关于的阶乘的的值的幂次之和外文翻译资料

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Journal of Inteher Sequences Vol.20 (2017)

Article 17.5.6

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jailjaki

jakimczu@mail.unlu.edu.ar

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关于的阶乘的的值的幂次之和

Rafael Jakimczuk

数学学部

Universidad Nacional de Lujaacute;n

阿根廷，布宜诺斯艾利斯

摘要

我们考虑在的素数分解式中素因子的指数乘积的和，并得到了其与函数的密切联系。

1. 简介

考虑正整数的素数分解式，

其中是的不同素因子，是其指数。令代表所有素因子的个数[3]，即为

.

考虑的素数分解式。令代表在分解式中素数的幂次。因此，的素数分解式可写为：

.

以下渐近方程是众所周知的：(e.g.,[3,5])

， (1)

其中常数为

，

其中为Mertenrsquo;s常数。

设是任取的固定正整数，我们讨论以下序列

并且证明该序列与Riemann zeta函数之间的关系，我们同样对序列

进行讨论。

1. 主要结论

定理1. 设是任取的固定正整数，对任意充分大的整数我们有

， (2)

其中

. (3)

证明.由素数定理可知，我们有

. (4)

考虑的素数分解式。由Legendrersquo;s定理，素数的幂指数为

.

如果满足如下不等式

其中为一固定的正整数，同时有不等式

，

那么我们可以得到

.

现在我们有

， (5)

其中

. (6)

令。如果那么。因此，我们有

. (7)

注意到，由等式(4),我们有

， (8)

其中用到如下公式

.

同样地，可以得到

(9)

由等式(8),(9)可得：

. (10)

注意到

， (11)

其中

. (12)

另一方面，我们有

， (13)

相似地，我们发现

. (14)

此外，我们有

，(15)

因为

.

用同样的方法，我们可以得到

. (16)

将等式(11)、(13)、(14)、(15)和(16)代入(10)(见(7))我们发现

. (17)

由(5)、(6)和(17)可得(2)。

我们有等式

.

因此，由(12)可得

. (18)

另一方面，我们有

， (19)

由

.

(18)、(19)可推得(3)。 □

例2. 如果那么定理1为

.

定理3. 正数列严格递减且有

.

此外，还有以下极限

.

证明.显然正数列严格递减(见式(12))。因此数列极限存在，且为正数或0。由(18)可得极限为1/2，因为。

为了得到更为精确的结果，我们需要如下等式[4]:

.

因此，对，有

□

定理4. 令是任意取定的正整数。对于每个足够大的正整数我们有

.

证明.以下方程是熟知的[1]。如果那么有

.

因此，我们有

要完成此证明，我们还需要以下限制条件

以及

，

且。 □

注5.

1. 定理4是(1)的一般化结论，因为有著名恒等式

.

1. 在的情况下，定理4中的常数与式(1)中的常数紧密相关，因为有

其中是第二类Jordan数论函数[2]。

致谢

感谢本文审稿人对完善本文初稿所提出的宝贵意见和建议。定理1和定理3中的更加严谨的误差项是由其提出的。定理4和注5同样也是其结果。同样也要感谢Universidad Nacional de Lujaacute;n的帮助。

参考文献

[1]O.Bordellegrave;s, Arithmetic Tales, Springer, 2012.

[2]J.W.L.Glaisher, On the suns of inverse powers of the prime numbers, Quart.J.Pure Appl Math.25(1891), 347-362.

[3]G.H.Hardy and E.M.Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford, 1960.

[4]H.M.Srivastava, Sums of certain series of the Riemann zeta function,

J.Math.Anal.Appl.134(1988), 129-140 .

[5]G.Tenenbaum, Introduction agrave; la Theacute;orie Analytique et Probabiliste des Nombres, Belin, 2008

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2000 Mathematics Subject Classification: Primaty 11A99;Secondary 11B99.

Keywords: factorial, prime facrorization, Riemann zeta function.

_______________________________________________________________________________(Concerned with sequence A0xxxxx.)

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Received February 10 2017; revised version received April 9 2017. Published in Journal of Integer Sequences, May 1 2017.

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