有限维复单李代数的双导子外文翻译资料

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有限维复单李代数的双导子

出处：Linear and Multilinear Algebra,2018,66:2,250-259.

摘要：本文证明了一个不受反对称限制的有限维复单李代数的双导子是一个内双导子。作为应用，给出了一个一般线性李代数的双导子。特别地，我们发现了一类非内非反对称的双导子。此外，我们还得到了有限维复单李代数或一般线性李代数上的线性交换映射的形式。

关键词：双导子；单李代数；一般线性李代数；线性交换映射

1.介绍和基本结论

导子和广义导子是两个代数及其推广研究中非常重要的课题。近年来，双导子引起了很多作者的兴趣，见文献 [1-11]。Brescaron;ar等人文献[1]证明了交换素环上的所有双导子是内双导子，并确定了半素环的双导子。在文献[ 8 ]中引入了李代数的双导子的概念，Wang等人证明了Schrouml;dinger- Virasoro代数的反对称双导子是内双导子[7]，Xia等人证明了具有反对称性的超双导子在超Virasoro代数是内双导子的 [9]，Chen [3]指出了特征零域上的单广义Witt代数的每一个反对称双导子也是内双导子。在文[6]中，Han等人确定了W ( a，b )的所有反对称双导子并发现存在非内双导子。计算一些重要的李(超)代数的双导子可能是有用且有趣的，当然，我们应该首先考虑有限维复单李代数.事实上，Wang等人证明了有限维复单李代数的反对称双导子是内的[9]，但关于一般双导子(不受反对称性限制)的问题仍然是不清楚的。我们将在本文中对此问题进行研究。

对于任意李代数L，记双线性映射是的双导子，如果它是关于两个分量的导子。更确切地说，它满足

定义 1.1: 假设L是一个李代数，一个双线性的映射被称为一个双导子，如果它满足

对于任意成立。

令。双线性映射将送至是的双导子，这被称的内双导子。众所周知，有限维复单李代数的每个导子都是内导子。这就带来了一个自然的问题：什么是有限维复单李代数的双导子？这个问题似乎已经被[8]所回答，即一个有限维复单李代数的每一个双导子是一个内双导子。下面的假设是[8]中的一个关键的引理(见[8]中的引理2.2)。

假设1.2: [8]假设是李代数的双导子，则有

不幸的是，通过简单的计算，我们看到假设1.2 是无效的。事实上，由于是关于第一个参数的导子，可以看出

利用在第二个参数中是一个导子的事实，我们可以得到

反之，用不同的方法计算可得

通过比较上面的两个方程，我们有

很明显，公式(3)和(4)是不同的。因此，[8]中关键的引理 2.2不起作用。这告诉我们，有限维复单李代数的双导子的刻画问题仍未解决。

需要指出的是，如果双导子是反对称的 (即对于任意的处理)，假设1.2仍然成立。这个结果是由[3]中的引理 2.3给出的。然而，如果双导子是反对称的，[8]的结果仍然成立。我们可以发现Xu等人在[10]中也忘记了超对称性的假设。此外，我们看到假设1.2在（超）反对称性的条件下被用于刻画李(超)代数的双导子[3,6,7,9,11]。在本文中，反对称性假设和假设1.2不会被应用。

在本文中，有关李代数的符号主要来自于文献[12,13]。设为复数域。假设是复数域上的单李代数，秩为，，为的一个固定Cartan子代数，是的相应根系，是一个的固定基，而是相关于的正（或者负）根集合。内的根内称为单根。令作为的根空间分解，其中

对于每个，取非零向量，使得张成同构于的的三维单子代数，即，和。集合构成的一个基。为了简便，此处提供一个新的定义如下。

如果有满足，则称两个根是连通的。显然，连通关系是上的等价关系。下面的结果很容易证明，将对我们的主要证明有用。

引理1.3：有限维复单李代数的任何两个根都是连通的。

证明：设是一个维数为的实向量空间，其基为。令对称标量积为，每个有限维的复单李代数的根系是众所周知的(见[12]) ，可以写成如下。

接下来我们可以逐一验证，一个指定的类型的单李代数的任何两个根是连通的。证毕。

现在，让我们回顾一下李代数的导子定义如下。

定义1.4: 假设是一个李代数。一个线性映射,如果满足以下条件，则称为一个导子

对于所有成立。

对于,很容易看出对于所有是的一个导子，这被称为内导子。下面的结果是众所周知的。

引理1.5[13]：每一个有限维复单李代数的每个导子都是内导子。

2 .有限维复单李代数的双导子

在这一节中，我们假设是有限维复单李代数的双导子，以下引理对研究的双导子相当有作用。

引理2.1：这里有两个从到它本身的线性映射和,使得

证明： 对于的双导子和固定元素，定义由给出的映射。然后，由式(2)可知是的导子，因此由引理1.5可知是的内导子，于是有一个映射使得，即。由于是双线性的，可以证明是线性的。同样地，我们定义了由给出的关于所有的从到自身的映射。我们可以得到一个线性映射，使得，证毕。

引理2.2: 对于任意，我们有, 其中是由引理2.1定义的。

证明：对于任意，选择,满足Serre关系

，，.

这里，对于任何但固定的用表示，令

对于一些和，，通过比较上述两个方程（7），（11）和引理2.1，我们有

和

通过比较上述两个方程和，我们有。同样，考虑与式( 7 )和( 12 )，。同样，考虑像和，由式( 8 )、( 9 )和( 10 )得。

换句话说，对于可以看出，

现在，对于任何根被表示为。从式（15）和(16)，我们可以假设

由引理2.1和上述两个方程，可知

通过比较式(18) 和(19)，我们有。由于的任意性，我们用式(17)得到。同理，有。由于集合中向量的扩张成,我们有和。

引理2.3: 让和由引理2.1定义。那么有一个复数,使得

证明：对所有的，我们很容易发现集合，是的子空间。从我们所知的结果来看，由，我们有是的一个真子集。因此，我们可以找到一个向量。这表明对于所有的，。通过使用引理2.1选择一个固定的根，我们推导出

令

其中，。 同式(21)一起， 可以得出

结合式(22) 和(24) ，有对任何和成立。式(23)以及得到

同样，通过考虑像,我们有

其中 。 需要注意的是，式(25)和(26)也告诉我们

对于任何，通过使用引理2.1和式(25)，(26) ，我们有

通过结合式(28) 和 (29)，我们首先得到，当。然而，通过取,。 这意味着，，对于所有的，即，这使得。类似地，通过采取，我们有。因此，根据式(25)和(26) ，可以得到

鉴于以及式(30)，可以得出

然后，我们回顾式(28) 和(29)，得到

式(27)，(31)和(32)意味着， 如果使，则有。 此外，对于任意连通的根，同时又满足,从引理 1.3中我们得出结论，即