椭圆方程解的正则性和水平面外文翻译资料

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椭圆方程解的正则性和水平面

在许多例子中，二阶方程解的正则性理论可以被认为是一个稳定性问题；也就是说，可以看成一个扰动如何沿着积分曲面传播的问题.

举个例子，众所周知：如果波方程的一个解被轻微地干扰，比如改变一部分边界，那么小扰动只在特定的方向或区域传播，因此，人们不希望局部正则化效应.也就是说，在少数可以被证实的例子上，正则性来自于别的地方，即来自于正则的数据.

另一方面，对于一致椭圆线性方程，小扰动在整个曲面上传播，实际上从量的角度看，这就表明了该曲面的正则性和稳定性.

我今天想要讨论的是一系列非线性问题，这些问题中的退化和不连续性使得解的正则性和水平面问题（以及相关的扰动传播问题）变得非常具有挑战性.

椭圆方程和内部正则性.我们从讨论椭圆率以及围绕Harnack不等式的一系列想法开始.

在非变分背景下，我们可以粗略地认为：如果一个连续函数或曲面的Hesse矩阵特征值的最小值可以被特征值的最大值控制住，那么可以把它认为是一个椭圆方程的解.比如，在这种意义下有

当然，一个连续函数不必有Hesseian矩阵，但是我们通过“粘性方法”避免这个问题，也就是说，要求这种控制对任意二阶导数连续的函数phi;都存在，而且phi;的图像要通过在处大于而接触到的图像.

当然，如果和 都是下解，那么为一个解.

Krylov-Safonov定理（Harnack不等式）表明：如果方程是一致椭圆的(右侧函数在中, 属于 则对于在所定义的区域中的任何一个球，有

这是一个非常强有力的结论，它表明：在给定一点处的Holder连续性控制着的增长.

实际上，这个定理后来在它的特点上大受启发，而 De Giorgi关于解的正则性的变分问题的证明是偏微分方程领域最重要的论文之一，在该论文中，椭圆条件被给定为能量形式 考察函数（对于该函数和它的截断，能量是局部受控的），而不考虑Hessian矩阵的特征值是可比较的函数. 对于任何一个有

我们接下来想知道的是第一和第二族函数的关系.

在第一种情形下，我们试图说明在每一点以及或者在固定的坐标下其中为一正定矩阵，它随点到点作不连续的变化

在第二种情形下，我们有：

当我们应用这些结果于散度型和非散度型非线性方程时，就可以认识到这些结果的强大.

对于第一种情形，我们说：如果在对称矩阵空间中是单调的，那么就认为这一关系是椭圆的，若我们有更深入的数量估计（正定）

就说它是严格椭圆的.

对于第二种情形，如果向量域是矫顽的,那么

或者如果他是严格矫顽的，那么

如果允许可导，每一个与古典非线性方程相关的定义，在第一种情形和第二种情形是严格正定的有界矩阵.

在这里，当被应用到被考虑函数的一阶导数，De Giorgi和Krylov的定理变得有趣.

实际上，散度型和非散度型非线性方程的定义使得比较原理具体化了 方程的两个和无法想象 如果，且当，那么在这一点处，这与的严格单调性矛盾.

当然，这不完全准确，但是对于例子

而言就是如此（因此人们会用一个技巧：考虑）.

现在，已经指出很多次：一个平移不变算子的解的比较原则与一阶导数的最大原理相关.

在我们的例子中

是的又一个解，因此：若沿的边界（为位于所有函数定义的域的一个球），那么.

实际上，在非常大时同样正确，而且比较原理告诉我们：没有最小的,使得可以接触到

接下来：递增商数的上确界

它可以在的边界处获得，我们可以以一个例子来考虑这个问题

,

也就是说：满足一个系数不连续的椭圆方程.

但是Krylov的结果又说明了更多，它不仅指出是正的，而且说明了在任意比更小的球中的两点是可比较的.

也就是说：Harnack不等式是非常强有力的，是最大原理的数量形式.

它告诉我们：不仅解平面和相隔离，而且它们的动作十分一致，因此，我们可以转化（为），这种转化将会保持在的图像的上方.

这一论证的迭代暗示着一阶导数的Holder连续性， 的有界弱解是局部的.

我强调一下这一结果的扰动观点，我们已经修改了的边界数值（为，稍微大一点），这一扰动以一些一致的方式沿着整个域扩散.既然考虑的算子是平移不变的，这就暗示解的正则性.

如果把这一想法深入下去，到二阶导数，为确保纯二阶递增商数是线性化微分方程形式上的下解，一个结构性的条件是必要的.然后Enans,Krylov等人组合出这一事实：取决于一个Lipschitz的椭圆超曲面，并且它的振动受其控制.

