关于康德的几何真实定义 ——与莱布尼茨、沃尔夫和兰伯特相比较外文翻译资料

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关于康德的几何真实定义——与莱布尼茨、沃尔夫和兰伯特相比较

原文作者 Jeremy Heis

摘要：这篇文章给出了康德对几何中真实定义理论的情境化解读。尽管莱布尼茨、沃尔夫、兰伯特和康德都相信几何中的定义必须是“真实的”，但他们对“真正的定义是什么”这个问题却有不同的看法。通过查看欧几里得的两个定义，这些分歧变得生动起来。我认为因为康德的数学概念对几何中的真实定义提出了独特的严格要求，所以他接受了欧几里德对圆的定义，拒绝了欧几里得对平行线的定义。但是因为莱布尼茨、沃尔夫和兰伯特等人对真实定义没有那么严格的要求，因此他们接受了康德所拒绝的定义。

关键词：Kant；Lambert；Leibniz；Wolff；Euclid；geometry；definition

最近关于康德数学哲学的研究有两种趋势。一方面，康德的研究者一直在为他的数学哲学提供越来越丰富的语境解释。当然，研究者长期以来一直强调：康德与莱布尼茨和沃尔夫的观点有所相悖，康德将命题视为综合性的，即所有的命题都是可以单独从定义中推导出来的。但是，从 Friedman (1992) 和Shabel (2003) 的研究成果开始，人们更加关注康德的数学概念是如何模仿早期现代证明方法的，这些证明方法最终源自欧几里得的《几何原本》。例如，在这项工作的基础上，Sutherland (2005) 在莱布尼茨和沃尔夫的数学著作的背景下探索了康德的相等、相似和一致的概念，最近 Sutherland (2010) 考察康德对莱布尼茨几何中的“情境分析”的接受情况和沃尔夫在重铸欧几里德的几何证明中如何使用相似的。

另一方面，康德的研究者一直在扩大他们的研究范围，为了便于讨论康德数学哲学中更广泛的主题，他们已经将范围扩大到广泛讨论的几何公理和证明问题以外了。最近他们对康德的数学假设理论 (Laywine 1998, 2010)、康德的数学概念方法 (Carson 1999, 2006) 和康德的几何概念和定义理论 (Dunlop 2012)进行了最新的研究。本文在这些趋势的基础上，对康德的几何中的真实定义理论进行了情境化的解读。特别地，我着眼于两个具体案例，圆和平行线的定义，来说明康德的几何定义理论是如何自觉地、以微妙（但具有哲学意义）的方式提出的，并且康德的几何定义云理论与莱布尼茨、沃尔夫和兰伯特所提出的理论不同。这些案例表明，康德的数学概念方法（基于纯粹直觉中概念的构建）促使他提出了极其苛刻的几何定义理论——这一理论排除了莱布尼茨和兰伯特对平行线的首选定义。

本研究除了帮助我们理解康德数学哲学的意义之外，还有另外四个具有历史意义的原因：

首先，十八世纪德国数学哲学著作有一个显著特征：它与欧几里得有着明确的联系。实际上，尽管沃尔夫、兰伯特和康德在根本上存在不一致的看法，但是他们都认为自己提供了一种最忠于欧几里得模型的数学哲学。（因此，不能说康德的数学哲学模仿欧几里得的几何学，因为这只是提出了“谁的欧几里得”的问题）欧几里得的捍卫者和批评者之间的战斗中有一条重要战线与欧几里得的定义有关。例如，莱布尼茨的最长的几何著作（“In Euclidis rrpOuml;Tct”）主要是对欧几里得定义的逐行批评（Leibniz 1858），而 Salomon Maimon对康德的主要批评之一时因为他看到康德不加反省地接受了欧几里得的圆定义（Freudenthal 2006）。看看莱布尼茨、沃尔夫、兰伯特和康德对欧几里德的两个定义所采取的具体立场，将使我们能够近距离观察这场战斗。

其次，一些评论家（Laywine 2001, 2010; Webb 2006, 219; Hintikka 1969,43-44）已经注意到兰伯特的几何哲学与康德的几何哲学之间的相似性。看看康德和兰伯特所反对的平行线理论，将使我们处于更好的位置去看看这两位思想家（尽管团结一致反对莱布尼茨和沃尔夫）之间存在的分歧。

