本科毕业设计（论文）
外文翻译
四个阶段
作者：G·波利亚
国籍：美籍匈牙利
出处：《怎样解题：数学思维的新方法》，普林斯顿大学出版社，1985, sect;4: 5-16。
中文译文：
在尝试找到解法时，我们可能会不断改变我们的观点，即观察问题的方法。我们不得不一次又一次地变换我们的位置。当我们开始解题时，我们对题目的概念有可能会相当不完整；当我们取得一些进展后，我们的看法就不同了；当我们几乎得到题目的解答时，我们的观点又会有所不同。
为了把我们的表中的那些问题和建议方便地归类和汇集在一起，我们将把我们的工作分为四个阶段。第一，我们必须理解该题目；我们必须清楚地看到所要求的是什么。第二，我们必须了解各个项目是如何相关的，未知量和数据之间有什么关系，以得到解题的思路，拟订一个方案。第三，我们执行我们的方案。第四，我们回顾所完成的解答，检查和讨论它。
这些阶段中的每一个都有其重要性。可能会发生这样的情况：某个学生想出了一个异常优秀的解题思想，而且跳过所有的准备步骤而一下子得到了该题目的解答。当然，有如此幸运的想法那是最好不过的，但如果学生忽略了四个阶段中的任一个而没有一个好的想法，就会发生一些令人失望的不幸的事。如果学生还没有理解题目，就着手计算和作图，那就可能发生最糟的事了。在还没有看清主要的联系或拟订方案前就投身到具体的细节中去通常是无用的。在执行方案的过程中，如果学生检查每一个步骤，就能避开很多错误。如果学生不去重新检查或再一次考虑所完成的解答，可能会失去某些最好的效果。
（1）理解题目
对你所不理解的问题做出答复是愚蠢的。为你所不希望的目标工作是悲哀的。这种愚囊和悲哀的事情在学校内外经常发生，但是教师应该努力防止在他的班级内发生这类事情。学生应该理解题目。然而他不仅应该理解题目，他还应该希望得到其解答。如果学生缺乏对题目的理解和兴趣，这并不总是他的错；题目应该精心挑选，不能太难也不能太简单，要自然而且有趣味，并且有时应该可以自然而又有趣味地进行表述。
首先，必须理解该题目的语言陈述。教师在一定程度上能对此进行检查；他请学生复述该陈述，而学生应该能够流畅地阐述该题目。学生还应该能指出题目的主要部分，即未知量，已知数据以及条件。因此，教师千万不能错过这样一些问题： 未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？
学生应该专心地反复地并且从各个方面来考虑题目的主要部分。如果一幅图与该题目有关，他应画一张图并在图上标明未知量和已知数据。如果必须给那些对象以名称，他就应该引入适当的符号；为了尽力注意适当地选择一些符号，他不得不去考虑那些要选择符号的对象。在这个准备阶段，倘若我们不期望有一个确切的解，而仅是个暂定的解、一种猜测，那么另外一个问题也许有用：条件有可能满足吗？
（2）拟订方案
当我们知道，或者至少大体上清楚，为了求解未知量我们必须做哪些计算或要作哪些图时，我们就有了一个方案。从理解题目到构思一个解题方案也许是漫长而曲折的过程。事实上，解答一个题目的主要成就在于构思一个解题方案的思路。这个思路可能是逐渐形成的。或者，在明显不成功的试验和一段时期的犹像不决之后，会刹那间闪现出一个“好主意”。教师能为学生所做的最好的事情是通过不显眼的帮助，引导学生自己获得一个好的思路。我们下面要讨论的问题和建议希望能唤起这样一个好的思路。
为了能够了解学生的状况，教师应该认真地回顾自己的经历，回顾自己在解答题目时遇到的各种困难和取得的各种成功。
我们当然知道，如果我们只有关于该主题的很少知识，要产生一个好的思路是困难的；而如果我们没有任何知识，那就完全不可能产生。好的思路来源于过去的经验和以前获得的知识。仅仅是记忆并不足以产生一个好的思路但不回顾些有关的事例， 我们也不可能产生一个好的思路；仅有材料不足以盖幢房屋，但不收集必需的材料就盖不了一幢房屋。求解某个数学题目所需要的材料是我们以前所获得的数学知识中某些与之有关的内容，比如以前求解过的某些题目或以前证明过的某些定理。因此，从下列问题开始工作常常是合适的：你知道一道与它有关的题目吗？
这里的困难在于通常有太多的题目与我们当前的题目有某些相关，即与其有一些共同点。我们怎样从中选出一个或几个确实有用的题目？有一个提议能使我们确切地指出一个必不可少的共同点来：观察未知量！并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目。
如果我们成功地回想起一个以前求解过的与我们当前题目紧密相关的题目，我们就很幸运。我们应该争取这样的幸运；通过努力我们能获得这样的幸运。这里有一道题目和你的题目有关而且以前解过。你能利用它吗？
