黎曼-斯蒂尔杰积分 积分的定义和存在性外文翻译资料

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RIEMANN-STIELTJES积分

本章以Riemann积分的定义为基础,而Riemann积分又明显地依赖于实轴的序结构。因此,开始时,我们先讨论区间上实值函数的积分，后几节再推广到区间上的复值和向量值函数的积分。到第十及十一两章再讨论在不是区间的集上的积分。

积分的定义和存在性

6.1 定义 设[a, b]是给定的区间，[a, b]的分法P指的是有限点集, 其中

.

把这里每个数减去它的前邻数的差记作

n).

现在假设是定义在[a,b]上的有界实函数.对应于[a,b]的每个分法P,令

,

，

，

，

最后置

(1) ，

(2) ,

其中最大下界与最小上界是对[a,b]的所有分法而取的。(1)和(2)的左端分别称为在[a,b]上的Riemann上积分与下积分。
如果上积分与下积分相等，就说在[a，b]上Riemann可积，记作(即是 表示Ricmann可积函数的集合).并且用

(3) ,

或

1. .

表示（1）和（2）的共同值。

这就是在[a,b]上的Riemann积分.因为是有界的，所以存在着两个数m和M,使得

因此, 对于每个P,

,

从而数和 组成一个有界集. 这说明，对于每个有界函数 ，上积分与下积分都有定义。关于它们是否相等的问题，即是的可积性问题，是更为细致的问题。我们将不去孤立地研究Riemann积分，而马上去考虑更一般的情形。

6.2 定义 设是[a, b]上的一个单调递增函数(因和有限, 从而在[a, b]上有界). 对于[a, b]的每个分法P，记

显然. 对于[a, b]上任意的有界实数，令

这里, 与定义6.1中的含义相同, 并且定义

其中的inf和sup 都是对所有分法而取的.

如果(5)和(6)的左端是相等, 我们就用

有时也用

表示它们的共同值

这就是[a, b]上关于的Riemann-Stieltjes 积分(或者简称为 Stieltjes 积分).

如果(7)存在, 即(5)和(6)相等, 我们就说 关于在 Riemann sense意义上可积, and write并记作 .

取, 即见Riemann积分是Riemann-Stieltjes 积分的特殊情形. 但是我们要明确指出,在一般情形,甚至不一定是连续的.

关于这个概念还要说几句话. 与(8)相比我们宁愿采用(7)式, 因为在(8)中出现的字母丝毫不增加(7)的内容.我们用哪个字母去代表所谓的 '积分变量'是无关紧要的。例如，(8)就与

相同。积分依赖于, , and , 但与积分变量无关，也可把它略去.

积分变量所起的作用很像求和的指标: 两个记号

是相同的，因为每一个指的都是 .

当然,添上积分变量也无妨，而且在许多情形这样做实际上是方便的.

现在我们研究积分(7)的存在.有些话现在说一次，以后不再每次说明，假定是有界实数，而在[a, b]上单调递增，当不会产生误解时，我们将用 代替.

6.3 定义 我们称分法是的加细，如果(即的每一个点都是的点).设有两种分法和,如果 ，便称是它们的共同加细 .

6.4 定理 如果是的加细，那么

(9)

而且

(10)

证 为了证(9), 先设只比多一个点。设这个附加的点是 , 并且假定,其中和是P的两个相邻的点.令

,

.

显然及 ,与前面一样,这里的,

.

因此，

=

= .

如果比多含个点，我们把上述论证重复次，就得到(9)式、(10)式 的论证是类似的.

6.5 定理 .

证 设是两个分法和 的共同加细.由定理6.4,

因此

(11)

让保持不变，而对所有的取sup，（11）式就给出

(12)

在(12)中，对所有的取inf，就得到本定理.

6.6 定理 在上当且仅当对于任意的 ，存在一个分法使得

(13)

证 对于任意的，有

所以(13)式意味着

因此,如果(13)式对于每个都能成立,就必然有 ,

这就是.

反之, 假设并给定，于是存在分法和 ，使得

(14)

(15)

把 P 选为 和的共同加细，那么定理6.4,连同(14)式和(15)式说明

于是，对于这个分法，(13)成立。

定理6.6 给可积性提供了一个方便的判别法.在运用它之前，先说一点有密切关系的事项.

