3．3．Hamilton-Jacobi方程简介
本节我们将详细研究Hamilton-Jacobi方程的初值问题:
这里 是未知数, , 以及
我们得到 和初始函数
我们的目标是找到一个适用于所有时间以及在特征法失败后都存在广义解的公式。
3.3.1. 变分微积分，汉密尔顿常微分方程
记得3.2.5中，与Hamilton-Jacob 偏微分方程相关的两个特征方程
都是汉密尔顿常微分方程
它在古典变分学和力学中出现过。(注意这里H对x有依赖性）在这一节中，我们回顾了这些常微分方程从变分原理中的推导。我们将在3.3.2中，讨论如何建立初值问题（1）的弱解。
- 变分的微积分 假设 是一个给定的光滑函数，以下称为拉格朗日函数。
及
因此，下面公式(2)中，用w(s)代替的变量名“o”，用w(s)代替的变量名“x”。
现在给定两个点和一个时间，然后我们引入动态函数
- ,
定义函数为可接受类
图表 1变量计算中的一个问题
因此，如果一条曲线 在0时从y点开始，在时间t时到达x点，那么它就在上。
变分学中的一个基本问题是找到一条满足以下条件的曲线，使
(3)
也就是说，我们要求的是一个，它在所有满足条件的下中使最小
接下来我们假设事实上存在一个满足我们的变迁微积分问题的函数，并推导出它的一些性质。
定理1（欧拉-拉格朗日方程） 函数是欧拉-拉格朗日方程组的解
(4)
这是一个矢量方程，由n个耦合的二阶方程组成。
证明。1. 选择一个光滑函数,满足以下条件
(5)
并定义为
(6)
由于，所以
因此，实值函数
在时有一个最小值，因此
（7）
只要存在
2. 我们计算这个导数，并观察
得到
设
我们回顾（5），然后对积分内的第一项进行分项积分，发现
这一特性对所有满足边界条件（5）的平滑函数都有效，因此对于
临界点 我们刚刚证明，的任何极小值是欧拉-拉格朗日常微分方程系统的解。当然，一条曲线有可能是欧拉-拉格朗日方程的解，而不一定是极小值：在这种情况下，我们说是的临界点。 所以每个极小值都是临界点，但临界点不一定是极小值。
例子 如果，其中，相应的欧拉-拉格朗日方程为
对于，表示质量为m的粒子在由电势产生的力场中的牛顿运动定律。(见Feynman-Leighton-Sands [F-L-S，第19章]）。)
- 汉密尔顿(Hamilton)方程。我们现在把一个由n个二阶常微分方程组成的欧拉-拉格朗日方程，转换成一个由2n个一阶常微分方程组成的汉密尔顿方程。下面我们假设函数 是动态函数的临界点，因此可以求解Euler-Lagrange方程
（4）
首先设定
被称为与位置和对应的广义动量，接下来我们提出这个重要的假设，
我们将在后面更详细地研究这个假设：见3.3.2节。
定义 与拉格朗日L相关的哈密尔顿H是
在（9）中暗示了方程
例子（续） 与拉格朗日相对应的哈密尔顿是
因此，哈密尔顿是总能量，即动能和势能之和（而拉格朗日是动能和势能之差）。
接下来，我们用 来重写欧拉-拉格朗日方程。
定理2（汉密尔顿方程的推导） 函数和满足汉密尔顿方程
（10）
在
是一个常数映射
方程（10）包括一个2n个一阶常微分方程的耦合系统，用于和 （（8）中给出了定义）
证明 首先，从（8）和（9）中注意到，我们在此基础上得出 。我们对进行计算，即
以及
因此
同样地
最后，观察
关于经典力学中的汉密尔顿常微分方程和汉密尔顿-雅各比偏微分方程的更多内容，见Arnold [Ar1, Chapter 9]。我们在这里采用了与力学中的习惯不同的符号：我们的符号大体上更适用于偏微分方程理论。
3.3.2. Legendre变换，Hopf-Lax公式。
现在让我们尝试在汉密尔顿-雅各比偏微分方程和变化微积分问题之间找到一个联系。为了进一步简化，我们也放弃了哈密顿的依赖性，从而确立我们首先重新审视一下第3.3.1节中哈密顿（Hamiltonian）的定义。
- Legendre变换. 我们在此假设拉格朗日满足这些条件：
（11） 的映射是凸的
以及
（12）
凸型意味着L是连续的
定义 L的Legendre变换是
（13）
这也被称为芬奇尔变换
Legendre变换的动机 我们为什么要做这个定义？为了深入了解，让我们注意到，鉴于(12)，(13)中的 '极大 '实际上是一个 '最大'；也就是说，存在一些，对于它们来说
而映射在t处有一个最大值。而对于，只要L在处是可微就可以存在。因此方程对于v来说是有解的（尽管可能不是唯一解），对于而言，。因此
然而，这几乎正是第3.3.1节中与L相关的哈密顿H的定义（回顾一下，我们现在假设省略变量。因此，我们在此写道
（14）