很好地理解和认真地考虑前面的一些问题常常有助于激发出一系列正确的思路；但这并不总是有效的，并不是魔力无限的。如果无效，我们必须仔细考虑某些其他更适当的联系点，并且探测我们题目的各个方面；我们不得不变化转换和修改该题目。你能重新叙述这道题目吗？我们的表中的某些问题暗示了改变题目的一些特殊方法，例如普遍化、特殊化、使用类比放弃部分条件等等；这些方法的具体细节是重要的，但是我们现在对此不作深人讨论。题目的变化可以引出一些适当的辅助题目：如果你不能解所提的题目，先尝试去解某道有关的题目。
在试图应用各种已知的题目或定理，考虑各种修改，以及用各种辅助题目进行试验时，我们可能会与我们最初的题目偏离如此之远，以至于有完全丧失最初题目的危险。然而，这里有一个可以把我们带回到最初题目的好问题：你用到所有的已知数据了吗？你用到全部的条件了吗？
（3）执行方案
要拟订一个方案，构思一个解题的想法，并不很容易。要取得成功需要许多东西，诸如以前学到的知识、良好的思维习惯、目标集中，此外还需要另外一样东西：好运气。而执行个方案就要容易得多了。我们所需要的主要就是耐心。
解题方案给出了一个总体的框架，我们必须使自己确信细节都符合这个框架，所以我们不得不耐心地逐个检查所有细节，直到每点都非常清晰，不再有任何可能会隐藏着错误的含糊之处。
假如学生确实已经构思了一个方案，教师现在就会有一段相对清闲的时间了。现在主要的危险在于学生忘记了自己的方案。如果他是从外界获得这个方案，在教师的影响下采纳了这个方案，那么这种情况是会很容易发生的。而如果他是完全依靠自己，哪怕是在某些帮助下依靠自己拟订方案，并且满意地构思出最终的想法，他就不会很容易地忘记自己的方案。所以教师必须坚持让学生检查每一个步骤。
我们可以用“直觉的”或“形式的”证明来确认我们的推理中每步的正确性：我们可以集中注意力于有疑问的关键点，直到我们将其弄得清楚明白，从而对每一个步骤的正确性毫无怀疑；或者我们可以根据形式上的规则来推导出有疑问的关键点。(在许多重要的情况下，“洞察”和“形式证明”之间的区别已经很明显了。关于它们的更进一步的讨论就留给哲学家们去进行吧。
主要的一点是，我们应使学生真正确信每步的正确性。在某些情况下，教师可以强调“看出”和“证明”之间的区别：你能清楚地看出这个步骤是正确的吗？但是你又能证明这个步骤是正确的吗？
（4）回顾
即便是相当优秀的学生，在得到了题目的解答，并将整个论证简洁地写下来以后，就会合上书，去找别的事做。他们这样的做法，遗漏了解题中一个重要而且有益的阶段。通过回顾完整的答案，重新斟酌、审查结果及导致结果的途径，他们能够巩固知识，并培养他们的解题能力。一个好的教师必须理解这些，并使他的学生深刻地认识到：没有任何一个题目是彻底完成了的。总还会有些事情可以做；在经过充分的研究和洞察以后，我们可以将任何解题方法加以改进而且无论如何，我们总可以深化我们对答案的理解。
现在学生已经执行了他的方案。他写出了解答。检查了每一个步骤。那么，他就有充分的理由相信他的解答是正确的。尽管如此，错误总是有可能存在的，尤其是当论证冗长且复杂时更是这样。因此，需要进行验证。如果存在着一些快捷而直观的步骤可用于检验结果或论证时，尤其不应该忽视它。你能检验这个结果吗？你能检验这个论证吗？
为了确信某个物体的存在或其品质。我们常常喜欢去看它、触摸它。正如我们更倾向于通过两种感觉器官来感知，同样我们也更倾向于通过两个不同的证明来使我们确信你能以不同的方式推导这个结果吗？我们当然更希望有一种快捷直观的论证而不是一种冗长笨重的方法：你能一眼就看出它来吗？
教师的首要职责之一是不能给学生下列印象：数学题相互之间几乎没有什么联系，与其他事物也根本毫无联系。当我们回顾一个题目的解答时，我们自然有机会来考察这个题目与其他事物之间的相互联系。如果学生们确实作出了努力，并且意识到自己已经干得不错的话，他们将会发现回顾解答过程实在很有意思。接着他们会急于想知道，他们在这样的努力下还能获得什么，以及下次怎样才能做得同样出色。教师应鼓励学生想象一些情况，在其中他们可以再次利用这些使用过的解题程序，或者已经获得的解答。你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？
原文正文：
Four Stages
Trying to find the solution, we may repeatedly change our point of view, our way of looking at the problem. We have to shift our position again and again. Our conception of the problem is likely to be rather incomplete when we start the work; our outlook is different when we have made some progress; it is again different when we have almost obtained the solution.
