离散时滞不确定奇异摄动系统的控制设计外文翻译资料

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离散时滞不确定奇异摄动系统的控制设计

Bahador Makki

德国不来梅大学，不来梅图书馆大街1号D-28357

b.makki@uni-bremen.de

Baharak Makki

挪威格里姆斯塔德科技大学工程学院

Baharakm@uia.no

摘要:研究一类具有时滞和范数有界非线性不确定性的奇摄动系统的状态反馈控制设计问题。所研究的系统同时考虑了时滞出现在系统快、慢状态中和范数有界非线性不确定性。结果表明，用线性矩阵不等式(LMIs)表示的控制增益可以保证闭环系统对所有摄动参数的稳定性。我们提供一个例子来说明所提出的设计方法的可行性。

关键词:奇异摄动系统;时间延迟;控制设计;LMI

1.引言

在过去的三十年中，人们对双时间尺度系统进行了深入的研究，而处理这些系统的一种流行方法是基于所谓的降阶技术。奇异摄动系统通常是自然发生的，因为存在一些小寄生参数乘以系统状态的时间导数。奇异摄动控制系统是近三十年来研究的热点;详见(例如,[7]- [11],[17],[22],[28][31])。处理这些系统的一种流行方法是基于所谓的简化技术[18]。Saksena等人在[22]中系统地回顾了基于慢速子系统和快速子系统分离设计的复合设计。近年来，基于一种新的建模方法研究了奇异摄动系统的鲁棒稳定问题[12]。

奇异摄动系统的稳定性问题(ε-界问题)不同于传统线性系统，它可以设计为:给正摄动标量ε设定上界，使降阶系统的稳定性能够保证原全阶系统对所有摄动参数[1]-[2]的稳定性。由Klimushchev和Krasovskii([15]-[18])的引理可知，如果降阶系统是渐近稳定的，那么这个上界总是存在的。研究人员尝试了各种方法来寻找的稳定界或保守性较低的下界，详见([2]，[18]-[27]，[29]-[31])。[25]中的Shao和Rowland也考虑了慢状态下具有单时滞的线性时不变奇摄动系统。然后，将时间尺度建模的研究扩展到包括慢态和快态的具有多重时滞的奇摄动系统([20], [21])。最近，在[14]中，Karimi和Yazdanpanah研究了一类具有范数有界非线性不确定性的不确定奇摄动系统的鲁棒镇定和扰动衰减问题。另外，利用线性分数变换和结构奇异值方法(mu;)研究了奇摄动系统中摄动参数(ε)的鲁棒稳定性分析和稳定性边界改进问题。近年来，提出了一种双时间尺度系统的动力学模型，其中部分动力学可以看作是范数有界的动态不确定性。显然，这意味着所提出的方法只处理快速子系统有范数限制的两时间尺度系统。虽然这可能被认为是对正在考虑的系统的一种限制，但它包括许多控制系统，例如有两种类型的机械系统，即，慢和快，行为。在这种观点下，合成只对系统的某些动力学进行。

本文给出了一类具有范数有界非线性不确定性的时滞奇摄动系统的镇定与扰动衰减控制综合的新结果。所考虑的系统由状态空间形式的线性标称部分系统、范数有界非线性不确定性系统和时滞系统组成。利用哈密顿方法研究了该系统的鲁棒镇定和扰动衰减问题。状态反馈增益矩阵可以由一定的Ricatti不等式的正定解构造而成。这种方法的另一个优点是我们可以保持复合控制器的特性，即，整个过程可以分为两个子系统([1]-[4])。此外，所提出的稳定设计保证了所有的稳定性，且与时滞无关。

符号：本文中使用的符号是相当标准的。I和0表示单位矩阵和零矩阵;上标“T”表示矩阵移位。是欧几里德向量范数或诱导矩阵2范数。Pgt;0表示P是实对称的正定的。

1. 问题公式化

考虑具有范数有界非线性不确定性的线性时不变状态时滞奇摄动系统:

其中为整个系统的阶数，分别为控制向量，扰动和被控输出，其中项为不确定空间的非线性项。这个确定的矩阵中

是常数，是标量和实数。对于一个向量V，是它的转置，是它的欧氏范数，是平方可积函数的勒贝斯基空间。

假设1.存在已知的实常数矩阵、已知的非线性不确定因素，满足如下有界条件,

相应的不确定因素表示如下，

定义1.

