函数卷积的新极限公式的测量及应用外文翻译资料

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研究论文

函数卷积的新极限公式的测量及应用

IstvanGyo˝ri和LaszloHorvath潘尼诺大学数学与计算系，8200 Veszprem，

Egyetem10，匈牙利

函件应提交给IstvanGyo˝ri，gyori@almos.uni-pannon.hu

收到2008年7月16日;接受2008年9月23日

由Martin J. Bohner推荐

调查了函数与度量的卷积的渐近行为.我们的结果给了确保使用卷积函数的确切速率可以确定的条件与给定功能和度量相关的正权重函数.许多较早的相关结果被包括和推广.我们的新限制公式适用于子指标函数，尾等效分布，以及多项式类型卷积等.

版权所有copy;2008 I.Gyo˝ri和L. Horvath.这是一个分开下载的开放获取文章知识共享署名许可，允许不受限制的使用，分发和在任何媒介中复制，只要原作正确引用.

1. 介绍

本文研究了卷积和积极比例的极限的存在重量功能. 极限是通过一个明确的公式来表示的卷积和重量函数. 我们的结果是为卷积而制定的一个具有度量功能的函数，也是两个函数的卷积.

我们的工作受到两个不同的应用程序的启发. 其中一个是渐近的不平等和积分方程的稳定性理论，其中一个重要的问题是确定到稳态的确切收敛速度. 第二个是相关的渐近表示独立随机变量之和的分布. 在上述和几个类似的问题，卷积的加权极限在不同类型的加权中起着重要的作用.

令mu;为[0，infin;)的Borel集合的确定的度量，令f：[0，infin;)→R为a可测函数. 卷积f *dmu;定义为

对于存在的所有tisin;[0，infin;).

杂志关于不等式和应用

两个局部Lebesgue积分函数f，g：[0，infin;)→R的卷积定义为

对于存在的所有tisin;[0，infin;).

我们工作的动力来自以下三个已知的结果.

第一个为人所知的结果已经在渐近理论中被频繁使用于差分和积分方程的解（参见例1）

定理1.1令f，g：[0，infin;)→R是局部可积分的，并假设

,

可得

下一个众所周知的简单结果起着中心作用，例如渐近分数二次和积分方程的理论（参见例如2-5）.

定理1.2设alpha;，beta;gt; 0. 然后

，

其中B(alpha;，beta;)是众所周知的Beta函数.

第三个已知结果是为连续子指数权重函数而制定的.连续函数gamma;：[0，infin;)→[0，infin;)如果为子指数

,

,对于任意的固定的sgt;0

这个术语是由1.7表示，对于每个alpha;gt;0 .

下一个结果已经在6中得到证实，它对于获得Volterra积分和积分方程解的次指数衰减的确切速率起着关键作用，例如6-8.

定理1.3令权函数gamma;为连续和次指数的. 如果f，g：[0，infin;)→R为连续函数使

是有限的，可得

基于上述三个已知结果，我们总结得到了下一个观察结果.

(i) 所有上述定理给出了在 infin;时的比值函数f * g /gamma;的不同极限公式. 在定理1.1情况下有gamma;(t)=1,tge;0.在定理1.2情况下有.

(ii) 定理1.1和1.2中的权函数满足条件1.7，但它们是不符合条件1.6.

(iii) 在1.8中，g的条件在定理1.1中不一定是对的. 而不是，其中gamma;(t)=1，tge;0.

(iv) 在定理1.2中，同时不为0.

我们的第一个目标是证明统一上述定理的结果. 第二，我们想扩展函数与度量的卷积的极限公式. 这个使得我们的定理的应用不仅可以是密度，还可以分布函数.

事实上，我们证明了包含三个术语的极限公式和权函数不满足条件1.6. 借鉴主要结果证明的是主要思想从次指数函数的理论. 也就是说，对于足够大的t，实际上tge;2Tgt; 0，卷积(f *dmu;)(t)可以分为三个项：

.

在适当的假设和上述三个项的对应的技术处理条件，我们得到极限公式

杂志不等式与应用其中有以下限制：

在极限公式1.11中，两项和被当做零分别当和. 所以mu;([0，infin;))和的值需要在应用中不是有限的.

极限公式1.11可以重新形成两个函数f和g的卷积. 一般地，如果常量mu;对于每个Borel集合Bsub;R使得可以成立.

在，当

这些表明我们的结论i-iv在分析的和已知的定理1.1，1.2和1.3在我们的结果中统一了.

论文的组织如下. 第2节包含符号和定义. 第3节列出并讨论了a的卷积的主要结果

功能与一个措施和卷积的两个功能. 在第4节我们提出我们对次指数和长尾分布的主要结果的推论. 在第5节我们显示我们的结果可以轻松地重新配置为一组扩展的重函数.第6节给出了我们的主要结果的一些推论是多项式类型. 这些结果在渐近理论中有可能的应用分数差分和积分方程. 主要结果证明如下第8节基于第7节中阐述和证明的一些初步声明.

首先我们介绍一些符号. 实数集合由R表示，R表示一组非负数.

在我们的调查中，我们将利用不同的变量和函数在下一个定义中给出.

令B为R 的Borel集合的sigma;代数. M表示变量mu;的集合定义在B上，使得R 的任何紧致子集的mu;范围是非负数.

使得a, bisin;R.在本文中，我们将为mu;积分写入或于f在闭合集合[a，b]. 集合[a，b]上的f的mu;积分写为或. 当mu;=lambda;时，代入时，我们也可以写成或.

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