怎样解决它 ——数学思维的新方法外文翻译资料

怎样解决它

——数学思维的新方法

原文作者 G.Polya

摘要：本文介绍了作者论述的关于怎样帮助学生在学习数学，建立数学思维的新方法。本文选取了本书的第一部分在教室中教师应该如何做。作为教师应当如何去引导学生学习数学，建立数学思维这是本文论述的主要内容。

关键词：教师； 教室； 学生；数学思维

第一部分 在教室中

目的

1．帮助学生

教师最重要的任务之一是帮助学生。这个任务并不很简单，它需要时间、实践、热忱以及健全合理的原则。

学生应当有尽可能多的独立工作经验。但是如果让他独自面对问题而得不到任何帮助或者帮助得不够。 那么他很可能没有进步。 但若教师对他帮助过多，那么学生却又无事可干，教师对学生的帮助应当不多不少，恰使学生有一份合理的工作。

如果学生不太能够独立工作，那么教师也至少应当使他感觉自己是在独立工作。为了做到这一点，教师应当考虑周到地、不显眼地帮助学生。

不过，对学生的帮助最好是顺乎自然。教师对学生应当设身处地，应当了解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。

2．问题、建议、思维活动

在打算对学生进行有效、不显眼而又自然的帮助时，教师不免一而再，再而三地提出一些相同的问题，指出一些相同的步骤。这样，在大量的问题中，我们总是问： 未知数是什么?我们可以变换提法， 以各种不同的方式提问同一个问题： 求什么?你想找到什么?你假定求的是什么?这类问题的目的是把学生的注意力集中到未知数上。有时，我们用一条建议：看着未知数，来更为自然地达到同一效果。问题与建议都以同一效果为目的：即企图引起同样的思维活动。

从作者看来，在与学生讨论的问题中，收集一些典型的有用问题和建议，并加以分类是有价值的。前面这张表就包含了这类经过仔细挑选与安排的问题和建议；它们对于那些能独立解题的人也同样有用。读者充分熟悉这张表并且看出在建议之后所应采取的行动之后，他会感到这张表中所间接列举的是对解题很有用的典型思维活动。这些思维活动在表中的次序是按其发生的可能性大

小排列的。

3．普遍性

表中所提问题与建议的重要特点之一是普遍性，例如：未知数是什么?已知数是什么?条件是什么?这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题，我们提出这些问题都会取得良好效果。它们的用途不限于任何题目。我们的问题可以是代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的，一个严肃的问题或仅仅是个谜语。这没什么差别，上述问题都是有意义的，而且有助于我们解题。

事实上，还存在一个限制，不过这与论题无关。表中某些问题与建议，只能用于“求解题”而不能用于“求证题”。如果我们的问题属于后者，则必须采用别的提问方法，见第三部分“求解题，求证题”这一段。

4．常识

我们这张表中的问题与建议是具有普遍性的，但是除去其普遍性以外，它们也是自然的、简单的、显而易见的并且来自于普通常识。例如这条建议：看着未知数!试想出一个具有相同未知数或类似未知数的熟悉的问题， 这条建议不管怎样总是劝告你去做你想做的事，而对于你认真要解决的问题并未提出具体的劝告。 你是不是肚子饿了?如果你希望搞点吃的， 你就会想起你所熟悉的搞到食物的一些办法。 你是不是有一个几何作图题?如果你想作一个三角形， 你也会想起你所熟悉的一些作三角形的办法。 你是否有一个任意的问题?你若希望找出某个未知数，你就会想起找出这样一个未知数或你所熟悉的类似未知数的一些办法。如果你这样做了，那你的路子也是对头的；这个建议是个好建议，它向你提出一个常能成功的程序。

我们表中的所有问题与建议都是自然的、简单的、显而易见的，而且只不过是普通常识；但是这张表把常识概括地加以叙述。这张表所提出的处理办法对于那些认真对待其问题并有某些常识的人来说是很自然的。然而按正确道路行动的人往往不注意用明确的语言来表达其行动， 而且他可能根本不会这样做；我们这张表却尝试去表达这些。

5．教师与学生，模仿与实践

当教师向学生提出表中的问题或建议时，他可能有两个目的：第一，帮助学生解决手头的问题；第二，培养学生将来能够独立解题的能力。

经验证明，适当使用我们表中的问题与建议，常能对学生有所裨益。此表有两个特点：常识性与普遍性。由于此表来源于普通常识，所以显得很自然，学生自己也会提出这类问题。由于此表具有普遍性，所以它们对学生的帮助并非强加于人；它们只不过指出了一般的方向，而留给学生去做的还很多。

上述两个目的是密切相关的。如果学生在解决手边的问题中获得成功，他就提高了一些解题的能力。这时，我们不应该忘记我们所提问题具有普遍性而且可适用于许多情况。如果同一个问题反复地对学生有所帮助，那么他就会注意到这个问题，于是在类似的情况下，他自己就会提出这个问题。通过反复地提出这个问题，他总会有一次成功地诱导出正确的念头。通过这样一次成功，他便发现了利用这个问题的正确途径，于是，他真正地领会了它。

学生可能对我们表中的一些问题领会得很好，以致他最终能够在恰当的时刻向自己提出正确的问题，并进行相应的自然而活跃的思维活动。这样，学生就无疑从我们的表中得到了尽可能多的收获。为了得到尽可能好的结果，教师可以做些什么事呢?