1. 仔细研究莱布尼茨、沃尔夫和兰伯特关于几何中真实定义的理论，就会发现这些哲学家（如康德）同意，构造确实在验证几何中那些被定义的概念的真实可能性方面发挥作用。 也就是说，他们争论的不是构造是否起到这样的作用，而是构造如何验证所定义的概念的可能性。 这似乎令人惊讶，因为人们可能认为，康德所坚持的构造的作用是对几何哲学的独特贡献（他反对莱布尼茨和沃尔夫的纯粹概念性或“论述”数学概念）。事实上，我将展示更加复杂和有趣的情况：不仅仅只有康德坚持构造在验证定义真实性中的作用，每位哲学家都声称构造在验证数学定义的真实性中发挥了作用——尽管每个哲学家为了适应他们对数学证明的不同概念而对构造的设想都不同。
2. 关于平行线的真实定义的争论是 18 世纪几何哲学中最重要的核心争论。尽管莱布尼茨和康德· 纳克拉斯都包含致力于相似理论的著作，但几乎没有对这些著作进行过学术工作。 本文将有助于纠正这种情况。此外，关于平行论的争论的意义——尤其是关于欧几里德平行公理的地位——远远超出了 18 世纪德国哲学争论中狭隘的话题。 平行公理是《几何原本》中的第五个假设：

也就是说，如果一条直线被两条直线所截，使在同一侧上的内角小于二直角，这两条直线如果无限期延长，则两条直线则在角小于两个直角的那一侧相交。(Euclid 1925, 20)

从古代世界到 18 世纪，许多几何学家都认为这个公理缺乏其他公理所拥有的自明性，因此它需要证明。经过几个世纪的争论和失败的证明，在 19 世纪后期，数学家们发现它不能从欧几里得的其他公理中得到证明，大多数哲学家开始相信该公理要么是经验性的主张，要么是约定俗成的规定，要么是隐含的定义。而任何一个都与康德的观点，即几何公理是综合的先验真理相反。出于这个原因，许多哲学家——追随赖兴巴赫等逻辑经验主义者——从平行理论的这些发展中得出结论，不仅康德的数学哲学被驳斥，而且纯粹直觉和综合先验真理的思想也注定要失败。鉴于这一更广泛的历史背景，理解 18 世纪关于平行理论的争论，尤其是康德本人参与的那些争论，无疑具有重要意义.

关于平行理论的哲学辩论的历史生动地说明了，看似深奥的、高度专业化的数学方法论的辩论可以非常迅速地转向更广泛的哲学主题。特别是，康德声称（与莱布尼茨和沃尔夫相反）我们的认知能力分为两个分支，情感和理解（想象力的表征是它们共同相互作用的结果）。这在本质上与他的一个独特观点有关——即数学知识是纯粹直觉中概念建构的理性知识。一个令人信服的关于这种数学概念的例子实际上支持了康德的认知能力的概念；相反，先前对我们认知能力的某种观点的承诺将迫使几何学家以特定的方式处理某些具体的数学问题。 仔细观察莱布尼茨、沃尔夫、兰伯特和康德对如何定义圆和平行线的非常具体的问题的看法，可以清楚地说明重要时刻的情况。

本文被分为了6个部分。在第一部分，我解释了康德的数学真实定义理论中的作为理性知识的数学知识是如何从概念中构造出来的。第二部分，我对比了康德和沃尔夫对欧几里德的圆的定义。第三部分，我转向了康德对欧几里德的平行线定义以及莱布尼茨和沃尔夫提出的替代方案的批评。第四部分，我解释了为什么康德认为莱布尼兹所认为的“真实定义”只是徒有虚名。第五部分中，我展示了为什么兰伯特接受了（而康德是拒绝的）欧几里得的平行线的定义。第六部分是本文主要论点的附录，展示了康德所坚持的真实定义理论的强度。