有人可能会持有几何的观点：如果F是凹的，（可能退化成）椭圆的，把解曲面用固定了二次部分的抛物面包裹起来，新的曲面是同一个方程的下解.

因此，如果在边界处是有界的，那么对于一个足够狭窄的抛物面选择，在内部是有界的.这就是讨论的最大原则部分.

Harnack不等式被认为把变化二次部分的边界去掉，以便提高二阶导数的控制.

自由边界问题与Lipschitz域中的调和分析.我们注意一下解在某处完全退化成一个u的具体数值的问题.举个例子，最简单的例子就是：

的最小值.当最小值是恒正或恒负时，它是调和的，，这里因此在是一个严格标志的区域内扰动椭圆地扩散.

但就以往讨论的观点来说，要研究的有趣现象是一个扰动如何沿着不连续的曲面扩散，i.e.一个ε次的扰动如何取代该曲面？新曲面在定义域的内部是否一致地同分离？如果是这样的话，自由边界的椭圆性性质是否暗示着它的正则性？

考虑到这样一个问题，我们会自然地把它划分成两个部分.

第一个部分：扰动如何到达边界？第一，集合和是完全模糊的.即使对于一个的函数，也不能确定水平级多么狭窄—这是扰动到达自由边界的最基本的几何障碍.

在这一点处，解决这些变分问题的基本几何性质同Lipschitz域中的调和测度理论发生了奇妙的联系.

根据解的扰动，这一理论说明：如果你局部地有一个域，也就是说，一个Lipschitz曲面S的中间部分（或更一般地，满足Harnack链性质的曲面），如果你有一个函数，调和而且非负，在S上消失，你会感到不安，该扰动充分地到达边界.也就是说，如果我们有两个调和函数而且 ,,然后沿着（任意S的紧子集）成立.也就是说，.

从自由边界背景出发，的非退化性和单调性法则让我们坚持：以上的域满足Harnack链条件.

因为变分条件转化成了和间一种跳跃性的关系，这就使得成为自由边界问题的一个严格下解.

该问题的第二部分问道：感觉完全沿着自由边界扩散的扰动如何发生了偏移？

也就是说，我们分两步考虑扰动问题.第一步，我们把上平移到某处，且固定S不动，然后把S移到使得能量获得平衡.

因为自由边界几乎没有形状，构造这样的扰动非常困难.（作为对照，广义最小曲面的广义严格比较定理，根据L.Simon的结果）.

我们回到之前部分的结尾提过的变分平行曲面的扰动问题.

给定广义平移不变方程的一个解那么是原方程的一个下解，而且对于一个椭圆的自由边界跳跃问题，也是一个下解，因为它使增加、减少.

因此如果和是自由边界问题()的解，(F椭圆的，关于单调；G椭圆的，关于单调)，并且于，那么在整个都成立.

更深入地假设：在远离自由边界的某处，有.我们现在能认为曲面和曲面是-分离的吗？

答案是肯定的（在十分宽松的条件下，假设F直到边界都满足Harnack不等式，G严格单调）.这一点可以通过变化的水平级曲面扰动来实现；也就是说，定义,然后考察何时是 的一个下解.

如果F是一致椭圆的且满足Harnack不等式，可以发现满足不等式,因为是区域上的一个解.

这就允许我们在上选择一个 (这里我们只有原始的信息)，一个（这里严格地比小）,解不等式于其间，就允许扰动沿着自由边界扩散.（变量使自由边界变形，必须直到边界满足Harnack不等式）.

公共背景.什么是这些问题的公共背景？逼近自由边界问题和广义曲面问题是很容易的（举个例子，(适当选择)的解，当趋于0时收敛，也就是说，

的极小值或者最小边界集，特征函数使得局部最小化.

更进一步，构造了一个新函数，它的水平级曲面同平行，水平级曲面是中那些点的曲面，其到的距离正好是，即距离函数的-水平面到，众所周知，切向Hessian沿距离函数的水平面增加.事实上，它做得如此之大（如果原始曲面的曲率较大），则回忆距离函数的水平曲面曲率的公式.然后，我们可以通过观察变量上确界，或者，观察变量法向扰动研究平滑效应如何独立于沿着 （的解）的水平面均匀传播？

是否可以独立于来推断水平面的规则性？

椭圆（或双曲线）是中的一个问题；哪种扰动向哪个方向运动？

瞬变问题是如何表现的：扰动是否在有限时间内完全移动到自由边界.与椭圆方程或抛物方程的刘维尔型问题有关的许多其他问题，在适当的尺度之后，将回答自由边界的精细结构、规定曲率关系的曲面和守恒定律.

为了结束这一讨论，许多努力正在进行中，似乎有迹象表明这些一般性评论背后确实有某种实质性内容.

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