数学教学的艺术 ——教师和方法外文翻译资料

数学教学的艺术

——教师和方法

原文作者 F. W. WESTAWAY

摘要：当今数学老师在走上教学岗位前都会经过专业师范院校的专门培训，这对他们而言是十分重要的，同时也关系到整个社会的教育事业。因此，如何进行教师的专门培训尤为关键。

关键词：数学老师； 数学教学； 培训；

正文

提及教学，如何让一个接受数学师范学院教学的大学生在他的教学培训结束之前能够自信自己是一个有效教师？在任何艺术方面的技能获得只有通过实践，而教学艺术是特别困难的。虽然数学也许是所有科目中较简单教授的，但是身为一位数学教师对其在30岁之前的专业技能完全满意这是非常罕见的。而如果在35岁之前他在别人的评价里是有能力的教师，那么他是幸运的。每一个学科都布满了教学问题，每一个此类问题可以有多种方式解决，每一个解决方式都值得测试，所有的这一切都需要花费很长时间。所有数学教学问题完美清晰的公开呈现解决方案，这恐怕是耗尽半生都无法完成的。

我常常被问到：老师没有接收正式训练，那么他们去师范学院能把什么做好。他们倾向于认为，很少有教职员工能成为一等数学家的，因此这种培训学院并不能够有效地处理这个问题；即使培训学院能够拥有成为大学的教学服务人员，真正得到的帮助还是很少的，尽管大学教授可以教我数学，他不能教我怎么教男孩子们学习数学。一般的观点并非没有分，但是这样的苛评肯定不适用于所有培训学院，曾经作为数学教师培训的珀西教授第一个这么承认。

进一步地说在培训学院所花费的心理学时间绝对是浪费了，因为它在课堂解决实际问题是没有实用价值的，也许是合理的。这可能是真的，几乎无用的半个世纪前的内省心理学仍然徘徊在一些培训学院；我并不确信。但青年教师应该使自己熟悉正在由心理学家在世界各地进行的有价值的实验工作。这些实验通常是基于大量来自教室的实际数据。确实到目前为止确定的结果还不成立，仍旧尚未建立一个完整的身体心理学说可以自称为是科学的。但没有老师可以忽视已经完成的成果和正在进行的，仅仅只是因为这样一个大的部分，它对现今的学校实践有很密切的关系。

一个老师他接受过培训学院的，相比于没有接受过培训的能很快的敲开属于他自己的特殊主体（非常自然地），无论是数学，古典文学或者别的什么，这是非常显著的一个区别。他早在那个房间中获悉了他将成为其中一个课程的大家庭中的一员。

在一个良好的培训学院，处于初期的数学老师不仅会被教授如何向学生传达知识，算术、代数、几何等等，还能让自己在最大的程度上，在数字和空间的领域成为一个充满活力的智力冒险家，如何跟进数学大师的思想，以及如何去捕捉他们的精神和眼光。他会被鼓励去质疑现有的数学价值观，并询问，并且带有批判精神地去发现传统课程的哪些部分是非常重要的，哪些部分只有常规的价值。他知道许多教材包含大量的无用的信息，和他会被教授有效的区分方法。

同时在一个良好的培训学院的学生能够在他的教学实践可能遇到各种困难方面得到专家建议。在什么阶段，例如，几何总应该“直觉”让位于严谨的科学证明吗？怎么用最好的方法来教授比率与比例。如何处理平行论。培训学院可能必须坦率地告诉他，他在仍是学生的状态下可能不适合处理平行论，除了实证方法理论，因为这一理论固有的困难只能通过长时间，以及仔细的研究现代几何学的才能克服。只有这样他能够区分逻辑与直觉，然后才能设计一种适合六年级孩子的教学方法。简单来说培训学院将指出一些流沙，以及固石，因为在数学教学中流沙比比皆是。老师是被训练成为不仅不会陷入流沙，更可以带孩子们走出误区的人。

可以说，绝大多数中学教师，特别是在公会学校并非接受训练的。这是真的，而这样的结果往往就是以耽误孩子作为代价。但也并非总是如此。如果一个年轻人直接从大学生变成一位教师，这是作为一个观察者和学习者，在一个大学校，数学教学是会被重视的，如果数学部门的负责人有足够的空闲时间去指导他解读和作为他的职业生涯的朋友，那么在校的培训时间可能是比不上的实际的教学指导的，甚至当局者是希望实践优先的，学生教师花尽可能多的时间成为真正的实践者而不是理论家，我不要试图决定这个问题。

