弱相容映射族的公共不动点定理外文翻译资料

弱相容映射族的公共不动点定理

原文作者 Ljubomir Ciric, A. Razani, Stojan Radenovic, J.S.Ume

摘要:本文研究了完备度量空间中两个弱相容自映射族公共不动点的存在性和唯一性问题。算例表明，我们考虑非线性压缩型映射满足的条件是度量空间相关结果[B. Singh, S. Jain, Menger空间中凭借弱相容性的一个不动点定理, J. Math. Anal. Appl. 301 (2005) 439–448, 定理3.3]和其他许多已知结果的真推广.

关键词:公共不动点定理 相容映射 弱相容映射 非线性压缩条件 柯西序列

1、引言

设是一个度量空间，是上的自映射，在文献[2]中引入和研究了上满足下列条件的自映射：，其中。在文献[2]中证明了如下公共不动点定理.

定理1：设完备度量空间，是在上的一个自映射族。若存在一个固定的，对于任意的和所有的有

其中，则所有的在上存在唯一的公共不动点.

满足这种压缩条件的映射类称为是C型的，它推广并被证明在不动点和公共不动点理论方面是很有用的[4-6]。

Jungck [7]推广了交换映射的概念，引入以下相容映象的概念.

定义2：度量空间上的自映射称为是相容的，如果对于，，，总有.

Jungck 和 Rhoades[8]还引入了一致交换或弱相容映射的概念.

定义3：度量空间上的自映射称为是弱相容的，如果它们在重合点处可交换。即如果，，则.

这个概念在这一领域的所有交换概念之间是最普遍的，为每一对弱交换自映射是相容的，每对相容自映射是弱相容的，但相反的是不正确的。许多作者已经在通常的度量空间和各种不同的广义度量空间中证明了各种交换自映射的公共不动点定理.

最近，Singh和Jain [1]证明了满足C型压缩条件的可交换自映射公共不动点定理.

定理4（[1]，定理3.3）设是度量空间上的自映射，满足以下条件：

；

（4）是相容的，是弱相容的；

（5）或是连续的；

那么有一个唯一的公共不动点.

本文的目的是在度量空间中证明一类满足一般非线性（C）型压缩条件的相容映象族的公共不动点定理.

2、主要结论

在这一部分中，我们首先在完备度量空间中证明任意偶数个相容映射的公共不动点定理。

定义，其中，并且对任意的满足以下条件

（a）在上是连续的

（b）是非减函数，并且

（c）对任意的，

现在我们证明我们的主要结果.

定理5 设，是完备度量空间上的自映射，满足条件

（1）

（2）

（3）或是连续的

（4）序对是相容的，序对是弱相容的。

（5）存在满足对任意的，有

则，在上，有唯一的公共不动点.

证明：设，从条件（1）可知存在，使，而且。所以我们可以在上构造数列和

而且

，对

设，有条件（5），我们可以得到

因此

如果，那么

因此，从（1）和的性质b

由的性质(c)得，所以是不可能的，我们有：

这意味着：

类似的有

因此，对所有的n，甚至是奇数的，我们有

因此是非递增的，所以当时，，考虑条件（2）的限制，我们可以得到。从（c）,我们有，因此

现在我们证明是上的柯西序列.

设对任意的，我们接下去证明存在整数使

对所有的

所以由的性质（c）,有，又因为是连续的，所以存在，使

不失一般性，我们可以假设，当时，存在一个整数，使得

，对所有的

假设，对，把（6）代入（5）。假设当时，（6）成立，我们应该先证明（6）成立对于，我们要考虑如下情况：

（1），那么以及

（2），那么

（3），那么

（4），那么

推论1 设，是一个锥度量空间，映射，：满足条件：， 对所有的， . 2.4

其中，

如果，且是完备子空间，则和在中有唯一的公共点.然而，如果和是弱相容的，则和有唯一的公共不动点.

证明： 取，因为，所以存在，使得，依次归纳，得到一个序列使得 =0，1，2，3，hellip;.

由2.2易得2.5

在这里，，且，所以

因此，由2.3得由定理2.1的证明知，为柯西列，所以存在，使得，且有.

所以知和有公共点，下面证明它们的公共点唯一，

假设存在另一个点使得.

因此由2.2，我们分以下四种情况：

情况1. 如果则.因此，由，知即

情况2. 如果则

因此，即

情况3. 如果则

因此，即

情况4. 如果则因此，所以由，知即

综上，我们知道和有唯一的公共点.

下面证明和有唯一的公共不动点：

因为和是弱相容的，且由上知，所以有，下证，若不然，设，因为，所以，则由2.4可得，矛盾，所以，从而，即有，所以是和的公共不动点.

设是和的另一个公共不动点，且，因为所以，则由2.4可得，矛盾，所以.

所以和有唯一的公共不动点.

定理6 设是一个完备度量空间，设以及是上的两个自映射集合，假设存在使

（1）对任意的的有，对于一些，有

（2）

（3）或是连续的

（4）序对是相容的，序对是弱相容的.

（5）存在对于所有的

则，在上，有唯一的公共不动点.

注：观察到，定理5和定理6 Singh and Jain [1]中定理4在许多方面的推广。我们举一个简单的例子并引用的参考文献中相应的定理来说明我们的定理是基本的定理4的推广.

例：设是空间上的实数集，对任意的和所有的定义

，其中，

设

，对所有的

则

很显然，是连续的，单调递增的，对任意的，有。所以

和是相容的。因此映射和满足定理5和6的所有假设，有一个唯一的公共不动点.

定理4不适用，设

；

则对和任意的，我们有

因此，对任意的和

所以定理4不满足（3）.

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