因此，（13）告诉我们如何从拉格朗日L中获得哈密尔顿H。现在我们问一个相反的问题：已知H，我们如何计算L？
定理3（哈密尔顿和拉格朗日的凸显对偶性） 假设L满足（11）、（12），并通过（13）、（14）定义H。
- 因此 映射是凸的
- 此外
（15）
因此，H是L的Legendre变换，反之亦然。
我们说H和L是双凸函数，（15）应该有以下关系
（16）
它们是等价的，条件是在处是可微的，在处是可微的，详见问题11
证明 1. 对于每个固定的，函数是线性的；因此，映射
是凸的。事实上，如果，我们有
对于任何
因此，对于任意
3. 针对（14）的情况
对于所有的，因此
另一方面
现在，由于是凸的，根据，存在，使得
(如果在处是可微的，则取) 设，我们计算出
- Hopf-Lax公式 现在让我们回到Hamilton-Jacobi方程的初值问题（1），并从第3.2.5节的（64）中得出结论，相应的特征方程是
我们在3.3.1中从相关的拉格朗日的最小值问题中得出其中第一个和第三个是汉密尔顿常微分方程。对于（16），我们可以把第二个特征方程理解为
至少在短时间内，（1）有一个解，我们有，因此
我们的目的是修改这个表达式，以便在(1)式没有光滑解的情况下，在时间tgt;0下也有意义。根据第3.3.1节中讨论的变分原理可以做出相应的改变。依据和，我们因此取曲线中的最小化的表达式
这是用初始数据值得来的式子，我们进行相应地定义
这是在所有函数中取的下限。(在后面第十章中提供这个猜测的证明)
我们必须研究解决Hamilton-Jacobi 偏微分方程的初值问题的意义，即由（17）中的函数
（18）
记得我们假设是光滑的，因此
（19）
此外，我们还假定
（20） 是Lipschitz连续的
这意味着
首先，我们注意到，公式（17）可以简化
定理4（Hopf-Lax公式）。如果 和 ，那问题（17）的最小值是
（21）
定义 我们把（21）右边的表达式称为霍普夫-拉克斯（Hopf-Lax）公式。
证明 1. 给定任何并定义，那么（17）中可以定义为：
以及
2.另一方面，如果是任意的满足的函数，我们有
根据Jensen不等式( B.1)，如果我们写作，我们发现
因而
3. 到目前为止，我们已经表明
并将其作为一项推论，以证明上述下限确实是一个最小值。
我们现在开始研究由Hopf-Lax公式（21）定义的函数的各种性质。我们的最终目标是证明这个公式可以为汉密尔顿-雅各比（Hamilton-Jacobi）方程的初值问题（18）提供了一相应的弱解。首先，我们可以得到一些初步结论。
引理1(函数的特性) 对于每一个 和 ,我们都有
换句话说，为了计算，我们可以在时间中计算，然后用作为剩余时间区间的初始条件。
证明1 选取，并任取，因此
现在，由于是凸的，并且，我们有
因此
通过（23），这个不等式对每个都是成立的。因此，由于)是连续的（根据下面的第一部分证明Lemma 2），我们有
(24)
现在取，使得
(25)
然后建立，接着，因此
根据（25），因此
（26）
引理2（Lipschitz连续性） 函数在中是Lipschitz连续的，并且
证明1. 给定，任取，以便于
(27)
然后
因此
并且，互换和，我们发现
（28）
现在取，在（21）选择，发现
（29）
因此
这个不等式和（29）意味着
对于
（30）
最后取，然后通过（28）可以得知。因此引理1和上面第2步中采用的计算方法都意味着
C是由 (30) 定义的常数。
拉德马赫定理（我们将在后面的第5.8.3节中证明）提到，一个Lipschitz函数几乎在任何地方都是可微的。因此，鉴于引理2，由Hopf-Lax公式(21)定义的函数对于 是可微的。下一个定理断定只要u是可微的，实际上是Hamilton-Jacobi 偏微分方程的解。
定理5（Hamilton-Jacobi方程的解）。假设, ,，由Hopf-Lax公式（21）定义的在某一点是可微的。那么
证明。1. 取定.因为有定理1,
因此
让，计算
这个不等式对所都有效，所以
（31）
第一个等式成立，因为。
2. 现在取z，使规定，并设那么，因此
即
让，看到
因此
这个不等式和加上（31）一起完成了证明。
我们总结如下：
定理6（Hopf-Lax公式的解）。由Hopf-Lax公式（21）定义的函数是Lipschitz连续的，在中是可微的，并且解决了初值问题
(32)
3.3.3. 弱解，唯一性 剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
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