数学课程的价值应该如何评估？我指的不是一些常规的事项，每个老师有一年的教学经验应该掌握的效率课程管理，纪律、使用黑板、专业性质疑和处理答案，等等。最常见的误区是年轻的数学老师，他话太多了，如同他的讲座。如果他是从事教学很长一段时间的，那么他学到的重要的东西是不要他们教授的，而是孩子们吸收的，他们的工作是教学，而不是说教。

数学青年教师的另一个常见的错误是，而且并不是所有的经验丰富的数学老师都不会犯此等错误的，那就是采用特定的方法。因为它是整洁的并且数学性的，这一类的方法是吸引一位数学家成为数学家，而并非适用于展示特定的教学原则或者特定规则来让孩子们理解它。如果一个数学老师认为数学家正在听他，他往往热衷于揭示他的数学知识而不是表现出他的教学力量，但是观察者们通常注意到的是孩子们正在学习什么，借此来评估教学的价值。越是整洁的教学方法也许更有可能是孩子们几乎一无所获的原因。真正有效的方式必须是简单明确地展示给孩子们，数学严谨性可能就必须为此牺牲。

再次，年轻的数学老师会成为孩子们口中一代又一代墨守成规的人，例如，在表达式中像乘法符号应该优先于加法符号。为什么一定要这样吗？毫无疑问最初的建议是隐藏在一些旧课本，但它一直被现代作者所采用好像它是神圣不可侵犯的东西。当然如果这些符号并不按照他们的自然顺序从左到右，这样就需要设计问题的人插入必要的说明，而不是让这个可怜的小学习者去完成了。

让学校的数学部门负责人记住带给他自己荣誉的地方或者在他的职员中有特别有天赋的人才处于较低的位置。初学者的位置，应当比任何其他的数学工作要高，他们需要有技巧的教学。高年级专家所创造的陈旧的东西通常可以被一个刚从大学毕业的年轻人很好的吸收。他可能无法教学，但是他是鲜活的，如果高年级专家之前是被有效训练的，他们通常能吸收新的数学知识即使被随意地呈现给他们。

推荐的这卷书主要是为未经专业训练的老师的。并不是推荐这本“书”，或者在学校实践中采用，这不是我们的目的。推荐一本由拥有丰富教学经验的老师所写的书，新手用钻研的眼光去读透它。他应该用这种特殊方式来问询他自己。接着读第二本书，然后第三本等等，注意发展不同方式和接近不同的老师如何做事情，那么他应该专心于发展自己的方法，除非在特殊情况下，否则他都不应该只是单纯地复制另一个老师的方法。让他的方法成为自己的一部分，自己的事情，要对它有感情，因为它们是他的孩子。

外文文献出处：Selected from《Craftsmanship in the Teaching of Elementary Mathematics》chap.1. TEACHERS AND METHODS.

附外文文献原文：

Then as to teaching. How can a mathematical training college student claim to be an efficient teacher at the end of his training year? Skill in any art can be acquired only by much practice, and the art of teaching is a particularly difficult art. Although mathematics is one of the perhaps the easiest, of all subjets to teach, it is a rare thing for a mathematical teacher to be able to feel at all satisfied with his professional skill before the age of 30. He is luck if other people adjudge him efficient before the age of 35. Every mathematical subject is full of teaching problems. Every one of these problems can be solved in a variety of ways. Every one of these ways is worth testing. And all this takes a long time. As for lucidity of presentation a prime necessity in all mathematical teaching that is in itself an art which half a life-time does not seem long enough to perfect.

I have often been asked by mathematical : teachers who have not been formally trained what good they would have done by going to a training college. They are inclined to argue that very few of the training colleges have on their staffs a front-rank mathematician, and that therefore such training college are not in a position to deal with the subject effectively; that even if the training colleges are able to impress into their service members of the mathematical staff of the local university, little real help is obtainable, for although a university professor can teach me mathematics, he cannot teach me how to teach boys methematics. The general contention is not without its points, but the strictures certainly do not apply to all training colleges, as trained mathematical teachers who have been through the hands of, says, professor sir percy nunn are the first to admit.

The further criticism that the time spent on psychology at the training colleges is absolutely wasted, since it has no practical value in the solution of actual classroom problems, is, perhaps, rather more justified. It is possibly true that the almost useless introspective psychology of half a century ago still hangs about some of the training colleages; I do not know. But young teachers should make themselves acquainted with the valuable experimental work which is now being done by psychologists all over the world. These experiments are often based on masses of actural data derived from the classroom. It is true that the definite results obtained so far are rather patchy; a complete body of psychological doctrine has yet to be built up into something that may claim to be science. But no teacher can afford to ignore the work that has been done and is being done, if only because such a large part of it has a very close bearing on present-day school practice.

