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奇异瑞利方程周期解的一个新方法
郭元之 王亚娇 周东雪
（南京信息工程大学数学与统计学院，210044，南京）
摘要：本文研究具有奇异排斥型的瑞利方程周期解的存在性
其中是常数，和是周期函数。主要结果的证明依赖于重合度理论的一个已知延拓定理。有趣的是，函数的符号允许改变为。
关键词：二阶微分方程；连续性；奇异性；周期解
1 引言
奇异微分方程在物理学，流体动力学和生态学等许多学科中都有出现（见[1-6]及其中的推论）。近年来，具有奇异性的二阶微分方程的周期性问题得到了广泛的研究。这方面的第一次研究似乎是1944年Nagumo[7]的论文。在Forbat和Huaux的一些作品之后[8]，激光和Solimini的开创性论文增加了兴趣[9]。他们考虑了两个基本例子所提出的周期解的存在性（，是连续的T-周期函数）
（1.1）
（吸引型的奇点），并
（1.2）
（排斥型的奇点）。利用拓扑度方法得到了方程正周期解存在的充分必要条件（1.1）是，如果我们另外假设，那么对于方程（1.2）存在正周期解的一个必要充分条件是。之后，与非线性泛函分析理论相关的一些方法已被广泛应用于许多论文中的研究问题，如[10-13]中使用的变分方法，在[14-19]中使用的动点定理，在[20,21]中使用的上下解方法，和[22-31]中使用的重合度连续定理。例如，托雷斯[14]研究了具有排斥型奇异性的方程的周期性问题
（1.3）
其中，是一个常数。函数满足
（1.4）
这是因为（1.4）和其他一些条件，可以保证与边界值问题为希尔方程相关联的格林函数
（1.5）
满足对所有的，因此，问题（1.5）的就可以这样给出
（1.6）
式（1.6）是用于在锥体应用一些动点定理[14-17]的关键。Wang [25]研究了排斥型奇异时滞Lieacute;nard方程的周期解问题
（1.7）
其中是连续的，是连续的的周期函数，且是常数。为了在与在相等，满足
（1.8）
在[26，28]中，作者研究了方程的周期性问题
（1.9）
在（1.9）式中，函数是满足，这意味着函数的符号允许改变。现在问题是如何研究具有奇异排斥型的Rayleigh方程的周期解的存在性
（1.10）
其中是连续的在，并且是连续的和的周期的。
受此启发，本文的目的是寻找（1.10）的正型周期解。利用重合度理论的定理的已知延续定理（见[32,33]和[34]），我们得到一个新的结果关于方程（1.10）的正周期解的存在。在本论文，在（1.10）中的符号可以改变在。尽管这种情况与[26,28]中的情况相同，为了研究（1.9）的周期性问题，用于估计（1.9）的正周期解的先验界限的方法不能直接应用于（1.10）。这是由于一阶导数项对正型周期解的先验界（1.10）的影响与的对应项不同。例如，如果是一个正的的周期函数且，使得，另外。
2 初步引理
令规范化，令规范化。显然，和 都是Banach空间。。对任意的周期解其中，通过和，我们可以分别表示和，且。对所有的，。此外，为每个，作。
使用[32]中的定理4，[33]中的第6章以及[34]中的定理3.1，可以很容易地得到下面的结果。
引理2.1 假定存在正的常数，和与，使得以下的条件成立
1. 对于每个，的每个方程可能有正周期解
对于所有，满足不等式和。
2. 每个可能的解的的方程
满足不平等。
3. 不等式
成立。
那么方程（1.10）至少有一个正的周期解，使得所有的。
现在，我们列出以下假设，将在第3节中用于研究（1.10）的正周期解的存在性。
存在常数，和使得
（2.1）
并且
（2.2）
函数满足；
且。
备注2.1 如果假设成立，则存在常数和且，使得
且
。
现在，我们将方程（1.10）嵌入下列具有参数的方程：
（2.3）