1. 康德在几何学上的真实定义理论

康德致力于撰写关于数学概念和定义的特别有力的论文。他认为拥有一个概念，拥有它的定义，并能够构建它的实例，这都是同时代的能力。在康德看来，一个人如果不知道一个数学概念，就不能拥有它的定义。一个人如果不知道如何给出属于这个概念的物体，他就不能知道这个概念的定义。康德提出的第一点就是坚持数学概念是“构造”的，而不是“给定的”。

数学中在定义之前没有任何的概念，因为“定义”这个概念是最先给出的......数学定义永远不会出错。因为由于概念首先是通过定义给出的，它只包含了定义会考虑的内容。（A731/B759）

他提出的第二点的方法就是坚持认为一个数学定义总是包含这个概念的构造。正如他在写给Reinhold的信中所说：

这个经常在几何中存在的“定义”，同时也是这个概念的构造。(19 May 1789, Letter to Reinhold, Ak 11:42)

对康德来说，概念的构造是通过相应直觉的（自发）产生来展示概念(Kant 2002, Ak 8:19)。因此，构造“圆”这个概念是产生于先验直觉。由于“圆”是一个几何概念，所以对康德来说，一个人不知道圆的定义就不能想到一个圆。如果不能凭直觉构造圆，那么他就不会知道这个定义。康德确切的说：我们不能不描述一个圆（B154）。也就是说，我们不能不通过围绕平面上的一个固定的点旋转一条线段来构造一个固定的圆。

当一个人给出一个数学概念的定义时，同时拥有产生其实例的直觉能力。康德说，所有的数学定义都是“真实的”，实际上所有定义都是“有起源的”。根据康德的说法，真实定义呈现出物体从内部标记的可能性(Jauml;sche Logic [JL],sect;106)。由于数学定义是根据直觉中的概念来展示物体 (A241-2)，数学家们能够通过定义来构建概念的实际例字，从而定义提出了使对象属于所定义的概念的可能性。因此，康德称这些定义为“有起源的”，因为定义先验地和具体地展示了概念的对象（JL,sect;106）。任何掌握数学概念的人都知道它的定义，并且因为该定义允许人们构建它的实例，因此，人们不能拥有了一个数学概念后还仍然怀疑它是否有任何实例。

不是每个概念都有概念，也不是每个概念都有真实定义。一般来说，一个人可以拥有一个概念尽管不知道它的定义是什么，以及它是否有实例。为什么康德特别赞成这个关于数学概念的强力论点呢？简而言之，这些要求使数学知识（来自概念构造的理性认知）成为可能。首先要考虑数学概念是“被构造的”，而不是“被给出的”的论点。对康德来说，数学知识是“来自概念构造的理性知识”，这意味着数学证明需要通过产生一个特定的物体，关注它的性质，然后从这个物体中得出一般和先验结论（A713/B741）。但这一程序引入了不合理推理的风险——假设我想证明所有三角形的某些性质，假设在任何三角形中，最大边对最大角(Euclid 1925, 1.18) 为了证明这一点，我画了一个特定的三角形（让我们假设，一个等腰三角形的底边是最大边），表明它所需的特性，由此来概括所有三角形都含有此特性。但是，我并没有注意到在我的推理中，我不合理的利用了这个三角形的特性，这个特性并不包含所有三角形的特性（比如，它是等腰的）。我们需要的是一种精确地能够跟踪所有三角形属性的方法——也就是三角形的定义（A716/B744）。如果没有三角形的定义，我们将无法可靠地从一个特定绘制的三角形中推断出所有的三角形。一个没有定义的数学概念就不能被用来“从概念的构造中获得理性知识”了，也就是说它不是一个数学概念了（没有定义的概念不能创造数学知识，也就是说它不是一个数学概念）。

类似的原因也解释了为什么康德认为一个数学概念就必须包含它的构造。数学概念只是那些可以用于“从概念的构造中得出先验结论”的概念。一个不包含自己构造的概念就不能用于进行数学推论：人们只能随意的推理。正如康德想象的那样，一个哲学家必须处理像“三角形”这样正确的数学概念。此外，定义必须要包含构造的过程。如果不是这样的话，它就必须要证明它确实有可能构造出这个概念的实例。因为康德认为数学证明是建设性的（而不是随意的），想要证明一个概念可以被构造出来就需要它自己确实是

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