用智能手机动态法测量螺旋形弹簧的弹性常数外文翻译资料

用智能手机动态法测量螺旋形弹簧的弹性常数

作者：Aurelio Agliolo Gallitto，Onoftio Rosario Battaglia and Claudio Fazio

国籍：意大利

出处：Physics Education

中文译文：

摘要

我们描述了一个可以通过使用智能手机来收集物理实验数据的教育活动，旨在通过动态法测量有质量的弹簧系统的振荡周期和螺旋弹簧的弹性常数。实验测得振荡周期和弹簧弹性常数的结果与其他不同方法所测得的结果非常吻合。笔者讨论了如何在本科阶段的物理学介绍性验室中进行的误差分析。

关键词：智能手机，加速器传感器，研究性实验，谐波振荡

1. 简介

在最近的文献中，越来越多的论文专门研究智能手机作为学校物理实验的实验室工具。因为它们通常配备了几个传感器，所以人们通过适当的应用程序（APP）控制可以进行精确的测量。在这篇论文中，我们描述了一个使用智能手机来收集物理实验数据的教育活动，旨在通过动态法测量弹簧-质量系统的振荡周期和螺旋弹簧的弹性常数。为了计参数，我们对实验数据进行了图形分析。这使得人们可以在本科阶段的介绍性物理实验室讨论比较简单的误差分析。

2.智能手机在物理实验中的应用

在物理实验室探索物理现象并进行实验有困难时，人们可以求助于新技术，特别是使用配备了不同传感器的智能手机。智能手机可以用来对不同的物理量进行测量。而昂贵的设备可以被智能手机取代也为设计和开发多功能的低成本实验室提供了可能。

通过使用垂直弹簧-质量振荡器来测量弹簧弹性常数是一个普通的学校实验活动。一般来说，弹簧-质量系统的振荡周期是用秒表手动测量。但在本次实验中，我们使用智能手机的加速度传感器（加速计）是由免费的Phyphox应用程序控制。

安装在智能手机中的加速计通常是一个微电子机械系统（MEMS），它将机械系统处理成电信号。关于从教育的角度对加速度计实验进行详细的描述，可参照[8]。加速计将测量作用在样本质量上的力并转换为重力方向上的加速度。因此当智能手机处于静止状态时，它将显示重力加速度g的值。但实际上，当智能手机处于静止状态（或做匀速直线运动）时，加速度为零。为了在智能手机没有加速时报告一个为零的加速度，Phyphox应用程序有一个叫做“没有g加速度”的特定功能。其原理是使用一个虚拟的传感器来抵消恒定的加速度g（通常也会考虑到其他传感器的数据）。此外，这个应用程序还允许人们从第二个有网络连接的设备上进行远程控制和观察实时实验数据。

3.实验装置

为了在实验中收集实验数据，我们使用带有Phyphox应用程序的智能手机来测量不同质量的弹簧-质量系统振荡周期，并从实验数据中确定螺旋形弹簧的弹性常数。实验装置的照片如图1。总质量为175克的智能手机被挂在一个近似可以自由垂直振荡的螺旋形弹簧上，并被固定在自制的膨胀PVC支架上。本次实验是通过增加砝码来改变振荡器的质量从而改变振荡的频率。

Phyphox应用程序以大约0.01秒的固定时间间隔报告智能手机加速度的三个方向分量。如图1所示，振荡发生在垂直Y轴上，而且沿x轴和z轴的加速度值仍非常接近于零。该应用程序还允许人们将输出的原始实验数据保存到一个文件中，后续可用于进一步分析。我们通过智能手机的技术特点可以估计实验中加速度和时间测量的不确定性，分别是delta;a = 0.010 m s ^-2和delta;t = 0.02 s。

图1. 实验装置：智能手机被悬挂在一个垂直轴上的螺旋形弹簧上。轴相对于智能手机的方向在图中也显示了出来。而系统的总质量可以通过增加砝码来改变。

4. 谐波震荡和数据分析

图2显示Phyphox应用程序在几乎自由的谐波运动中的截图细节，摩擦力可以忽略不计。振荡周期的值T是通过测量10次振荡的时间并除以10来确定的，以便减少仪器的不确定性。人们可以重复测量几次，以便收集足够的数据来进行可靠的统计分析。