In order to group conveniently the questions and suggestions of our list, we shall distinguish four phases of the work. First, we have to understand the problem; we have to see clearly what is required. Second, we have to see how the various items are connected, how the unknown is linked to the data, in order to obtain the idea of the solution, to make a plan. Third, we carry out our plan. Fourth, we look back at the completed solution, we review and discuss it.
Each of these phases has its importance. It may happen that a student hits upon an exceptionally bright idea and jumping all preparations blurts out with the solution. Such lucky ideas, of course, are most desirable, but something very undesirable and unfortunate may result if the student leaves out any of the four phases without having a good idea. The worst may happen if the student embarks upon computations or constructions without having understood the problem. It is generally useless to carry out details without having bull;seen the main connection, or having made a sort of plan. Many mistakes can be avoided if, carrying out his plan, the student checks each step. Some of the best effects may be lost if the student fails to reexamine and to reconsider the completed solution.
(1)Understanding the problem
It is foolish to answer a question that you do not understand. It is sad to work for an end that you do not desire. Su
剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
本科毕业设计（论文）
外文翻译
四个阶段
作者：G·波利亚
国籍：美籍匈牙利
出处：《怎样解题：数学思维的新方法》，普林斯顿大学出版社，1985, sect;4: 5-16。
中文译文：
在尝试找到解法时，我们可能会不断改变我们的观点，即观察问题的方法。我们不得不一次又一次地变换我们的位置。当我们开始解题时，我们对题目的概念有可能会相当不完整；当我们取得一些进展后，我们的看法就不同了；当我们几乎得到题目的解答时，我们的观点又会有所不同。
为了把我们的表中的那些问题和建议方便地归类和汇集在一起，我们将把我们的工作分为四个阶段。第一，我们必须理解该题目；我们必须清楚地看到所要求的是什么。第二，我们必须了解各个项目是如何相关的，未知量和数据之间有什么关系，以得到解题的思路，拟订一个方案。第三，我们执行我们的方案。第四，我们回顾所完成的解答，检查和讨论它。
这些阶段中的每一个都有其重要性。可能会发生这样的情况：某个学生想出了一个异常优秀的解题思想，而且跳过所有的准备步骤而一下子得到了该题目的解答。当然，有如此幸运的想法那是最好不过的，但如果学生忽略了四个阶段中的任一个而没有一个好的想法，就会发生一些令人失望的不幸的事。如果学生还没有理解题目，就着手计算和作图，那就可能发生最糟的事了。在还没有看清主要的联系或拟订方案前就投身到具体的细节中去通常是无用的。在执行方案的过程中，如果学生检查每一个步骤，就能避开很多错误。如果学生不去重新检查或再一次考虑所完成的解答，可能会失去某些最好的效果。
（1）理解题目
对你所不理解的问题做出答复是愚蠢的。为你所不希望的目标工作是悲哀的。这种愚囊和悲哀的事情在学校内外经常发生，但是教师应该努力防止在他的班级内发生这类事情。学生应该理解题目。然而他不仅应该理解题目，他还应该希望得到其解答。如果学生缺乏对题目的理解和兴趣，这并不总是他的错；题目应该精心挑选，不能太难也不能太简单，要自然而且有趣味，并且有时应该可以自然而又有趣味地进行表述。
首先，必须理解该题目的语言陈述。教师在一定程度上能对此进行检查；他请学生复述该陈述，而学生应该能够流畅地阐述该题目。学生还应该能指出题目的主要部分，即未知量，已知数据以及条件。因此，教师千万不能错过这样一些问题： 未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？
