扩大在职数学教师在创造性工作上使用技术时的视野
CHARALAMPOS TOUMASIS
本文介绍了数学推理和解决问题的教学研讨会的经验，旨在解决高中数学老师准备基于计算机的环境中真正的数学活动教学。参与者被鼓励使用几何画板软件去探究一些陌生的任务和活动，然后相应地证明自己的猜想。老师在探索过程中扮演了推动者的角色并在数学教学中做出重大贡献。数学教师开始在数学教学中感受到技术的力量，然后高兴地将经验和想法大量地使用在课堂教学中。
1.介绍
伟大的数学家和教育家玻利亚[1-2]和数学哲学家拉卡托斯[3]在数学教学方法的发展中作出了贡献.因此,所有年级越来越强调的是学生应该得到更多的机会去体验典型的数学活动,寻找模型,进行概括或特殊化或类比,猜想证明等.通过这种方式,学生们可能会有更强烈的感觉,数学就在我们的生活中,日益发展、主题开放.数学活动是动态的、强大的、值得努力的而不是传统数学那种陈旧的知识体系.
所有中学学生应该知道的推理技能包括猜想、反证、逻辑推理、判断,建立简单有效的论点[4,5].猜想是数学证明的核心.数学证明和猜想是数学和数学教育的核心内容.证明在数学教育中最重要的潜在贡献是提高学生的数学理解[6].
因此,学生应该利用自己的经验,寻找合适的模式进行初步概括,从而进一步搜索确认或证明反例和假设,实际上这是一个专业数学家大部分的工作.理想情况下,他们应该继续通过证明去确认结果,或者通过演绎推理来了解数学文化和传统数学的需求.
技术在发展、评估、改进猜想过程以及其他方面的数学推理学习中发挥了强大的作用.计算机软件程序,比如几何画板[7],卡氏几何[8],允许学生通过实验、研究代数和几何属性去检验和完善猜想、寻找反例.
然而,任何这种努力提高以及由技术手段,培养学生的数学推理密度在于任课老师手中.事实上,在数学任何课程改革的成功最终取决于任课教师[9].因此,当教师认识到它的重要性,真正的数学活动,例如促进课堂环境,进行调查,推理和沟通,解决问题或提出问题将成为焦点.“教师通过创建和维护课堂环境,鼓励学生在探索中,在解决问题的过程中承担风险,分享失败,并质疑自己”（[5],第36页）.
George Polya[10]表达的观点,数学教师的教学应在适当的水平,通过解决问题的研讨会或通过任何其他合适的媒介来提供独立、创造性的工作经验.
2.目的和方法
这篇文章的目的是描述数学活动是一个过程,而不是学习的产物.
至于具体的目标,我把一些发现方法提供如下：
1.方便发展学生对学习和探究,猜测和预感,解决问题的可能性的态度.
2.让学生体验数学发展那激动人心的过程.
3.促进独立思考和创造性,鼓励思想交流.
4.数学作为一门学科,对其中的一些对错进行修改,使得数学成为一门令人信服的学科.
5.鼓励学生合作,收集和整理数据,来猜想结果,并听听同行的想法,以促进集体努力和练习沟通技巧.
此次研讨会由一所学校的顾问承担提供继续教育的责任,数学教师提高课堂教学就发生在希腊帕特雷在职教育中心.与会者共12位9-12年级在职高中数学教师（2女和10男）.所有的人调查了详细的数学背景资料,但很少将直接经验与技术运用在数学教学中.对于研讨会的参与者,以及其他许多数学教师发现数学背景很难与学习关联起来.相反,说教式的活动如对需要经常记忆的定理没有足够的了解,模型问题的建立而是通过反复死记硬背.
本次研讨会对制定、沟通和支持原来的数学猜想提供了一个全新的体验机会.与会者使用一个基于计算机版本的画板（4）,它另外也可以做为图形计算器,如对TI-92相同的探索.
提出的一套有10项任务的处理代数、几何和微积分概念的活动中,参与者被要求调查他们每个人,然后相应地证明自己的主张.任务在细节处是陌生的,基于传统的数学概念但在教科书中不常见.最重要的是对许多参与者来说,这是他们第一次被要求调查一个事先不知道是真是假的数学陈述.这为高中数学教师数学的探究提出了一个新维度.
教师在每周3小时的计算机工作会议期间,理想情况下他们应该提出自己的猜想,并与整个团体共享.一旦这个猜想被这个团体所理解,他们或许可以找到反例来证明猜想.
