混沌系统中具有指数非线性项的隐藏吸引子外文翻译资料

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混沌系统中具有指数非线性项的隐藏吸引子

V.-T. Pham 1,a , S. Vaidyanathan 2 , C.K. Volos 3 , and S. Jafari 4

1School of Electronics and Telecommunications, Hanoi University of Science andTechnology, 01 Dai Co Viet, Hanoi, Vietnam

2Research and Development Centre, Vel Tech University, Avadi, Chennai-600062,Tamil Nadu, India

3Physics Department, Aristotle University of Thessaloniki, 54124 Thessaloniki, Greece

4Biomedical Engineering Department, Amirkabir University of Technology, Tehran15875-4413, Iran

摘要: 由于理论和实践的双重意义，采用隐藏式吸引子的研究系统是新的有吸引力的研究方向。在这项工作中，提出了一种新型的带有指数非线性项的，可以表现出隐藏的吸引子系统。虽然新系统没有平衡点，但它会显示出丰富的动力学性质，如混沌。通过计算Lyapunov指数和分岔图，能发现该系统的动力学性态。此外，一个混沌系统两个重要特征，即同步的可能性和理论模型的可行性，也可以在引入自适应同步方案和设计数字硬件平台为基础的仿真器中提出。

1引言

混沌系统广泛的应用，如通信安全加密，或建模跨学科应用的现象已经引起了科学界的关注[1-3]。最近，具有特殊功能的系统日益受到重视。基于斯普劳特研发体系上没有平衡点的混沌系统被魏[9]提出。通过进行系统检索研究发现17元素不带平衡点流动二次型混沌的目录[10]。王和陈介绍了一个非常有趣的混沌系统：只有一个稳定平衡点[11]，但具有稳定平衡混沌流动的其它实例[12]。应当指出，这种不寻常的系统可以既同宿又异轨道，因而Shilnikov方法[13,14]不能用来验证该混沌。我们已经注意到，这种不寻常的系统可以被认为是从一个计算点吸引的隐混沌系统[14-16]。隐藏吸引子可导致一个力学系统发生意外灾难性行为并出现在锁相回路、钻井系统或电子电路中[16-19]。此外，研究隐藏吸引子具有理论意义，因为这表明全局动力学性质与当地一个系统的平衡点有一个未知的内在关联[20]。这样一来，隐藏吸引子的系统调查已经成为一个引人注目的话题，最近已经报道各种令人惊讶的发现。例如，设计具有所有混沌系统平衡点分配数量的方法预先由王和陈提出[20]。一个只有一个稳定平衡状态fractional-三维混沌自治系统被提出[21]。Pham等集中构建新型没有平衡混沌系统，通过加入一个微小的简单扰动的混沌流仍具有线性平衡状态[22]。此外，一个隐藏吸引子成本功能的参数估计混沌电路被发现[23]。

为了构建具有显著特征的新混沌系统，有效的方法是采用指数非线性项。在文献中，Sun和博学调查一个分段指数挺举系统[24]。另一种带有指数非线性项的简单混沌挺举系统被报道[25]，而在其电子电路实现中，有人建议使用六个电阻，三个电容，四运算放大器和一个硅二极管[26]。指数非线性项应用于产生新的混沌吸引子[27,28]，或者分数阶超混沌系统[29]。令人特别感兴趣的是根本不存在的Shilnikov混沌在该三维混沌自治系统中发现[30,31]。研究这种混沌系统由于以下事实已收到显著关注，它们属于一类混沌系统的隐藏吸引，具有实用的理论意义。它提出了是否有另一个指数非线性项系统能够生成隐藏混沌吸引子的待决议题。

由混沌系统和隐藏吸引的不寻常特征，一种新的不平衡混沌系统的复杂动力学性质与指数非线性效应在这项工作中提出。本文的其余部分安排如下，在第二节新系统的理论模型被引入，并对它的根本动态变化进行了研究。第三节，系统同步方案的可能性与平衡性是通过控制技术研究。此外，在第四节，是否可行的理论模型被制定和实施的建议在硬件描述语言（HDL）和现场可编程门阵列（FPGA）下提出的透射电镜。最后，第五节得出一些结论。

2新的混沌系统

一个特殊的三维自治混沌系统已由魏和杨提出[30]。魏的系统，是由于两个稳定平衡点的情况下拓扑结构上不等价的原始Lorenz和实现Lorenz类的系统，被描述为

（1）

其中， 是状态变量和 是正参数。魏的系统（1）具有两个平衡点和当时。

通过引入额外的第四状态的w被反馈到所述第二系统的公式（1），一个新的四阶动态系统构造成以下形式

（2）

其中，是状态变量，是正的常数参数，其中。

显然，如果对系统（2）平衡，它们可以通过求解实现和即

（3）

（4）

（5）

（6）

如可以从中可以看出（3）和（6），这和（5）不一致。从而在系统（2）中没有平衡。因此，系统（2）是一个有有限个平衡点的最报导混沌系统[4,5,32]，和魏的系统（1）非常不同。

