阻力和马格努斯力对棒球运动轨迹的影响探究外文翻译资料

本科毕业设计（论文）

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阻力和马格努斯力对棒球运动轨迹的影响探究

作者：Haiduke Sarafian

国籍：美国

出处：World Journal of Mechanics, 2015, 5, 49-58

中文译文：

摘要：在这篇文章中，我们考虑了阻力和马格努斯效应对棒球运动的影响，并定量地展示了速度相关的阻力系数如何改变球的轨迹。对于马格努斯效应，我们设想了一个场景，即球的旋转将马格努斯力限制在垂直平面，此时重力、阻力和马格努斯力构成了一个三平面系统，我们研究了这些力在轨迹上的相互作用。

关键词：阻力、马格努斯效应、旋转球体、棒球、非线性物理、数学

1. 动机和介绍

在物理学、工程学和数学入门课程中，一般来说本科生将学习到斜抛运动的概念，即物体在真空中的垂直平面中以一定角度投掷。分析真空中的运动是因为在没有空气阻力的情况下，可以利用牛顿第二定律产生一组两个独立的二阶线性ODEs。这些方程的解可以描绘出物体是怎样运动的，如轨迹、射程、飞行时间等。但如果我们将所学的概念应用到现实生活中，例如投球或击打棒球，我们会惊讶地意识到这两种情况的严重差异。例如，当我们以斜向上45度去击打棒球时，棒球不会到达最远的位置，此时棒球运动的轨迹也不是对称抛物线。

这篇文章的动机源于前一个问题，即“我们应当以什么角度击打棒球，才能使其运动距离最远？”为了回答这个问题，我们系统地分析了这个问题。在我们的分析过程中，我们偶然地发现了一些有趣的相关问题。令作者惊讶的是，该分析也引出了一些未知领域，揭示了棒球飞行的一种特征，而该发现迄今为止还没有在科学文献中被报道过。我们在本文中确定了已有报告中的定量结果并扩大了对“假设场景”的调查范围。

1. 空气中斜抛物体的物理学：空气阻力和自旋的影响

我们考虑一个以高于水平面的任意初始角度投射到空中的球，它会受到重力和空气阻力。无论其速度如何，阻力（空气阻力）与运动方向相反，阻碍其运动。在图1中，我们用表示球的速度，表示球受到的阻力。而在实际情况中，被击打出去的球也会产生旋转，它可能向后旋转（下旋）或向前旋转（上旋）。我们通过角速度来量化自旋。在这里我们假设球的角动量矢量垂直于竖直平面。图1显示了一个反向旋转（逆时针旋转）的球，球中心的点表示该球的质心位置。对于所选择的场景，旋转球体受到一个额外的力——依赖于自旋的力，即马格努斯力。这个力与成比例且位于竖直平面内。因此对于给定的场景，棒球受到的三个力均保持在同一个竖直平面内，我们分析的问题也就转换为了一个二维问题。

图1能够直观地向我们展示各个作用力对于棒球的影响。例如，它显示了阻力的水平分量和马格努斯力共同作用于运动的相反方向，对球的运动起到阻碍作用。当阻力的垂直分量使棒球“更重”时，沿着向上方向作用的马格努斯力的垂直分量使棒球“更轻”。正是因为这些力相互作用，相互影响，使得这个问题的分析变得具有挑战性。而这些力的各个组成部分的相对定量强度取决于描述飞球和介质的参数。我们将在在第3节中解决这些问题。需要注意的是，若棒球运动在真空当中，则这个问题将大大简化，我们唯一需要考虑的力便是重力！

图一 棒球飞行示意图

该球沿箭头方向在平面内进行逆时针旋转，虚线表示球的

瞬时速度，实线表示球所受到的力，从顶部开始沿逆时针方

向依次为马格努斯力、阻力以及重力

下面我们对阻力以及马格努斯力进行研究。我们以MLB比赛中的棒球速度举例，并将棒球周围的气流视为层流。因此，我们可以将阻力表示为，由该式可知，阻力的方向总是与球体运动的方向相反。这个方程中的参数为、、、阻力系数、介质（空气）的密度以及球的横截面积，即，其中为球的截面半径。现在我们可以利用计算机代数系统 (CAS)将该方程应用于“现实生活”情况。事实上如果我们假设一个速度独立参数，忽略阻力对其的影响，会导致结论不准确，但是考虑到在实际情况中，参数化阻力系数和阻力依旧能够得到较为精确的近似结果，因此我们依旧采用该方法来进行我们的研究。在计算过程中，我们会得到一个式子，其中是棒球的质量，将该式进行等效替代，即，其中，（，，单位为），在国际单位制中，单位为。作者作为一名核物理学家，意识到除了总体符号外，该函数与描述某些核反应的方程有些相似。于是我们解得含的解即。需要注意的是，在慢速条件下，近似等于。空气密度和棒球半径取为，图2向我们展示了在不同的速度范围下如何变化。