1. 一个状态反馈

如果对W=0和任意，闭环系统在李亚普诺夫意义上对所有都是全局渐近稳定的，且不依赖于时滞(h)，则被认为能够实现鲁棒的全局渐近稳定。

1. 一个状态反馈

、

被认为可以实现鲁棒干扰衰减，如果在初始条件为零的条件下存在性能约束如下的。

本文的主要目标是设计使得状态反馈能够同时实现鲁棒全局渐近稳定和鲁棒扰动衰减，且不受时滞(h)的影响。这里使用的主要方法是标准HJI方法。因此，我们定义一个二次能量函数的形式为:

其中和待定。定义哈密顿函数：

其中E(t)的导数沿闭环系统轨迹求值。众所周知，实现鲁棒扰动衰减的一个充分条件是不等式

结果在严格径向无界([5]-[6])的情况下，E(x)可以作为闭环系统的李雅普诺夫函数进行调节，从而保证了所有的鲁棒稳定性，且不受时滞(h)的影响。

本文将在以下条件下建立：

1. 主要结果

在得出主要结果之前，对一些初步引理进行了综述。

引理1 [32].对于任意具有适当维数的矩阵X和Y以及任意常数，我们有:

引理2.对于任意一个正标量和一个正定，我们有:

证明.利用假设1和引理1，我们可以得出(13)。

引理2的应用是本文的关键技术贡献之一，它建立了由一定项集构成的非线性不确定性的表示。这个观察结果引出了下面的定理，这是本文的主要结果。本文所采用的方法是瑞卡提不等式的标准方法，在状态空间系统[32]-[34]的线性控制中得到了广泛的应用。

定理1.让矩阵是非奇异的。如果矩阵不等式存在正标量和正定解和

这样

分别在(6)和(7)意义上实现鲁棒全局渐近稳定和鲁棒扰动衰减，且与时延(h)无关。

证明.我们将通过证明控制律(15)保证不等式(10)来证明这个定理。

注意到表达式(8)，根据表达式(9)，我们有:

这样

最坏的情况发生在

由此可见,

其中

根据引理2，我们有

使得(19)的右边最小的最优控制律，是由

因此，我们有:

其中

并且

因此，如果存在正定解

对于矩阵不等式

所以我们有

很明显，不等式不再是线性矩阵不等式(LMI)。注意到

并且

我们有

并且

相当于

其中并且

因此，对Mlt;0应用Schur补码并考虑(25a)-(25b)， LMI(14)成立。这样证明就完成了。

推论1.让矩阵是非奇异的。如果线性矩阵不等式存在正标量和正定解

所以

然后是控制律

分别在式(6)和式(7)意义下实现鲁棒全局渐近稳定和鲁棒扰动衰减。

1. 例子

考虑一个具有时滞的四阶奇摄动系统:

其中，和不确定项假设为范数有界，则矩阵考虑为:

同时考虑作为性能边界，作为扰动参数，h=3秒作为时延参数。从(14)中，我们可以选择正定解和如下:

同时,得到的正数为:

给出了所需的状态反馈控制律

其中

图1和图2描述了慢速和快速动力学在存在扰动(高斯噪声)时的鲁棒稳定性和扰动衰减。因此，我们的结论是，对于所有1，系统(26)都可以由控制律(15)来稳定，且与时滞(h)无关，如图3所示，扰动对被控输出衰减程度的正确性如图4所示。

图1.慢速动力学的鲁棒稳定性和干扰衰减

图2.快速动力学的鲁棒稳定性和干扰衰减

图3.状态反馈控制律

图4.干扰对被控输出的衰减程度

图5.慢速动力学的鲁棒稳定性和干扰衰减

图6.快速动力学的鲁棒稳定性和干扰衰减

图7.状态反馈控制律

图8.干扰对被控输出的衰减程度

其中，为摄动参数，h=8秒为时滞参数，由式(14)可得正定解，和为:

图5和图6为系统慢速和快速动力学的时间行为。控制信号如图7所示，扰动对被控输出衰减程度的正确性如图8所示。

1. 总结

研究了一类具有离散时滞的不确定奇摄动系统的鲁棒控制设计问题。提出了一种时滞无关的鲁棒控制设计方法，实现了对所有的鲁棒镇定和干扰衰减。本文的主要贡献有三:一是利用引理2研究了这类系统中考虑的范数有界非线性不确定性的类型与某些项一致。另一种是状态反馈增益矩阵可以用线性矩阵不等式(LMIs)来确定，最后一种是闭环系统对所有都是稳定的。

本文的研究结果是在双时间尺度的情况下给出的，将结果推广到多时间尺度和多时延，如离散时延、中性时延和分布时延，是目前研究的一个课题。

参考文献

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