使得
，（2.4）
而且
（2.5）
其中由（2.13）确定的。显然，与无关。
引理2.2假定假设-成立。然后对于每个函数，都存在一个点使得
，
其中由（2.5）式定义
证明 如果结论不成立，那么有一个函数满足
（2.6）
从（2.4）我们可以得
（2.7）
在区间上积分（2.7）式，我们可以得到
也就是说，
因为和对所有的，由中的积分中值定理和条件（2.1）可知，存在两点使得
这与（2.5）中一起可得
也就是说，
（2.8）
从而
（2.9）
从（2.8），（2.9）和有
（2.10）
另一方面，将（2.7）的两边同时乘以并在区间上积分，我们可以得到
从的条件（2.2）我们有
也就是说
（2.11）
我们从（2.10）和（2.11）推断出
（2.12）
根据（2.12），我们列出两种情况。
- ：如果，我们得知存在使得；
- ：如果，然后通过假设存在使得。
取，由1)或者2)有
（2.13）
用（2.13）代入（2.10），我们有
通过（2.5）中的的定义，我们有
也就是
，
这与（2.6）矛盾。则引理 2.2成立。
引理 2.2假定成立。则存在正数为常数，对每一个，有一个点满足
证明 令，有且，结合（2.3）式得
其中，我们有
（2.14）
在（2.14）式两边同时乘以，可以得到
（2.15）
设，。由假设[我们有
，
因此有零点在上，设是的最小零点在上，那么。从（2.15）可以看出
证毕。
3 主要结果
定理3.1假定假设-成立，那么方程（1.10）至少有一个正的周期解。
证明 首先，我们将证明存在和，使得方程（2.3）的每个正的周期解满足
（3.1）
假设是方程（2.3）的任意正周期解，则
（3.2）
故，所以根据引理2.2存在一个点使得
进而
（3.3）
在区间[0，T] 对（3.2）积分，我们得到
（3.4）
另一方面，与（2.11）的证明类似，我们有
（3.5）
把（3.3）代入（3.5），我们有
（3.6）
根据（3.6），得到以下两点
Ⅰ：如果，我们得知存在使得；
Ⅱ：如果，然后通过假设存在使得。
取，由Ⅰ或者Ⅱ有
（3.7）
根据（3.3），我们得到
（3.8）
显然，存在一点，使得，在（3.2）式两边同乘以并在上进行积分，得到
并且
（3.9）
因为
从（3.9）得出结论
也就是
这意味着
（3.10）
在另一方面，从（3.4）和条件（2.1）的中，我们有
其中在（3.7）中被确定。将（3.7）代入（3.10），得到
（3.11）
因此我们有
（3.12）
我们进一步证明存在一个常数，使得（2.3）的每个正周期解满足
（3.13）
事实上，假设是（2.3）的任意正周期解，则
（3.14）
通过引理2.3我们知道存在点，使得
对于，在（3.14）两边同时乘以并在（或者）上进行积分，得到
进一步有
也就是
根据（2.2）的条件，我们得到。因此，从最后一个公式可以看出
结合（3.8）和（3.11）有
也就是
（3.15）
因为，那么存在使得
结合（3.15）
因此（3.13）成立。
令和两个都为常数，从（3.8），（3.12）与（3.13）我们知道每个可能的正的周期解对（2.3）满足
这意味着引理2.1的条件1和条件2成立。另外，从备注2.1我们可以推断出来
则有
因此，引理2.1的条件3成立，故通过引理2.1我们可以看到方程（1.10）至少有一个正的周期解。证毕
例3.1 考虑这个等式
（3.16）
其中，对应（1.10），我们得到
。
首先，从（3.16）的得到
显然，满足，其次，在上对进行积分，得到
我们取，使得假设成立。而且，从
我们可以取这个常数使得满足，最后，令，则得到
如果
则成立，因此，根据定理3.1，我们得到方程（3.16）至少有一个正的周期解。
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