当一个老师进行议题的猜想时,他/她的同事们去休息.接下来,试图寻找反例证明猜想.如果有所发现,命题将进行相应修改.如果没有发现,大多没法在课堂上完成证明,但这毕竟是一些教师进行了几天努力的结果.
在这样的过程中,教师必须扮演推动者角色.他们鼓励学生追求即使他们是在黑暗中探索.教师的主要任务是鼓励学生去提出命题、猜想和证明,创造一流的环境使学生能随时提问,并寻求帮助,进行推测,激发学生的活动兴趣,营造合适的学习气氛.
3.抽样活动的介绍
笔者的经验,从三个这样的活动,结果列于下文.
活动1
1899年,弗兰克·莫利,碰到一个叫 “莫雷的奇迹”的数学民间传说.在一个任意三角形中,将三个角三等分得到,,,,和,交点分别是、、.莫雷的神奇定理指出三角形是等边三角形.进一步探索的是线段,,,,和（图1）之间的关系.
众所周知的,使用直尺和罗盘将角三等分是不可能的.相反,利用几何画板可以通过计算将任意角三等分.构成的一个三角形,它是可以被拖动的,任何数值都是由程序显示的.
动态软件允许学生收集几个不同的例子,数据快速准确,一个任务如果通过笔和纸的方法完成,这将是艰巨的.而所有的例子模式显然可以再探讨.
经过多次试验,一个猜想是制定了.在这种情况下,两个学生在几何程序中使用嵌入直线段、、和直线段、和相乘的计算器.使用几何画板的制表功能,在一个表中记录学生的三段和其他三段,如点移动时（图2）.
不久,他们证明了这种关系似乎使每一个初始三角形ABC失真,并提供强有力的证据证明这个猜想是正确的.这个猜想是开放的,而且证明被发现之前,研究小组发现通过动态软件探索使初始三角形失真,毫无疑问这个猜想是真实的.教师用这种方式探索必须有足够的信心,引导学生进行调查、探究去证明猜测的存在.
此时,一些老师表示高中生可以认可的证明是不必要的.正如一位与会者说,“为什么我的学生想证明这个命题的时候,看到它的证明就在他们面前？”.然而,当要求明确,如果上述证据构成了证明,他们都表示相信.许多例子有不同的证明.虽然计算机软件为真理提供了令人信服的证据,那不是一个证明.无论你是否研究数学与计算机,演绎证明仍有几个关键.证明定理的一个重要原因是证明为什么可以解释一个定理是正确的[11].
以几何画板软件为例,虽然它是不能胜任一般的发展证明,但它提供了许多机会去发现关系,并给予直观的了解.在这个阶段,学生抛开了电脑,并试图制定严格的证明.在接下来的会议上几个人提供以下证明：
让角等于,角等于和角等于（图3）.然后,在三角形中由正弦定理得到
（1）
同理,在三角形和三角形中,
（2） 和 （3）.
（1）,（2）,（3）相乘得到
因此
活动2
莫利构造的初始三角形和等边三角形DEF的面积之间的关系.
学生使用动态软件时,首先计算出两个三角形的面积,并试图探索初始三角形的每一个的变形时的面积之比.
经过多次实验,他们不能发现任何这样的关系,所以他们建议先探讨特殊的情况,当最初的三角形是等边.在这种情况下,软件表明,,对于每一变形的等边三角形,该值几乎保持不变（图4）.但为什么上述比例保持不变？
他们花了近三分钟的会话试图去证明这个猜想,但不能拿出一个证明.教师给学生提供了一个开放数学头脑的调查来讨论他们证明失败的原因,并给予一些建议.
接下来我们基于几个学生的想法提出了两种不同的方法证明,.
证明一：
在证明中使用正弦定理.由于每个等分角度为,得到和（图4）.因此,由正弦定理分别得到和,所以.
由于相似三角形和的面积比等于对应边的比的平方,所期望的比例是.
证明二：
这证明是基于在莫利正三角形一边的表达式,其中, 是三角形外接圆半径[12].
在我们的例子中,.因为在一个等边三角形中,,其中是等边三角形边长,得到
.
活动3
首先绘制函数的图像,找到的零点,然后通过两个零点的平均值绘制切线.