图2. Phyphox应用程序的截图细节，其中显示了谐波振荡期间物体时间的加速度。由于振荡是沿Y轴进行的，所以在实验过程中，沿X轴和Z轴的加速度值仍然非常接近于零。

在弹性常数为k和质量为M的弹簧-质量的自由谐波运动系统中，质量的位置随时间的变化是一个正弦波函数。

y(t) = A sin(omega;t ϕ), （1）

其中A是振荡的振幅，j是相位常数，omega;是角频率，角频率与k和M有关。

（2）

从方程（1）中，可以得到加速度为。

（3）

其中omega;²A描述了加速度的振幅

由于在谐波运动中，加速度随时间周期性变化，人们可以通过a(t)测量振荡周期T。若通过测量不同的质量获得一系列T和omega;的值，便可以利用动态法轻松地确定弹簧常数。人们可以通过方程（2）线性化，绘制omega;²与1/M的关系，从而得到一个斜率等于弹簧常数的线性图。其中弹簧常数可以通过实验数据拟合直线来确定。而在本科阶段，将omega;对M绘制成对数图也可能很有趣。值得注意的是对数图中的两个轴都应使用对数刻度。当一个变量以y = Cxⁿ的形式变化时，对数图将这种关系显示为一条直线，如log（C）是常数，n是斜率。等价地，线性函数是log（y）=log（C） nlog（x）。因此，可以从图中确定C和n。图3显示了omega;对M的对数图的数值。它遵循幂律，n=0.5，如公式（2）所示。

图3. omega;与M的对数图。红色实线是由方程（2）做的图，固定斜率为-0.5，k = k_min = 19.15 Nm ^-1。蓝色虚线是由方程（2）做的图，固定斜率为-0.5，k = k_max = 19.55 Nm ^-1。从这些值可以得到k = (19.4 plusmn; 0.2) Nm ^-1。

如图3所示，通过画两条固定斜率为-0.5的直线通过数据点来确定弹簧的弹性常数值。k的最佳值及其不确定性是通过考虑最大和最小常数的极端值（分别为k_max和k_min）来估计的，可想而知是符合实验数据的。图3中的红色实线的固定斜率为-0.5，k_min = 19.15 Nm ^-1。蓝色虚线的固定斜率为-0.5，k_max = 19.55 Nm ^-1。从这些数值中可以得到k = (19.4 plusmn; 0.2) Nm ^-1，相对不确定性约为1%。

我们还采用静态法对弹簧的弹性常数进行了单独的测量，通过将不同的质量挂在弹簧上，按照胡克定律测量其平衡长度。施加的力通过样品质量乘以重力加速度g（g的本地值为9.801 m s ^-2）来确定。被测量的弹簧长度为从轴上的弹簧固定端到弹簧另一端的距离，不确定性约为2毫米。在这种情况下，弹簧的未拉伸长度l₀是未知的，其是由数据分析来最终确定的。图4显示了力与弹簧长度的数据关系图。从图中绘制的直线的斜率可以得到k_min = 18.8 Nm ^-1和k_max = 20.2 Nm ^-1，从而得出k = (19.5 plusmn; 0.7) Nm ^-1，相对不确定性约为3.6%。在图中，未拉伸弹簧的长度与外力为零时的长度值相对应，结果为l₀=（128plusmn;4）mm。

图4. 力与弹簧长度的关系。红色实线是一条斜率为 k_min = 18.8 Nm^-1的直线。蓝色虚线是一条斜率为k_max = 20.2 Nm^-1的直线。从这些数值可以得到k = (19.5 plusmn; 0.7) Nm^-1。

从对两个获得的k结果进行比较，我们可以推断出用动态法的测量比用静态法的测量得到的结果更准确。值得一提的是，通过较为简单的图解法进行误差分析，我们测量量的不确定度可以通过直线图迅速得到，而并不需要长时间的数学处理。这个活动作为本科阶段的实验活动的一部分，提供学生讨论简单误差分析的机会，并获得基本的误差分析的能力。

5. 讨论

为了对实验数据进行更恰当的分析，我们应该考虑到弹簧的质量m。这可以通过考虑有效质量m₀来实现，即必须加入物体M的质量以正确预测系统的行为。物体M在振荡过程中通过平衡位置时，在弹簧没有变形的情况下，M将有一个速度v_M。另一方面，弹簧节段将有一个取决于其位置的速度：连接在M上的节段将有与质量M相同的速度v_M，连接在墙上的节段将处于静止状态。在最简单的情况下，假设弹簧节段的速度沿弹簧本身线性分布，结果是m₀=m/3。这个结果允许我们在分析实验数据时忽略弹簧的有效质量，因为m₀=m/3asymp;5.5g。然而虑到弹簧的质量，k的值将在实验不确定度内变化。