学生应该专心地反复地并且从各个方面来考虑题目的主要部分。如果一幅图与该题目有关，他应画一张图并在图上标明未知量和已知数据。如果必须给那些对象以名称，他就应该引入适当的符号；为了尽力注意适当地选择一些符号，他不得不去考虑那些要选择符号的对象。在这个准备阶段，倘若我们不期望有一个确切的解，而仅是个暂定的解、一种猜测，那么另外一个问题也许有用：条件有可能满足吗？
（2）拟订方案
当我们知道，或者至少大体上清楚，为了求解未知量我们必须做哪些计算或要作哪些图时，我们就有了一个方案。从理解题目到构思一个解题方案也许是漫长而曲折的过程。事实上，解答一个题目的主要成就在于构思一个解题方案的思路。这个思路可能是逐渐形成的。或者，在明显不成功的试验和一段时期的犹像不决之后，会刹那间闪现出一个“好主意”。教师能为学生所做的最好的事情是通过不显眼的帮助，引导学生自己获得一个好的思路。我们下面要讨论的问题和建议希望能唤起这样一个好的思路。
为了能够了解学生的状况，教师应该认真地回顾自己的经历，回顾自己在解答题目时遇到的各种困难和取得的各种成功。
我们当然知道，如果我们只有关于该主题的很少知识，要产生一个好的思路是困难的；而如果我们没有任何知识，那就完全不可能产生。好的思路来源于过去的经验和以前获得的知识。仅仅是记忆并不足以产生一个好的思路但不回顾些有关的事例， 我们也不可能产生一个好的思路；仅有材料不足以盖幢房屋，但不收集必需的材料就盖不了一幢房屋。求解某个数学题目所需要的材料是我们以前所获得的数学知识中某些与之有关的内容，比如以前求解过的某些题目或以前证明过的某些定理。因此，从下列问题开始工作常常是合适的：你知道一道与它有关的题目吗？
这里的困难在于通常有太多的题目与我们当前的题目有某些相关，即与其有一些共同点。我们怎样从中选出一个或几个确实有用的题目？有一个提议能使我们确切地指出一个必不可少的共同点来：观察未知量！并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目。
如果我们成功地回想起一个以前求解过的与我们当前题目紧密相关的题目，我们就很幸运。我们应该争取这样的幸运；通过努力我们能获得这样的幸运。这里有一道题目和你的题目有关而且以前解过。你能利用它吗？
很好地理解和认真地考虑前面的一些问题常常有助于激发出一系列正确的思路；但这并不总是有效的，并不是魔力无限的。如果无效，我们必须仔细考虑某些其他更适当的联系点，并且探测我们题目的各个方面；我们不得不变化转换和修改该题目。你能重新叙述这道题目吗？我们的表中的某些问题暗示了改变题目的一些特殊方法，例如普遍化、特殊化、使用类比放弃部分条件等等；这些方法的具体细节是重要的，但是我们现在对此不作深人讨论。题目的变化可以引出一些适当的辅助题目：如果你不能解所提的题目，先尝试去解某道有关的题目。
在试图应用各种已知的题目或定理，考虑各种修改，以及用各种辅助题目进行试验时，我们可能会与我们最初的题目偏离如此之远，以至于有完全丧失最初题目的危险。然而，这里有一个可以把我们带回到最初题目的好问题：你用到所有的已知数据了吗？你用到全部的条件了吗？
（3）执行方案
要拟订一个方案，构思一个解题的想法，并不很容易。要取得成功需要许多东西，诸如以前学到的知识、良好的思维习惯、目标集中，此外还需要另外一样东西：好运气。而执行个方案就要容易得多了。我们所需要的主要就是耐心。
解题方案给出了一个总体的框架，我们必须使自己确信细节都符合这个框架，所以我们不得不耐心地逐个检查所有细节，直到每点都非常清晰，不再有任何可能会隐藏着错误的含糊之处。
假如学生确实已经构思了一个方案，教师现在就会有一段相对清闲的时间了。现在主要的危险在于学生忘记了自己的方案。如果他是从外界获得这个方案，在教师的影响下采纳了这个方案，那么这种情况是会很容易发生的。而如果他是完全依靠自己，哪怕是在某些帮助下依靠自己拟订方案，并且满意地构思出最终的想法，他就不会很容易地忘记自己的方案。所以教师必须坚持让学生检查每一个步骤。
我们可以用“直觉的”或“形式的”证明来确认我们的推理中每步的正确性：我们可以集中注意力于有疑问的关键点，直到我们将其弄得清楚明白，从而对每一个步骤的正确性毫无怀疑；或者我们可以根据形式上的规则来推导出有疑问的关键点。(在许多重要的情况下，“洞察”和“形式证明”之间的区别已经很明显了。关于它们的更进一步的讨论就留给哲学家们去进行吧。
主要的一点是，我们应使学生真正确信每步的正确性。在某些情况下，教师可以强调“看出”和“证明”之间的区别：你能清楚地看出这个步骤是正确的吗？但是你又能证明这个步骤是正确的吗？
（4）回顾
即便是相当优秀的学生，在得到了题目的解答，并将整个论证简洁地写下来以后，就会合上书，去找别的事做。他们这样的做法，遗漏了解题中一个重要而且有益的阶段。通过回顾完整的答案，重新斟酌、审查结果及导致结果的途径，他们能够巩固知识，并培养他们的解题能力。一个好的教师必须理解这些，并使他的学生深刻地认识到：没有任何一个题目是彻底完成了的。总还会有些事情可以做；在经过充分的研究和洞察以后，我们可以将任何解题方法加以改进而且无论如何，我们总可以深化我们对答案的理解。
现在学生已经执行了他的方案。他写出了解答。检查了每一个步骤。那么，他就有充分的理由相信他的解答是正确的。尽管如此，错误总是有可能存在的，尤其是当论证冗长且复杂时更是这样。因此，需要进行验证。如果存在着一些快捷而直观的步骤可用于检验结果或论证时，尤其不应该忽视它。你能检验这个结果吗？你能检验这个论证吗？