图2 棒球运动的阻力系数变化

根据图2，我们可以将棒球的运动划分为三个阶段：慢速阶段，中等速度阶段，快速阶段，他们对应的速度分别为：，以及。在开始与结束时刻分别为常数及，随着运动的变化从向平滑地过渡。因此，棒球在以常见的MLB速度开始运动时受到了一个相对较小的阻力，当它沿着它的运动轨迹运动时受到一个相对较大的阻力并持续减速。简而言之，阻力的影响并不恒定。人们直观地认为运动开始时的阻力影响小于运动结束时的阻力影响。我们将在第三小节中定量地验证这一观点。

棒球受到的另一种力是马格努斯力，表示为，其中是一个独立的恒定速度，它的单位为。值得注意的是，在绝大部分文献中这个力被表述为，事实上这种表述只是前者的简化，为了看到这两种表述形式的等价性，我们假设棒球处在静止状态下，空气以速度从右到左经过棒球，球顶部边缘的点以较快的速度移动，而棒球底部的对应点以较慢的速度移动。这两个速度之间之间的差值，因此，是下列元素的总和：升力系数、棒球的横截面积以及空气的密度，最终我们得到了前一种表达形式，即。

至于如何确定马格努斯力的方向，我们可以利用伯努利力学定律，该定律指出“快速移动的流体对应于低压，反之亦然”。在这个案例中，由于棒球顶端运动的速度更快，底部运动的速度较慢，因此压力差会推动棒球向上运动，对应的力大小为，方向见图1。正如我们遇到的阻力的值，（对于质量为的棒球，取）。马格努斯力的另一个影响因素为自旋值。值得注意的是，在向接球手运动的过程中，每经过5英尺的路程棒球就会旋转完整的一周。已知投手和本垒之间的距离以及棒球的常见飞行时间，我们便可以得到。此外，我们假设棒球在飞行过程中可以维持自己的旋转，即的值不变。有了这些关于描述阻力和马格努斯力的参数的公式及详细信息，我们便可以开始推导棒球的运动方程。

1. 受击打棒球的物理学公式

正如我们在前一节中解释的，棒球的初始角速度矢量平行于水平飞行方向且位于竖直平面内，垂直平面是包含初始速度矢量的平面。换句话说，球的运动发生在一个二维空间中。我们可以构建一个笛卡尔二维坐标系，如图1所示，并列出球的运动方程，分析球的运动。

由牛顿第二定律，我们写出，显然我们可以得到，再代入上一节中所得结论，得。由于棒球的速度始终处在二维空间中，因此我们将速度表示为。而在运动过程中，棒球的角速度维持不变，我们将其写作，于是我们可以得到。

力学方程中的分量和分量分别表示为：

（1）

（2）

1. （2）两式中的最后一项仅适用于旋转的棒球，换句话说，非旋转棒球的运动方程相比较于我们研究的旋转棒球的方程要更加简单。对于一个后旋球，阻力和马格努斯力的水平分量作用是相互叠加的，而沿竖直方向的两个分量，它们的作用是相互抵消的。 方程（1）（2）描述了棒球的运动，这些是高度耦合的非线性ODE。这些方程能够帮助我们得到一组与时间相关的坐标，即。为了突出该求解任务的挑战性及难度，我们直观地列出这些方程：

（3）

（4）

很显然，这样的一组方程很可能没有实数解！尽管我们坚持不懈地尝试求解该方程，但最终我们还是无法将这些方程式转换为可解的实体。然后我们应用Mathematica符号DSolve命令，但它也无法产生解析解。我们尝试用最后一种办法，即数值方法来解这几个方程式，我们引入了一组有意义的、实用的初始条件并利用 Mathematica 的数值例程，即NDSolve。这个简单的七个字母的单词最终成功地得到了一组解。通过图2，我们取一个典型的初始速度，即。我们的第一个目标是评估使射程最大化的初始击球角度，因此，在我们的计算中，我们将初始角度视为一个变量。此外，我们在代码中插入了两个开关。通过打开和关闭它们，我们能够包括或排除阻力和马格努斯力的其中一个力，我们将其列为，该有序列表的可能解为（表示真空环境）、（表示受马格努斯力的作用）、（表示受空气阻力的作用）、（表示同时受到马格努斯以及空气阻力的作用）。其中在国际单位制下的相关参数分别为：