我们在实验中使用的仪器也允许人们定性地研究系统耦合模式的振荡。因为适当长度的弹簧也意味着是一个可以以适当频率振荡的摆。此系统可以振荡沿着垂直轴（弹簧模式）和在水平面（钟摆模式）振荡。当弹性频率（弹簧式振荡）约为垂性频率（钟摆式振荡）的2倍时，就会出现共振现象，也就是说：

（4）

其中M_eq是弹簧-质量系统的等效质量，l_eq是摆的等效长度。

图5. 加速度与时间的关系。y轴表示垂直方向，而x轴和z轴位于水平面上。曲线a_x(t)和a_y(t)被垂直移动，以便图像更清晰。

在这种情况下，我们可以观察到两种振荡模式。如同在轻微耦合振荡器中的一样，能量最初储存在压缩弹簧中，随着时间的推移，在垂直和水平振荡中来回交换。在图5中，报告了一个这种振荡的例子。这些结果是用弹性常数kasymp;20Nm^-1的弹簧获得的。弹簧上挂着一个总质量约为225g的物体，形成了一个有效长度约为0.45m的钟摆。图6显示了在较窄时间间隔内的振荡，约为23到27秒。T_x asymp; T_z asymp; 2T_y asymp; 1.3 s，对应的角频率为omega;_x asymp; omega;_z asymp; 0.5 omega;_y asymp; 4.8 rad s^-1。因为超出了本文的范畴，我们将不再讨论弹簧摆或耦合振荡器。

图6. 从图中可以定性地得到三个振荡模式的周期和相位的值。T_x asymp; T_z asymp; 2T_y asymp; 1.3 s，这时对应的角频率omega;_x asymp; omega;_z asymp; 0.5omega;_y asymp; 4.8 rad s^-1。

智能手机在物理实验中的使用增加为我们提供了一种新的教学和学习方式，并因为许多学生们都会使用智能手机而进一步提升其可行性。应用程序的开发旨在补充传统学习，帮助学生随时随地学习。因为智能手机结合了多种功能，所以使这一目标很容易实现，并同时提高了学生远程学习的流动性。对于智能手机和应用程序改善大学学科学习过程的能力，学生的看法表明应用程序的使用被他们高度评价为一种新的形式——既支持和加强了学习实践，也促进了学生和教师之间的合作工作。另一方面，在物理实验中使用智能手机作为测量设备，为设计和开发多功能的低成本实验室提供了可能，也为远程学习提供了新的方案。这种耳目一新的方法当然有助于学生学习科学概念，并且可以激发学生对物理学的兴趣。此外得注意的是，通过使用智能手机作为一个实验室工具进行物理实验，可以促进学生主动学习，加强上课或讲座中的参与和互动。事实上，学生对智能手机的兴趣，以及他们自身对于使用这些设备的专业知识，可以转化成为一个良好的基础来促进主动学习，并加强他们学习科学问题的兴趣。值得注意的是，这些实验可以很容易地应用于远程/遥控学习、讲座实验或传统的学校实验室活动，而且成本也非常低。我们认为让学生在与学校实验室不同的背景下进行与实际情况有关的实验，也是可以使物理概念情境化的一种强有力方式。

6. 总结

我们描述了一个使用智能手机来收集物理实验数据的教育活动，旨在通过动态法测量弹簧-质量系统的振荡周期和螺旋弹簧的弹性常数。实验测得振荡周期和弹簧弹性常数的结果与其他不同方法所测得的结果非常吻合。此外，通过较为简单的图解法进行误差分析，我们测量量的不确定度可以通过直线图迅速得到。这种简单的误差分析可以在介绍性物理实验室中完成，这也使本科生获得进行了基本误差分析的能力。而这些测量的成功证明了在本科阶段的介

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Abstract

We describe an educational activity that can be done by using smartphones to collect data in physics experiments aimed to measure the oscillating period of a spring-mass system and the elastic constant of the helicoidal spring by the dynamic method. Results for the oscillating period and for the elastic constant of the spring agree very well with measurements obtained by different methods.We also discuss the error analysis that can be done in an introductory physics laboratory at undergraduate level.

