基于Bezier曲线的移动机器人通用路径规划算法外文翻译资料

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基于Bezier曲线的移动机器人通用路径规划算法

Riccardo Costanzi* Francesco Fanelli* Enrico Meli* Alessandro Ridolfi* Benedetto Allotta*

工业工程系（DIEF），机电一体化动态建模实验室（MDM实验室），佛罗伦萨大学（UNIFI），Via di Santa Marta 3，50139，佛罗伦萨，意大利

（电子邮件：{riccardo.costanzi，francesco.fanelli，enrico.meli，a.ridolfi，benedetto.allotta}@unifi.it）

摘要：提供高效可靠的路径规划策略对移动机器人来说有很大用处。在执行自主导航任务中能够智能连接一系列航路点是至关重要的。可以使用几个性能指标评估路径的优点，包括其长度和平滑度。本文作者关注移动机器人的平面路径规划;使用Bezier曲线，优化相对于长度和曲率的计算路径，后者用作平滑度的度量。由于目标函数的复杂性，通过一种直接搜索方法进行优化。所提出的方法旨在产生为移动机器人导航可控性提供优势的路径和降低相关功耗。该执行的测试表明，所提出的方法允许实现有趣的结果，暗示作为适用于各种移动机器人的路径规划策略的可行性。

关键词：路径规划，移动机器人，Bezier曲线，最优轨迹，机器人

1.介绍

无论应用领域如何，移动机器人的路径规划是执行的基本操作。在典型的导航任务期间，一个机器人需要从起始点移动到期望点;进一步要求可以添加到任务中，如通过通过一系列中间路点。这个话题具有广泛文学性，可以追溯到80年代初（Keirsey以及其他人（1984），Thorpe和Matthies（1984））。多年来，不同的策略已被用于计算机器人车辆的合适路径，包括在自由空间和存在障碍物空间（例如，布鲁克斯和洛扎诺佩雷斯（2012））。解决方案经常在优化过程之后确定（例如Buml;ack（1996），Goyal和Nagla（2014））：选择的路径是在几个候选中根据一些性能指标考虑了诸如长度或路径的平滑度或在机器人工作空间中与最终障碍保持的距离等参数后“最好的”。

在本文中，作者侧重于移动机器人在自由空间的平面路径规划：给定的位置和路径端点的所需方向，目的是计算连接这些点的一条短而平滑的曲线。这种方法提供了几个好处：平滑路径促使更轻巧的车辆动力学和促进机器人的可控性，最后一个方面在自主车辆的情况下尤其重要;此外，一条短而平滑的路径以减少相关的功率消耗（例如燃料或电池）。

在这种情况下，曲率被用作平滑度的度量，合适的路径的确定被作为约束优化问题。 5阶Bezier曲线（Bartels等（1998））被用于计算路径，利用它们的有用属性及其对一组离散的参数（即它们的控制点）的依赖性; 5阶曲线确实是在路径长度和平滑度方面达到理想的特性允许的最低阶曲线（参见Bezier曲线与路径规划的不同应用（2009）））。优化的解决方案是通过直接获得的搜索方法超过目标函数称量长度和每次迭代计算的路径的平滑度得到的。所提出的方法适用于以下情况：两点之间的导航，或需要机器人移动通过一系列中间路线;在后一种情况下，曲率的连续性是在随后的路径段的每个连接处施加。将拟议策略获得的结果与标准的规划师比较，他利用直线和圆弧（C`ardenas等人（2014），Lida和Yuta（1991），Allotta 等人。（2012）），突出由现在的规划技术提供的优点和展示在现实案例研究中取得的进展。

本文的组织结构如下：第2节简要回顾关于Bezier曲线的一些有用的理论概念;第3节说明了拟议的路径规划策略，第4节介绍了一般的测试案例中的规划师得到的结果。

2.BEZIER曲线

本节简要回顾了Bezier曲线及其属性。由于空间限制，只有那些对考虑的案例研究有用的属性才被阐明并且没有证明; 对Bezier曲线及其应用进行深入的论文，读者可参考提出的参考文献（例如，Bartels等人（1998），Ho和Liu（2009））及其中所载的参考文献。