One broad distinction between the outlook of a teacher who has been through a training college and that of one who has not is that the trained teacher has usually had knocked quickly

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数学教学的艺术

——教师和方法

原文作者 F. W. WESTAWAY

摘要：当今数学老师在走上教学岗位前都会经过专业师范院校的专门培训，这对他们而言是十分重要的，同时也关系到整个社会的教育事业。因此，如何进行教师的专门培训尤为关键。

关键词：数学老师； 数学教学； 培训；

正文

提及教学，如何让一个接受数学师范学院教学的大学生在他的教学培训结束之前能够自信自己是一个有效教师？在任何艺术方面的技能获得只有通过实践，而教学艺术是特别困难的。虽然数学也许是所有科目中较简单教授的，但是身为一位数学教师对其在30岁之前的专业技能完全满意这是非常罕见的。而如果在35岁之前他在别人的评价里是有能力的教师，那么他是幸运的。每一个学科都布满了教学问题，每一个此类问题可以有多种方式解决，每一个解决方式都值得测试，所有的这一切都需要花费很长时间。所有数学教学问题完美清晰的公开呈现解决方案，这恐怕是耗尽半生都无法完成的。

我常常被问到：老师没有接收正式训练，那么他们去师范学院能把什么做好。他们倾向于认为，很少有教职员工能成为一等数学家的，因此这种培训学院并不能够有效地处理这个问题；即使培训学院能够拥有成为大学的教学服务人员，真正得到的帮助还是很少的，尽管大学教授可以教我数学，他不能教我怎么教男孩子们学习数学。一般的观点并非没有分，但是这样的苛评肯定不适用于所有培训学院，曾经作为数学教师培训的珀西教授第一个这么承认。

进一步地说在培训学院所花费的心理学时间绝对是浪费了，因为它在课堂解决实际问题是没有实用价值的，也许是合理的。这可能是真的，几乎无用的半个世纪前的内省心理学仍然徘徊在一些培训学院；我并不确信。但青年教师应该使自己熟悉正在由心理学家在世界各地进行的有价值的实验工作。这些实验通常是基于大量来自教室的实际数据。确实到目前为止确定的结果还不成立，仍旧尚未建立一个完整的身体心理学说可以自称为是科学的。但没有老师可以忽视已经完成的成果和正在进行的，仅仅只是因为这样一个大的部分，它对现今的学校实践有很密切的关系。

一个老师他接受过培训学院的，相比于没有接受过培训的能很快的敲开属于他自己的特殊主体（非常自然地），无论是数学，古典文学或者别的什么，这是非常显著的一个区别。他早在那个房间中获悉了他将成为其中一个课程的大家庭中的一员。

在一个良好的培训学院，处于初期的数学老师不仅会被教授如何向学生传达知识，算术、代数、几何等等，还能让自己在最大的程度上，在数字和空间的领域成为一个充满活力的智力冒险家，如何跟进数学大师的思想，以及如何去捕捉他们的精神和眼光。他会被鼓励去质疑现有的数学价值观，并询问，并且带有批判精神地去发现传统课程的哪些部分是非常重要的，哪些部分只有常规的价值。他知道许多教材包含大量的无用的信息，和他会被教授有效的区分方法。

同时在一个良好的培训学院的学生能够在他的教学实践可能遇到各种困难方面得到专家建议。在什么阶段，例如，几何总应该“直觉”让位于严谨的科学证明吗？怎么用最好的方法来教授比率与比例。如何处理平行论。培训学院可能必须坦率地告诉他，他在仍是学生的状态下可能不适合处理平行论，除了实证方法理论，因为这一理论固有的困难只能通过长时间，以及仔细的研究现代几何学的才能克服。只有这样他能够区分逻辑与直觉，然后才能设计一种适合六年级孩子的教学方法。简单来说培训学院将指出一些流沙，以及固石，因为在数学教学中流沙比比皆是。老师是被训练成为不仅不会陷入流沙，更可以带孩子们走出误区的人。

可以说，绝大多数中学教师，特别是在公会学校并非接受训练的。这是真的，而这样的结果往往就是以耽误孩子作为代价。但也并非总是如此。如果一个年轻人直接从大学生变成一位教师，这是作为一个观察者和学习者，在一个大学校，数学教学是会被重视的，如果数学部门的负责人有足够的空闲时间去指导他解读和作为他的职业生涯的朋友，那么在校的培训时间可能是比不上的实际的教学指导的，甚至当局者是希望实践优先的，学生教师花尽可能多的时间成为真正的实践者而不是理论家，我不要试图决定这个问题。