Keywords: smartphone, accelerometer sensor, laboratory experiments, harmonic oscillations

1. Introduction

In the recent literature, an increasing number of papers are devoted to the use of smartphones as laboratory tools for school physics experiments , since they are usually equipped with several sensors that, controlled by appropriate software (app), allows one to perform accurate measurements. In this article, we describe an educational activity that can be carried out by using smartphones to collect data in physics experiments aimed to measure the oscillating period of a spring-mass system and the elastic constant of the helicoidal spring by the dynamic method. For the estimation of these parameters, we perform a graphical analysis of the experimental data. This allows one to discuss a simple error analysis that can be carried out in an introductory physics laboratory at undergraduate level.

2. Use of smartphones in physics experiments

To explore physical phenomena, considering the difficulties to perform experiments in physics laboratories, one may resort to the new technologies and in particular to the use of smartphones, which are equipped with several different sensors and then can be used to perform different measurements of physical quantities. This opens the possibility of designing and developing versatile low-cost laboratories, where expensive devices can be replaced by smartphones.

The measurement of the spring constant by using a vertical spring-mass oscillator is a standard school-laboratory activity. Traditionally, the period of oscillations of the spring-mass system is measured with a stopwatch by hand. In the present work, we use the smartphone accelerometer sensor (accelerometer) controlled by the free Phyphox app .

The accelerometer housed in the smartphone is usually a micro-electro-mechanical system (MEMS), which processes the mechanical system into electrical information. A more detailed description of the accelerometer, from an educational point of view, is given in [8]. The accelerometer measures the gravitational acceleration as a force acting on a sample mass, therefore it will report the values of the gravity acceleration g while the smartphone is at rest. Actually, the acceleration is zero when the smartphone is at rest (or moving at a constant speed). To report an acceleration of zero value while the smartphone is not accelerated, the Phyphox app has a specific function called lsquo;Acceleration without grsquo;, which uses a virtual sensor that subtracts the constant acceleration g (usually by taking into account the data from other sensors as well). Furthermore, this app allows one also to remotely control and observe real-time experimental data from any second network-connected device.

3. Experimental setup

In the experiments we propose here, to collect experimental data we use a smartphone with the Phyphox app for the measurement of the period of oscillation of the spring-mass system with different masses, from which we determine the elastic constant of the helicoidal spring. A photo of the experimental setup is shown in figure 1. The smartphone is hanged to a helicoidal spring that can oscillate vertically almost freely. The smartphone is fixed to home-made expanded-PVC support, having a total mass of 175 g. The mass of the oscillator can be changed by adding weights, thus changing the frequency of oscillation.

The Phyphox app reports the three components of the smartphonersquo;s acceleration at regularly spaced time intervals of about 0.01 s. As shown in figure 1, the oscillations take place along the vertical y-axis. Moreover, the values of the acceleration along the x- and z-axis remains very close to zero. The app also allows one to save the output raw data into a file, from which the data can be used for further analysis. The technical characteristics of the smartphone used in the experiment provide us with an estimation of the uncertainty of measurements of the acceleration and time delta;a = 0.010 m s ^-2 and delta;t = 0.02 s,respectively.

Figure 1. Experimental setup: the smartphone is hanged to an helicoidal spring on a vertical shaft. In the figure, the orientation of axes with respect to the smartphone is shown. The total mass of the system can be changed by adding weights.

4. Harmonic oscillations and data analysis

Figure 2 shows a detail of the screenshot of the Phyphox app during a nearly-free harmonic motion, with negligible friction. The value of the oscillation period, T, is determined by measuring the time of ten oscillations and dividing it by ten, in order to reduce the instrumental uncertainty. One could repeat the measurements several times in order to collect enough data to conduct a reliable statistical analysis.

Figure 2. A detail of the screenshot of the Phyphox app, which shows the acceleration of the mass against time, during the harmonic oscillations. Since the oscillations take place along the y-axis, the values of the acceleration along the x- and z-axis, during the experiment, remain very close to zero.

In the free harmonic motion of a spring-mass system of elastic constant k and mass M, the position of the mass varies as a function of time as a sinusoidal function

y(t) = A sin(omega;t ϕ),

where A is the amplitude of the oscillations, ϕ the phase constant, and omega; the angular frequency that depends on k and M as:lt;

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