要介绍的第一个基本概念是平面曲线的定义。 令I成为真正数字之间的一个间隔; 那么平面曲线就是从I到欧几里德空间的连续地图。平面曲线可以参数化地表现如下：

（1）

其中t是参数，gamma;在中具有值，为阅读方便，当上下文清楚时，参数依赖将省略。

参数平面曲线的曲率k（t）是测量曲线“弯”多少的方法; 它的值可以计算如下：

（2）

其中和是相对于参数t的gamma;的第一和第二阶导数，并且代表对矢量进行以下操作：

. （3）

在这种情况下，假设曲线绕轴z = xand;y逆时针旋转曲率为正;另外，将曲率半径定义为

（4）

最后，在参数上定义的曲线长度间隔由下式给出：

（5）

阶次n的Bezier曲线，在定义参数间隔间定义，可以写为n 1个控制点的函数

如下：

（6）

其中和是第i个控制点。

在论文中将利用Bezier曲线的以下属性：

（1）曲线的端点是第一个和最后一个控制点P0和Pn;

（2）该曲线与P0P1相切于P0，与段Pn-1Pn相切于Pn;

（3）一个Bezier曲线位于con的凸包内追加点（这将被称为“控制”多边形”）;

（4）P0处的Bezier曲线的曲率由下式给出：

, （7）

h是P2和段P0P1之间的距离。 类似的关系适用于Bezier曲线末端的曲率;

1. 相对于参数t的n阶的Bezier曲线的m阶导数是n-m阶Bezier曲线，其控制点的阶数n-m可以从原始曲线的控制点递归地计算;特别是对于第i个控制点的一阶和二阶导数，Pirsquo;,Pirsquo;rsquo;,由下式给出：

（8）

3.路径计算

让我们假设所需的路径由l 1个路点和方向对组成，与l部分连接; 另外，让我们假设一下，已知曲率k0的期望初始值。对于路径的每个部分，最佳的5阶Bezier曲线可以计算; 因此，路径计算在于最佳地选择每段曲线的六个控制点的位置一旦一段的控制点已经确定了，那么相应的Bezier曲线可以使用间隔计算；这样，总共路径是通过间隔[0 l]进行参数化的。 根据第二节已经说明的内容，不是每个控制点都可以在平面上自由定位。

图一 控制点的位置的限制

参见图 1，其中显示了对于路径的第一部分控制点的限制。 1vin和1vfin分别代表是定义初始和最终的路径的方向的单位向量，由以下内容给出：

（9）

而1vin的定义如下：

（10）

1P0和1P5需要分别与WP0和WP1一致（属性1）; 属性2强制1P1和1P4在通过端点的曲线上，其方向是所需的路点的方向; 最后，为了满足属性4，1P2必须位于与通过前两个控制点的线相平行的两条线之一上并且与任何给定k0和计算出的a0满足距离为h1，精确线由字符k0确定。

总结一下，对于第j个路段的自由度是以下几个：

bull;aj-1和aj，它们是从相应部分的端点到jP1和jP4的距离;

bull;qj-1，如图1所示。请注意，lj-1和lj需要是正的，则qj-1可以假定任意实数值而不违反（7）;

bull;第三控制点jP3的位置，可以放在平面上的任何地方。

对每个随后的几个航路点/方向对进行优化; 在确定路径的一段之后，计算其最终点处的曲率，并且在（7）中使用曲率值来确定下一段的距离h; 这样，确保了每个连接处的曲率的连续性。