为了确信某个物体的存在或其品质。我们常常喜欢去看它、触摸它。正如我们更倾向于通过两种感觉器官来感知，同样我们也更倾向于通过两个不同的证明来使我们确信你能以不同的方式推导这个结果吗？我们当然更希望有一种快捷直观的论证而不是一种冗长笨重的方法：你能一眼就看出它来吗？
教师的首要职责之一是不能给学生下列印象：数学题相互之间几乎没有什么联系，与其他事物也根本毫无联系。当我们回顾一个题目的解答时，我们自然有机会来考察这个题目与其他事物之间的相互联系。如果学生们确实作出了努力，并且意识到自己已经干得不错的话，他们将会发现回顾解答过程实在很有意思。接着他们会急于想知道，他们在这样的努力下还能获得什么，以及下次怎样才能做得同样出色。教师应鼓励学生想象一些情况，在其中他们可以再次利用这些使用过的解题程序，或者已经获得的解答。你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？
原文正文：
Four Stages
Trying to find the solution, we may repeatedly change our point of view, our way of looking at the problem. We have to shift our position again and again. Our conception of the problem is likely to be rather incomplete when we start the work; our outlook is different when we have made some progress; it is again different when we have almost obtained the solution.
In order to group conveniently the questions and suggestions of our list, we shall distinguish four phases of the work. First, we have to understand the problem; we have to see clearly what is required. Second, we have to see how the various items are connected, how the unknown is linked to the data, in order to obtain the idea of the solution, to make a plan. Third, we carry out our plan. Fourth, we look back at the completed solution, we review and discuss it.
Each of these phases has its importance. It may happen that a student hits upon an exceptionally bright idea and jumping all preparations blurts out with the solution. Such lucky ideas, of course, are most desirable, but something very undesirable and unfortunate may result if the student leaves out any of the four phases without having a good idea. The worst may happen if the student embarks upon computations or constructions without having understood the problem. It is generally useless to carry out details without having bull;seen the main connection, or having made a sort of plan. Many mistakes can be avoided if, carrying out his plan, the student checks each step. Some of the best effects may be lost if the student fails to reexamine and to reconsider the completed solution.
(1)Understanding the problem
It is foolish to answer a question that you do not understand. It is sad to work for an end that you do not desire. Su
剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[271725]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
课题毕业论文、外文翻译、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