6.7 定理

1. 如果(13)式对某个及某个成立，那么(当还用这同一个时)(13)式对加细后仍成立。
2. 如果对于，(13)式成立，而, 是内的任意点，那么

1. 如果并且(b)的题设还成立，那么

证 由定理6.4得出(a)，在(b)中所做的题设之下, 和都位于内，所以.因此

,

这就证出了(b).从几个明显的不等式

及

证明了(c).

6.8 定理 如果在上连续，那么在上，then .

证 给定了，选 使得

.

因为在上一致连续(定理4.19), 所以存在着，当, ,并且 时

(16)

假若是的任何合于的分法，那么由(16)便有

1. n)

因此

根据定理6.6, 知道.

6.9 定理 如果在上单调，在上连续，那. (当然,仍然假定单调)

证 假设给定了.对于任意正整数，选分法P.使得

n).

因为连续，所以这是能作到的(定理4.23).

我们假定单调递增(递减的情形与此相仿)，那么

,

因此只要把n取得充分大，便有

由于定理6.6知道.

6.10 定理 假设在上有界，只有有限个间断点.的每个间断点上连续，那么.

证 假设给定了.令.设E是使间断的点的集.由于E有限，而在E的每点连续,我们可以取有限个不相交的闭区间把E盖住，同时要对应的各差数 的和小于.进而我们能够把这些区间安置得让的每个点在某个内部.

从去掉开区间.剩下的集K是紧的。因而在K上一致连续。于是有一个，保证时， 。

现在照下边说的方法给作分法：每个在里出现，每个在里出现，任何开区间没有点在里出现。如果不是之一，那么.

注意，对于每个， ，并且 ，除非

是之一。于是照着定理6.8的证明那样

因为是任意的，定理6.6说明.

附注:如果 与有一个共同的间断点，便未必属于.

6.11 定理 假设在上,,在[m, M]上连续,并且在上.那么在上.

证 选定. 因为在[m, M]上一致连续，所以有0合于，并且当时，只要便能使

因为，所以有的分法使得

设, 的意义和定义6.1所说的相同,而, 是关于的类似的数。把这些数分作两类:如果，便使，如果，便使。

当 ,的选取法表明 .

当 , , 这里

根据(18),得到

所以 因而

.

因为是任意的,由定理6.6有.

评注:这定理提出一个问题，即是:什么样的函数恰好Riemann-integrable可积? 答案在定理11.33（b）

积分的性质

6.12 Theorem

• 1. 如果在上且,那么

,

对任意常数,，并且

• 1. 如果在上,那么
  2. 如果在上 ，并且 , 那么在及[c, b]上 , 并且

• 1. 如果在上并且在上, 那么
  2. 如果并且,那么并且

如果而 是一个正常数,那么而且

证 如果而是的任意分法，就能得到

(20)

如果 and ,并设已经给定.便存在分法 (j = 1, 2)使得

如果把和 换成它们的共同加细，这些不等式仍然成立。于是(20)说明

,

这就证明了.

用这同一个可以得到

因此，(20)说明

.

因为是任意的,所以能断定

(21) .

如果在(21)式中用和取代和, 不等式便掉转方向,从而证明了等式成立.

定理6.12的其它断语的证明都十分类似，不需作详细叙述。在(c)条中的要点在于，当逼近时，（经过加细）我们可以限于考虑包含点的分法。

6.13 定理 如果在上， ,那么

(a);

(b)而且.

证 如果取, 定理6.11说明，当时，.利用恒等式

4

就能完成(a)的证明.

如果取 , 定理6.11同样说明. 选择 , 使得

于是由于所以

6.14 定义 单位阶跃函数的定义是

6.15 定理 如果,在上有界，在点连续，而 ,那么

.

证 取分法,其中,而. 于是

因为在点连续，我们知道，当时与都趋于 .

6.16 定理 假定对于收敛, 是之内的一串不同的点，并且

1. .

设在上连续，那么

1. .

证 用比较验敛法可以证明级数(22)对于每个 收敛。它的和显然是单调的，, .

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