一种适用于时滞系统的主动容错控制方案外文翻译资料

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第18届世界大会

国际自动控制联合会(意大利)

2011年月28至9月2日

一种适用于时滞系统的主动容错控制方案

Rodolfo Orjuela和Michel Basset

摘要：目前，容错控制(FTC)策略成为确保系统控制目标和故障诊断目标的不可少的环节。此外，时滞系统在实际应用中也越来越多。为此，本文提出了一种适用于时滞系统的主动容错控制策略。策略的核心是用一个多重积分观测器实现状态和故障的同步估计。利用LMI框架给出了保证控制律稳定性和观测器估计误差收敛性的充分条件。最后，通过一个仿真实例说明了该方法的有效性。

关键词：容错控制，时滞系统，多积分观测器，LMI。

1.引言

容错控制(FTC)在过去几十年中受到越来越多的关注[张、江，2008，丁，2009，穆振霍夫等，2009]。事实上，不能将控制和故障诊断与隔离视为要单独完成的两项独立任务。一方面，考虑到系统扰动，在对闭环系统设计控制器的时候需要引入鲁棒的概念。因此，从控制的角度来看，作用于系统的故障是一种扰动，其影响必须被取消或衰减，以确保控制性能。另一方面，从故障诊断和隔离的角度来看，同样的故障被认为是需要检测的信号，因此它的作用不能被衰减以使其能够检测。显然，控制和故障诊断和隔离目标是对立的目标。而可以采用FTC策略同时处理控制和外FDI目标。

容错控制可以根据所采用的策略以多种方式进行(张、江[2008]提出了广泛的文献综述)。其中，主动FTC基于控制律中的自适应机制。最近Witczak[2008]和Kheder等人[2010]分别对离散线性系统和连续线性系统以及Takagi-Sugeno模糊系统提出了一种主动容错控制策略。在他们的策略中，采用参考模型来模拟无故障的标称系统行为，并通过观测器提供的故障估计出自适应机制。然而，这些方法只有在考虑到的故障是常量故障(例如阶跃信号)时才有效。

此外，在一些实际的过程中，经常会遇到具有延迟的系统.因此，这类系统备受关注。在频率和时域上，对这类系统的分析、控制和状态估计已经有了相当多的理论工具[布利曼，2001；夫人，2001；理查德，2003]。然而，时滞系统的FTC控制却非常少。本文针对这类系统，提出了一种容错控制方法.

提出的FTC策略是基于带有附加项的反馈状态控制律。这个附加项是通过对系统上执行器故障的估计给出的。正是由于这种估计，在系统的闭环中引入了一种自适应机制.这样，所提出的FTC可以作为一种主动容错控制策略。故障的在线估计主要是由一个多重积分观测器组成的FDI块(详见第二节)完成的。用这种观测器可以对一个以多项式形式表示的更一般故障进行估计。由于常故障是0次多项式的一个特殊情况，所以该假设被放宽了。

这篇论文组织如下。第二节介绍了所提出的FTC的问题和细节，。第三节给出了对所提出的进行稳定性分析所需的一些初步结果。主要结果见第四节，利用Lyapunov-Krasovskii泛函，在LMI形式下，得到了保证所提出的FTC稳定的充分条件。在第五节中，通过一个仿真实例说明了该方法的有效性

符号：本文将始终使用以下符号。P＞0（P＜0）表示正定矩阵P为正（负）；X^T表示矩阵X的转置，I是适当维数的恒等矩阵。对称矩阵中的对称项

2.问题陈述

假设下列线性延迟系统因执行器上的未知加性故障f(T)而损坏：

其中X^fisin;Rⁿ为状态向量，y^fisin;R^p为系统输出，uisin;R^m为输入，fisin;R^m为未知执行器故障，tau;为已知延迟状态。利用向量函数phi;给出了连续初始条件。给出了适当的矩阵Aisin;R^ntimes;n，A_disin;R^ntimes;n，Bisin;R^ntimes;m，Cisin;R^ptimes;n.

本文的目的是寻求一种控制律，以保证系统(1)的闭环稳定性以及执行器的故障检测和隔离。通过引入以下控制率，可以很好地实现这一目标：

其中x^circ;和f^circ;分别为状态估计和故障估计，Kisin;R^mtimes;n为反馈增益。控制法(2)所需的估计数是在下列FDI模块的帮助下计算的：

其中x^circ;isin;Rⁿ为估计状态向量，y_f(t)isin;R^p为输出系统向量，y^circ;_f(t)isin;R^p为估计输出向量，k^pisin;R^ntimes;p和K_I，iisin;^Rmtimes;p对于i=0，1是待确定的观测器增益。

值得注意的是，拟议的FDI块(3)能够同时提供状态估计和故障估计。观测器(3)被称为多重积分观测器(见Orjuela等人，[2009]关于对多积分观测器的扩展审查)，这这可以被认为是经典的比例积分观测器的推广[Busawon和Kabore，2001，S digoffker等人，1995]。实际上，(3a)中的K_P增益确保根据输出估计误差y_f(t)minus;y^circ;_f(t)进行比例校正。K_i，i增益在方程(3b)和(3c)给出的循环中提供了一个积分校正。因此，FDI块的核心是多积分递推方程(3b)和(3c)。

这里，为了简单起见，作用在系统上的执行器故障f（t）被认为是一阶信号的多项式。因此，故障诊断和隔离模块使得当所考虑的故障为一次或零级分段多项式时，由于只考虑两个积分作用，就可以进行故障估计(见注1)。