解题，譬如，就好象游泳一样，是一种实际技能。当你学习游泳时，你模仿其他人的手足动作使头部保持在水面上并最后通过实践(实地练习游泳)来学会游泳。当试图解题时，你也必须观察并模仿其它人在解题时的所作所为，并且最后通过实践来学会解题。

希望提高学生解题能力的教师，必须培养学生的兴趣，然后给他们提供大量的机会去模仿与实践。如果教师想要在他的学生中发展相应于我们表中的问题与建议的思维活动，那么他就应该尽可能地经常而自然地向学生提出这些问题和建议。此外，当教师在全班面前解题时，他应当使其思路更吸引人一些，并且应当向自己提出那些在帮助学生时所使用的相同问题。由于这样的指导，学生将终于找到使用表中这些问题与建议的正确方法，并且这样做以后，他将学到比任何具体数学知识更为重要的东西。学到比任何具体数学知识更为重要的东西。

主要部分，主要问题

6．四个阶段

在求解过程中，我们很可能再三地改变我们的观点，或者改变考虑问题的途径。我们应该不断地变更我们的出发点。当我们开始着手解题时，我们对问题的概念可能很不完整；当我们有些进展以后，我们的看法就不同了；而当我们几乎已经得到解答的时候，看法就会更不相同。

为了把我们表中的问题与建议进行适当分组，我们把工作分为四个阶段。首先，我们必须了解问题；我们必须清楚地看到要求的是什么?其次，我们必须了解各个项之间有怎样的联系?未知数和数据之间有什么关系?为了得到解题的思路，应该制定一个计划。第三，实现我们的计划。第四，我们回顾所完成的解答，对它进行检查和讨论。

上述每一阶段都有其重要性。可能会有这样的情况：一个学生想出了一个异常好的念头，于是跳过所有的预备步骤，解答就脱口而出了。如此幸运的念头当然是求之不得的，但是也可能发生很不如愿和很不走运的事：即，学生通过上述四阶段中的任何一个阶段都没有想出好念头。最糟糕的情况是：学生并没有理解问题就进行演算或作图。一般说来，在尚未看到主要联系或者尚未作出某种计划的情况下，去处理细节是毫无用处的。如果学生在实行其计划的过程中检查每一步，就可以避免许多错误。如果学生不去重新检查或重新考虑已完成的解答，则可能失去某些最好的效果。

7、弄清问题

回答一个你尚未弄清的问题是愚蠢的。去做一件你不愿干的事是可悲的。在校内外，这种愚蠢和可悲的事情却经常发生，但教师应力求防止在他的班级里发生这样的事。学生应当弄清问题，然而他不仅应当弄清它，而且还渴望解出它。如果学生对问题没弄清或不感兴趣，这并不是他的过错，问题应当精选，所选的题目不太难但也不要太容易，应顺乎自然而且趣味盎然，并且有时在叙述方式上也应当自然而有趣。

首先，必须了解问题的文字叙述。教师在某种程度上可以检查这一点，他可以要求学生重新叙述这题目，而学生应能流利地重新叙述这个问题。学生还应当能够指出问题的主要部分，即未知数，已知数据，条件。所以老师提问时，不要错过这样的问题：未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么?

学生应该仔细地、重复地并且从各个方面来考虑问题的主要部分。如果问题和某一图形有关，那末他应该画张图并在上面标出未知数与已知数据。如果对这些对象需要给以名称，他应该引入适当的符号。适当地注意选择符号，他就会被迫考虑这些必须选择符号的对象。在此预备阶段中，假定我们并不期望有一个明确的回答，而只不过想有一个临时性的回答或一个猜测，那么另外还有一个问题可能是有用的，即：满足条件是否可能呢？

外文文献出处：《How to solve it –A New Aspect of Mathematical Method》

附外文文献原文

PART I. IN THE CLASSROOM

PURPOSE

1.Helping the student.

One of the most important tasks of the teacher is to help his students. This task is not quite easy; it demands time, practice, devotion, and sound principles.

The student should acquire as much experience of independent work as possible. But if he is left alone with his problem without any help or with insufficient help, he may make no progress at all. If the teacher helps too much, nothing is left to the student. The teacher should help, but not too much and not too little, so that the student shall have a reasonable share of the work.

If the student is not able to do much, the teacher should leave him at least some illusion of independent work. In order to do so, the teacher should help the student discreetly, unobtrusively.

The best is, however, to help the student naturally. The teacher should put himself in the studentrsquo;s place, he should see the studentrsquo;s case, he should try to understand what is going on in the studentrsquo;s mind, and ask a question or indicate a step that could have occurred to the student himself.

2. Questions, recommendations, mental operations.

Trying to help the student effectively but unobtrusively and naturally, the teacher is led to ask the same questions and to indicate the same steps again and again. Thus, in countless problems, we have to ask the question: What is the unknown? We may vary the words, and ask the same thing in many different ways: What is required? What do you want to find? What are you supposed to seek? The aim of these questions is to focus the studentrsquo;s attention upon the unknown. Sometimes, we obtain the same effect more naturally with a suggestion: Look at the unknown! Question and suggestion aim at the same effect; they tend to provoke the same mental operation.

It seemed to the author that it might be worth while to collect and to group questions and suggestions which are typically helpful in disc

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