数学课程的价值应该如何评估？我指的不是一些常规的事项，每个老师有一年的教学经验应该掌握的效率课程管理，纪律、使用黑板、专业性质疑和处理答案，等等。最常见的误区是年轻的数学老师，他话太多了，如同他的讲座。如果他是从事教学很长一段时间的，那么他学到的重要的东西是不要他们教授的，而是孩子们吸收的，他们的工作是教学，而不是说教。

数学青年教师的另一个常见的错误是，而且并不是所有的经验丰富的数学老师都不会犯此等错误的，那就是采用特定的方法。因为它是整洁的并且数学性的，这一类的方法是吸引一位数学家成为数学家，而并非适用于展示特定的教学原则或者特定规则来让孩子们理解它。如果一个数学老师认为数学家正在听他，他往往热衷于揭示他的数学知识而不是表现出他的教学力量，但是观察者们通常注意到的是孩子们正在学习什么，借此来评估教学的价值。越是整洁的教学方法也许更有可能是孩子们几乎一无所获的原因。真正有效的方式必须是简单明确地展示给孩子们，数学严谨性可能就必须为此牺牲。

再次，年轻的数学老师会成为孩子们口中一代又一代墨守成规的人，例如，在表达式中像乘法符号应该优先于加法符号。为什么一定要这样吗？毫无疑问最初的建议是隐藏在一些旧课本，但它一直被现代作者所采用好像它是神圣不可侵犯的东西。当然如果这些符号并不按照他们的自然顺序从左到右，这样就需要设计问题的人插入必要的说明，而不是让这个可怜的小学习者去完成了。

让学校的数学部门负责人记住带给他自己荣誉的地方或者在他的职员中有特别有天赋的人才处于较低的位置。初学者的位置，应当比任何其他的数学工作要高，他们需要有技巧的教学。高年级专家所创造的陈旧的东西通常可以被一个刚从大学毕业的年轻人很好的吸收。他可能无法教学，但是他是鲜活的，如果高年级专家之前是被有效训练的，他们通常能吸收新的数学知识即使被随意地呈现给他们。

推荐的这卷书主要是为未经专业训练的老师的。并不是推荐这本“书”，或者在学校实践中采用，这不是我们的目的。推荐一本由拥有丰富教学经验的老师所写的书，新手用钻研的眼光去读透它。他应该用这种特殊方式来问询他自己。接着读第二本书，然后第三本等等，注意发展不同方式和接近不同的老师如何做事情，那么他应该专心于发展自己的方法，除非在特殊情况下，否则他都不应该只是单纯地复制另一个老师的方法。让他的方法成为自己的一部分，自己的事情，要对它有感情，因为它们是他的孩子。

外文文献出处：Selected from《Craftsmanship in the Teaching of Elementary Mathematics》chap.1. TEACHERS AND METHODS.

附外文文献原文：

Then as to teaching. How can a mathematical training college student claim to be an efficient teacher at the end of his training year? Skill in any art can be acquired only by much practice, and the art of teaching is a particularly difficult art. Although mathematics is one of the perhaps the easiest, of all subjets to teach, it is a rare thing for a mathematical teacher to be able to feel at all satisfied with his professional skill before the age of 30. He is luck if other people adjudge him efficient before the age of 35. Every mathematical subject is full of teaching problems. Every one of these problems can be solved in a variety of ways. Every one of these ways is worth testing. And all this takes a long time. As for lucidity of presentation a prime necessity in all mathematical teaching that is in itself an art which half a life-time does not seem long enough to perfect.

I have often been asked by mathematical : teachers who have not been formally trained what good they would have done by going to a training college. They are inclined to argue that very few of the training colleges have on their staffs a front-rank mathematician, and that therefore such training college are not in a position to deal with the subject effectively; that even if the training colleges are able to impress into their service members of the mathematical staff of the local university, little real help is obtainable, for although a university professor can teach me mathematics, he cannot teach me how to teach boys methematics. The general contention is not without its points, but the strictures certainly do not apply to all training colleges, as trained mathematical teachers who have been through the hands of, says, professor sir percy nunn are the first to admit.

The further criticism that the time spent on psychology at the training colleges is absolutely wasted, since it has no practical value in the solution of actual classroom problems, is, perhaps, rather more justified. It is possibly true that the almost useless introspective psychology of half a century ago still hangs about some of the training colleages; I do not know. But young teachers should make themselves acquainted with the valuable experimental work which is now being done by psychologists all over the world. These experiments are often based on masses of actural data derived from the classroom. It is true that the definite results obtained so far are rather patchy; a complete body of psychological doctrine has yet to be built up into something that may claim to be science. But no teacher can afford to ignore the work that has been done and is being done, if only because such a large part of it has a very close bearing on present-day school practice.

One broad distinction between the outlook of a teacher who has been through a training college and that of one who has not is that the trained teacher has usually had knocked quickly

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