假设1.执行器故障f(t)为一次多项式形式，即f(t)=q₁t q₀，其中t为时间，q₁和q₀项未知。

注1.假设1不具有限制性。而且，考虑补充积分作用，它很容易被放宽。实际上，由k次多项式给出的故障f(t)可以由多积分观测器(3)用观测器中的k 1积分递推回路来估计，即必须使用K_I，(K 1)增益。这里，根据假设1，只考虑两个积分作用。对于二次多项式，需要三个积分动作，以此类推。

FTC的设计问题可说明如下：我们求控制增益K和观测器增益kp和K_I，i，如系统的闭环稳定性（1）和执行器故障检测和估计同时满足。

1. 准备工作

在控制律(2)下，系统(1)的闭环由：

给出。方程(4)是通过加减BKx_f(t)项得到的。

状态估计误差是：

故障估计误差由以下几个方面给出：

从(6)和(7)可以看出，多积分观测器中的第一个积分环(3b)提供了故障f的f^circ;估计。而第二积分环(3c)提供故障f的一阶导数的估计f^circ;1。

通过考虑(6)和(7)，闭环系统(4)变成：

从这些最后的方程可以看出，控制增益K的适当选择改善了闭环系统的动态性能，保证了e_x(t)和e_f(t)的收敛性。因此，必须保证它们收敛到零。

状态估计误差(5)的时间演化可以通过考虑方程(8)和(3a)来研究：

故障估计误差（6）和（7）的时间演化分别给出：

注意，根据假设1，f^”(t)=0。因此，由于故障估计是通过积分回路以递归方式执行的，所以故障估计误差是耦合的。

方程(8a)、(9)、(10)和(11)最终可归纳如下：

为了保证容错控制目标，必须保证时滞增广系统(12)的稳定性。本文建立了(12)的稳定性条件，使i=0，1的增益K，K_P和K_I，i同时确定。

1. 主要结果

在这一部分中，我们将研究增广时滞系统（12）的稳定性。在文献中可以找到几种可能的Lyapunov泛函来证明时滞系统的稳定性。哈里托诺夫[2010]最近提出了对这些李亚普诺夫泛函的回顾。本文利用Lyapunov-Krasovskii方法得到了时滞无关的条件.所提出的与延迟无关的条件最终采用LMI形式。

利用Mondi e和Kharitonov[2005]提出的Lyapunov-Krasovskii泛函研究了系统(12)的稳定性：

其中P和Q是对称的，正定矩阵和alpha;是保证指数收敛速度为零的Lyapunov-Krasovskii泛函的衰减速度。

如果存在Lyapunov-Krasovskii泛函(16)，使下列不等式成立，则保证系统(12)的指数稳定性。[Boyd等人，1994年]：

为了得到LMI形式下的稳定性条件，需要下面的引理。

引理1.对于任何具有适当维数的常数实矩阵X和Y，对于任何正矩阵H都具有以下性质：

定理1.考虑延迟系统(1)、多积分观测器(3)和假设1。存在容错控制(2)，对于给定的正标量alpha;对称，存在适当维数的正定矩阵P^tilde;，R，q，两个矩阵K和G_aug解。 关于约束优化问题，以便：

其中

以及由(12)定义的^tilde;A_aug。K是控制律中的状态反馈增益(2)。(3)所需的观测器增益由给出，其中

证据：用Leibniz-Newton公式计算的泛函(16)的时间导数给出：

它通过考虑延迟增广系统(12)的动力学而变成：

应该指出，Lyapunov-Krasovskii泛函(16)可以重写如下：

因此，确保FTC稳定性得不等式（17),再以下不等式存在时必然存在：

这个不等式是通过考虑(19)和(20)在(17)中得到的，并注意到所得到的不等式在[x_aug(t)x_aug(tminus;tau;)]^T上是二次型的。但是，在P，Q，K，K_P和K_I，i中，不等式(21)不是LMI形式。实际上，这些参数在矩阵A_aug中几乎没有关联。因此，这个不等式不能用标准的数值算法来解决。然而，通过应用如下的一些变换，不等式(21)可以用LMI形式写成。

引入两个特殊的矩阵Pisin;R^{2(Nm)times;2(Nm)}和Misin;R^{2(Nm)times;2(Nm)}：

当P₁=P₁gt;0isin;R_ntimes;n，Ptilde;=Ptilde;^Tgt;0isin;R^{2m ntimes;2m n}时，具有适当的维数。不等式(21)现在可以前后乘以矩阵Phi;=diag(M，I)如下：

使用Schur补体[博伊德等，1994 ]：

和

在此阶段，(24)中的块MGamma;M不处于LMI形式。考虑到P和M的定义(22)，可以将(24)中的块MGamma;M写为：

其中

变量的变化将块Psi; Psi;^T以LMI形式在Ptilde;和G_aug中进行转换。不幸的是，类似的变量变化,e.g. delta;= KP₁^-1,不允许将(26)中的第一个块转换为P₁-¹、K和delta;中的LMI形式,因为这些参数是由块BK耦合的。为了避免这个问题，可以应用引理1。

因此，在引理(1)的帮助下，矩阵(26)可以通过以下方式进行上键：

对于特定的选择H=I.考虑到所获得的不等式(28)在(24)中并在(24)中使用两次Schur补体,我们终于得到:

其中，R=P₁^-1并且：

因此，这种线性矩阵不等式保证了容错控制的指数稳定性.

5.仿真举例

在本节中，考虑下列具有两个输入、两个输出和三个状态的延迟系统：

其中

用tau;=1给出了作用于系统状态的恒定时滞tau;.

在定理1的基础上，利用Yalmip界面[Luuml;ofberg，2004]和SeDumi求解器[Sturm，1999]，得到了如下结果：

对于衰变率alpha;＝0.45。

图1显示了考虑u(t)=minus;Kxcirc;(t)给出的经典控制律和故障向量f=[f1 f2]^T

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