学生容易发现的三个零点是,和.然后得到两个零点-1和1的平均值为0,他们发现在点的切线方程为.使用几何画板的图形菜单画切线,结果如图5所示,给大家了一个惊喜.切线与轴交点处的切线是,即函数的第三个零点.
学生重复同样的过程,发现在三次多项式函数的两个零点平均值处得到的切线与轴交点的切线等于第三个零点.
起初,大部分学生认为这种结果可能是简单的巧合.由于几何画板是一个动态的程序,我们创建的一般形式的三次多项式,设置滑块对于,和.以这种方式可以滑动的点来回控制的三个零点,和.同时,因为该功能被制作成一个直接可操作对象,该对象可以被转化,缩短和伸长,学生有个好机会去发展该对象对不同程序的影响.
学生在这些点和处创建切线,并且他们发现,这些切线在轴上的截距等于多项式的第三个零点.
接着,他们重复同样的过程不断变化的所有三个零点,和.学生在计算机屏幕绘制图像的基础上很快制定了以下猜想：
以三次多项式的两个零点的平均值绘制切线通过多项式的第三个零点.
学生接着寻求定为什么他们获得这个结果,并解释为什么这个结果也适用于三次多项式.在随后的讨论中,一些学生提出了一些如何可以证明这个结果的有趣想法.虽然他们付出了相当大的努力却没有人能给出一个充分的理由证明.在接下来的会议上五年级学生已经证明了上述定理,证明如下：
立方根,和,,则
计算得
.
两个零点和的平均值为.在的立方根的斜率为
,
,
,
,
从而得到
,
.
在点处的切线方程为.
代入得
.
令有
或
.
两边同除以有
,
,
得证.
4.剩余活动
接下来,我们介绍了其余7中基于计算机的开放活动来给予研讨会的参与者.也许其他数学教师想举办一些类似的研讨会.
活动1
研究几何的每个人都知道一个凸四边形的各边的中点形成的四边形是平行四边形,该面积是外四边形的一半.a）如果我们加入三等分点会怎么样？b）进一步探索关于等分点形成的四边形,以及如何将这些情况进行比较？
活动2
先从一个等边三角形,构造一个新的三角形,其顶点是三角形ABC各边的中点.众所周知,三角形的面积是三角形面积的四分之一.如果我们按得到三等分点的方式得到四分之三点,或得到任何其他小数部分？如何将这些情况进行比较？
活动3
四边形的边长为,对角线长度为和.对于四边形的面积S是否有如下公式：？
活动4
在每一个三角形中,欧拉线包括外心,重心和垂心.为等腰三角形、钝角三角形和不等边的锐角三角形构建欧拉线.你观察到什么？欧拉线可以平行于三角形的一边吗？进行调查.
活动5
构造一个三次多项式函数,使用滑块来设置系数.然后通过改变的值作图.
ⅰ）尝试通过图像的形状将三次多项式进行分类.怎么分类由表达式确定.
ⅱ）调查三次图像最大值、最小值和拐点的情况.比较它们的坐标.
活动6
构造抛物线,设置滑块的系数.取两点和并绘制割线以及抛物线的在原有两点的x坐标的平均值的切线.你观察到什么？通过控制的值重复该实验画几个图像.
活动7
构造抛物线并找到它的顶点,其中是由滑块控制的.研究顶点的轨迹,改变而和保持恒定.建立这条曲线的草图痕迹.你可以找到这条曲线的方程吗？
5.结束语
我们认为,数学教学主要关心的是让学生体验数学的快感和满足感.他们应该能够运用自己的想法和好奇心,在课堂上将科技结合起来,解决问题、测试和验证结果.它可以提高学生解决问题的能力,丰富认识和证明的经验,让他们感受到真正的数学.
为了实现这一目标,需要一个更好的数学老师,一个充分的准备以提高数学教学专业机构的指导方针.美国数学协会[13]强烈支持修订传统的本科数学教学内容和教学方法,在两个上下水平,说明教师“必须在其高校课程中做数学：探索、分析、建立模型、收集并表示数据、存在争论、解决问题.”
波利亚在描述任课老师发现和创造力的重要性时言之凿凿.“没有人可以放弃他根本没有的东西.没有老师能够传授给他的学生发现的经验,如果他没有得到它自己的,未来的教师最重要的是创造性地工作”[10].
不幸的是在过去的20年出品的大量解决问题的文献,波利亚的教学培训理念仍未在一个广泛的基础上实现.它不会揭露准教师
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