所提出的方法背后的想法是选择每段的自由参数，以便相对于长度和平滑度优化所得到的曲线。 令xj表示每个优化问题的自由变量的向量：

. （11）

为了便于阅读，接下来下标j将被省略，隐含假设优化是对路径的每段进行。

问题可以表述如下：

（12）

其中是曲线曲率的能量，由下式给出：

（13）

alpha;1和beta;2是重量因子。根据（12），优化算法将计算由通过所需航路点的短路径组成的解，同时保持路径任意点的低曲率。最小化受到以下约束：

（14）

其中

（15）

Kmax为一个阈值。这样，不仅可以通过在目标函数内包含曲率来使路径平滑，而且可以在路径的任何一点施加最小曲率半径。确定阈值kmax时需要特别注意。直观地，当两个后续航路点之间的距离较大且方位变化较小时，计算出的路径将不太可能弯曲;通常，曲率阈值将是物理的函数和车辆的几何特征（例如，轮式机器人的最大转向角度对曲率施加最大值）。

除了对最大曲率值的约束之外，还对变量施加了箱约束。虽然唯一的要求是lj-1和lj需要是正的，但已经决定了限制所有决策变量的范围，以进一步降低计算过长度路径的概率。特别地，对于每段路径，点jP3已经被限制在矩形内，轴与主轴平行，对角线为jP0jP5，而其他三个变量的最大值已设置为jP0jP5本身。

用和表示包含每段的每个变量的最小值和最大值的向量，有：

（16）

涉及数量的含义如下：

（17）

一旦最优解已经确定了，第j段路径的控制点选择如下：

（18）

3.1优化算法

由于要最小化的目标函数的复杂性，采用了直接搜索优化方法;这样，不需要确定目标函数的导数的分析表达式。所选择的策略是Luersen等人提出的策略（2004），一种局部—全局的方法，其中使用一系列局部搜索来组成全局优化器。采用空间概率密度来保持过去局部搜索的起始点的记忆，以便最大化在域的未探索区域中开始新搜索的可能性。考虑利用自适应线性惩罚函数的约束，增加不满足约束的解的目标函数的值;如果变量落在域外，它们预计在边界上。每个局部搜索都由Nelder-Mead方法（Nelder和Mead（1965））进行;尽管在一般情况下，这种算法的收敛尚未被证明（Lagarias等人（1998）），搜索特定连接重新启动，以及Luersen等人提出的约束处理策略（2004），使得所提出的方法适合于使不连续，非凸和约束函数最小化。此外，可以先验地设置算法迭代的最大数量，从而在所需的计算时间上施加上限。

4.结果

4.1路点选择

在这种情况下，选择路点以便满足确保计算的路径足够平滑的某些属性（这等于假定在两个后续航路点之间不存在突然的方向改变）。给定通用航点/方向对[WPj Oj]，路径的以下航点的可能候选者必须位于图2中突出显示的扇区内：可以选择正值wp，并且航路点WPj 1必须位于居中的圆形扇区WPj内，其中心角为2wp;另外，期望的方向Oj 1必须在Oj-wp和Oj wp之间。如果两个航路点不符合这些条件，它们之间的路径将被分割成满足该约束的中间航路点的适当量。

该策略旨在不会过度强调车辆动力学：执行大的角位移以连接随后的点导致大的曲率值，这反过来在燃料/功率消耗方面具有不利影响。值得注意的是，这种条件不会造成通用性的损失，因为具有任意所需取向的每对路线总是能够通过一组满足上述标准的航点/方向对连接。

图2 路点选择的限制

4.2测试结果

将拟议的规划技术的性能与采用与圆弧相连的直线的被称为“标准规划”的（C`ardenas等（2014），Lida和Yuta（1991），Allotta等（2012））标准路径规划策略进行了比较。使用Matlab软件进行比较。执行时间未被明确考虑为绩效指标; 在这些测试中，作者决定着重于提出的方法的可行性。 一个两段路径（总共三个航点）已被用作测试用例; 这并不构成一般性的损失，因为通用和任意长路径的优化与考虑的案例相关。

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