矩抗力受横向扭转屈曲强度的限制，无论是弹性的或非弹性的。
第一类横向支撑的紧凑型截面的梁是相当普遍且最简单的情况。 对于双重对称的紧凑I-或C形截面弯曲关于其主轴弯曲，AISC F2.1给出的标准强度为
(AISC 公式 F2-1)
如果进行轻微的近似，容许应力解可以简化。容许应力可以写成：
如果使用这个平均值（保守估计），
=
如果在例5.3中使用该值，
=
这大概保守估计了约4％。因此，对于紧凑的横向支撑的梁，容许应力可以取。 （这个允许应力值自1963年以来一直用于AISC容许应力设计规范。）
如果我们使用塑性截面模数而不是弹性截面模数，我们可以制定一个不需要近似的容许应力算法，从
还有
所需的塑性截面模数为
因此，如果弯曲应力基于塑性截面模量，
这种方法在设计紧凑的横向支撑梁时非常有用。紧凑形状的力矩是无支撑长度的函数，定义为横向支撑点或支撑点之间的距离。 在这本书中，我们用“times;”表示横向支撑点，如图5.12所示。标准强度和无支撑长度之间的关系如图5.13所示。 如果无支撑长度不大于目前定义的，梁应被认为具有全侧向支撑，并且。 如果大于但小于或等于参数，强度基于非弹性LTB。 如果较大，强度基于弹性LTB。
弹性横向扭转屈曲强度理论方程可以在弹性稳定理论（Timoshenko和Gere，1961）上找到。这里有一些名义上的变化，标准力矩强度是
其中是弹性屈曲应力，由下列公式给出
（5-5）
无支撑长度
关于横截面弱轴的惯性矩
G =钢结构的剪切模量= 11200 ksi
J =扭转常数
翘曲常数
常数G，J和在第4章中柱的扭转和横向扭转屈曲的内容中已经定义了。
只要在无支撑长度内的弯矩是均匀的方程5.5就有效（非均匀弯矩要考虑系数进行计算，接下来将讨论）。 AISC规范为弹性屈曲应力提供了形式不同但意义相当的形式。AISC给出了标准力矩强度
(AISC 公式 F2-3)
（AISC公式F2-4）
=无支撑长度内非均匀弯曲的计算系数，这个系数将在例5.4中讨论。
（AISC公式F2-7）
对于双对称I形截面，c = 1.0（AISC公式F2-8a）
= 对于管道形梁 (AISC 公式 F2-8b)
=翼缘重心之间的距离=
如果发生横向扭转屈曲的力矩大于第一屈服点的力矩，强度是基于非弹性行为。 第一屈服点的力矩为：
其中屈服应力已经减少了30％，这是因为残余应力的影响。 如图5.13所示，弹性和非弹性行为之间的边界将为无支撑长度，的值是从AISC公式F2-4得出的（当设定为等于0.7且= 1.0时）。 结果如下所示：
（AISC公式F2-6）
与柱一样，梁的非弹性屈曲比弹性屈曲更复杂，所以经常使用经验公式
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