在垂直的平面内，初始条件可以表示为，接下去我们分别对四种可能的开关设置以及选定的不同初始角度求解相应的方程，从而得出其飞行时间。

初始的角度是离散的，即它们之间彼此相距10˚，它们相应的范围也是如此。我们可以利用插值命令，填充初始角度之间的间隙并生成所需的连续坐标。有了这些连续坐标，我们便可以得到离散解和插值连续谱，如图3所示。

有了这些图，我们可以很容易得出一些结论。例如，第一个和最后一个图描绘了两种极端情况。 第一个图对应于真空，最后一个图显示了阻力和马格努斯力两者共同作用下的影响。 这两种情况之间的差异非常明显。它们的最大范围不仅出现在两个不同的角度，而且它们的数值也几乎相差了两倍。类似的，我们也可以将第二个图与第三个图进行比较，这两个图都描述了单一力作用下的情况，第二个图是纯马格努斯效应，而第三个图显示的是纯阻力的影响。 尽管这些场景并不能代表现实生活中的情况，但它们描绘了各个力量之间不同的影响。

此外，我们利用插值连续函数寻找距离最大化的初始角度，输出结果见表1。

表1的第一列显示了在真空环境中，初始角度与地面成夹角的棒球飞行距离最远，这是一个经典物理常识，也表明了我们分析的准确性。针对于现实场景的第四列则显示了一个完全不同的结果。对于初速度且自选速度为的棒球，最远的落地距离出现在初始角度为的情况下。相较于理想状况要小了。第二列和第三列中的数值项则有助于我们得出关于单个力作用下的影响的结论。

利用图4中相应的飞行时间，我们显示了飞行时间与初始角度的关系。而这些数字的意义是不言自喻的，这些绘图清楚地显示了力对飞行时间的影响。

最后我们利用方程（1）（2）的解，即，并应用参数绘图命令，绘制出球的飞行轨迹。最终结果如图5所示。

表1

图3

图4 飞行时间图

图5 黑色曲线是真空中的轨迹，仅用作参考

图5中描绘的飞行轨迹与速度初始角 35°相关。这些图表显示了不同场景对飞行轨迹的影响。例如，将红色轨迹与黑色轨迹进行比较，前者显示了阻力和马格努斯力共同作用影响下的轨迹，而后者是真空中的轨迹。这两条轨迹在其路径的前半部分的大部分时间内无法区分，而在后半部分偏离更多。偏离路径后，红色曲线严重弯曲，而黑色曲线则遵循其“自然”曲率。出现这种现象的原因与图2中描述的速度相关阻力系数有关。简单地说，最初，击球的棒球飞得很快，因此阻力系数值很小，从而它受到的阻力很小。相反，当它沿着它的轨迹横穿时，它的速度损失与较大的阻力系数相关联，因此它遇到更强的阻力。后者便是两者后半部分相差较大的主要原因。对于图5中所给出的其余图表，也可以很容易地得出适当的结论，作者认为这些需要根据读者的兴趣来完成。

我们分析了飞行的最大高度，最终结果如图6所示。

图6包含了一些有趣的信息。例如，任何初始角度下的蓝色标点都高于其余的颜色标点，这是因为前者排除了阻力。而这些标点也高于显示受马格努斯力影响的黑色标点。绿色和红色标点比黑色标点低很多，这是因为前者包含阻力，而后者是在真空环境被投射的。我们还注意到黑色标点和红色标点之间的巨大差别。也就是说，真空和现实生活中的场景之间存在巨大的差异。我们还注意到，无论选择的场景如何，都应该直观地预期绝对最大高度发生在 90°，即直立投影。对图6所示特征的进一步详细研究也可以揭示额外的详细信息。然而，作者将它们留给感兴趣的读者来探索。

图6 最大高度及其投射角度，颜色所代表的情况与图3相同

我们尝试继续探索被击打棒球的更多的一些特性，即飞行的弧长，其长度来自于沿轨迹的弧长元素的积分，即。然而，棒球的坐标是隐式的与时间有关的

函数，因此我们将积分写作，即，最终结果如图7所示。

当有了这些图，我们至少可以提出两个问题。第一个问题是“应该以什么角度击球以获得最大弧长？”结果被列于表2中。

根据表2，可以得出最长轨迹弧长与第二种情况相关。这在直观上是有意义的，因为

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