新的系统（2）是一个具有指数收缩率的耗散系统。

（7）

从

（8）

有趣的是，当，并且，新系统（2）可以在不均衡形式下显示混沌吸引，如图 1所示。此外，这种不平衡系统可以被分类为具有隐藏奇异吸引子的混沌系统[14,16,33]。在这种情况下，该系统的Lyapunov指数被发现为。正李雅普诺夫指数演示系统（2）[34]的超混沌特性，这不会在接下来的章节中讨论。有关研究非平衡系统的混沌行为将在今后的工作中广泛使用。

卡普兰 - 约克分维，介绍了吸引的复杂性，被定义为

（9）

其中，j是满足的最大整数和它对应的spondence系统（2）的分数阶维数为因此，它表示一个奇异吸引子。此外，该系统在图2的庞加莱映射也反映了混沌的特性。

图1.混沌吸引子的不平衡的新系统（2）的推算当 并且

图2. Poincare映射在X - Y - Z空间时为一个

D =2.5，并且

为了提出新颖的系统（2），它的行为详细图相对于分叉参数c被发现。分岔图（参照图3）通过绘制状态变量的局部极大值时获得改变在间隔的值。此外，该数值计算的结果Lyapunov指数示于图 4。

图3.分叉新系统的图（2）当参数c不同时。

图4当参数c不同时新系统（2）有三个最大Lyapunov指数。

3相同的混沌系统的自适应同步

3.1自适应同步方案

有关混沌系统及其应用的一个重要特点是两个混沌系统同步的可能性[1,35,36]。基于非线性系统同步上升的广泛研究活动[37-44]。在这里，我们考虑参数未知的相同新型混沌系统的自适应同步。驱动系统是

（10）

其中是状态变量，是参数。据精确测量指出，该“驱动器系统”的状态向量并没有考虑这项工作中的不确定性影响。这种不平衡混沌系统的同步非线性观察导致状态向量通常不可用，施工时它更具挑战性，并且已经从函数估计状态矢量分离[45-49]。响应系统具有以下形式

（11）

其中是要确定的自适应控制器。该驱动器系统和响应系统之间的同步误差被定义为

（12）

我们的目标是找到这样的一个合适的控制器并更新该系统的估计参数的（10）同步系统（11）。

定理1.如果控制器被选择作为

（13）

其中，是通过的估计和参数更新律给出

（14）

其中定义为参数估计误差

（15）

然后驱动器系统和响应系统之间的同步实现是当是正的常数。

证明.施加控制法于（13）和（14），误差动态变化（12）成为

（16）

我们认为，Lyapunov积极的函数

（17）

取的（17）的时间导数沿（16），得到轨迹

（18）

这是一个负定的功能。因此，根据Lyapunov稳定性理论[50]，我们得到当指数。换句话说，在同步驱动系统（10）和响应系统（11）之间发生。这样就完成了证明。

3.2数值模拟

为确认所提出的同步方案的有效性，实施数值模拟。混沌系统的参数被选择为一个并且该驱动程序的初始值系统（10）和响应系统（11）都应该分别为和 。我们假设参数估计的初始值是一个且。为确保同步可以发生，我们选择当

相同的新型超混沌系统的同步示于图 5。应当强调的是，参数估计一个的收敛到该系统参数值和（参照图6）。

4新的混沌系统的基于FPGA的不平衡实现

从视图的实际应用中，硬件实现点报告的数学模型的混沌是一个重要的话题。事实上，理论混沌系统已经通过使用共同电子元件得以实现，如电阻器，运算放大器，电容器和乘法器[35,51]。例如，当一个理论系统基于运算放大器，用以下的方法设计[51]，其状态变量是跨电容器的电压。然而，运算放大器和模拟乘法器，如饱和度，电源电压的限制，还是必须认真考虑可接受的输入。此外，它难以控制初始条件是电容器的初始电压。另一种有效的方式来实现理论上的混沌系统是基于FPGA的实现[52-54]。不同的混沌系统，如系统[55]，Pehlivan魏系统[56]，池田。

图5.同一个同步混沌系统。该驱动器的状态轨迹系统（10）（蓝色实线）和响应系统（11）（红点划线）。

图6.时间系列的参数的估计和

时滞系统[57]或自动切换混沌系统[54]已通过使用这种方法实施。基于FPGA的实现也已经用于保护混沌通信[54]或在网络加密卡[52]。

表1.通过的Quartus II获得设备利用率摘要。

图7.设计系统（19）的概要实施数字硬件平台。

一个FPGA可以迅速配置期望的应用，使得它非常方便的进入研究和原型开发阶段[55,58]。因此，在本节中，对基于FPGA的不均衡实现的新系统（2）提出简要介绍。

为了实现隐藏吸引子的（2）FPGA，首先需要它的离散新系统模型。在这项工作中，方程的离散时间版本（2）通过应用欧拉算法[57]，如下所示：

（19）

其中，为间隔。

离散时间系统（19）是通过用基本数字溶液构成组件如加法器，减法，乘法，放大器和利用Simulink和DSP Builder软件的数字积分如图7所示。相应的VHDL代码生成和Quartus II软件与Altera的Cyclone II FPGA2C35编译器上DE2开发板。FPGA的资

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