关于七次幂的和的研究外文翻译资料

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关于七次幂的和的研究

Ajai Choudhry

摘要：利用恒等式，我们证明了每一个整数都是12个整数的七次幂的和或差，每个有理数是8个有理数的七次幂的和或差。我们得到了不定方程的正整数参数解，并且当且时如何得到方程的解。

关键词：七次幂；简单版华林问题；不定方程。

如果当，是正整数时，

⑴

存在一个特殊解，记作

⑵

我们使用表示n的最小值，当时，使得(1)有一个特殊解，而用表示n的最小值，当时，使得(1)具有无穷多个特殊解。

此外，我们还使用表示s的最小值，使每个整数n都可以表示成如下形式

， ⑶

其中且i取任意值的是正整数或零。同样，我们使用来表示s的最小值，这样每个有理数r都可以用如下形式表示

， ⑷

其中且i取任意值的是有理数。

本文我们证明了关于七次幂的下列定理：

定理1：

定理2：

定理3：

定理4：

同时，我们还得到了当且时，正整数不定方程

⑸

的一个参数解。

定理2、3和4是新的。关于，Fuchs和Wright[2]给出的较早的已知结果是。

兰德尔、帕金和塞尔弗里奇[3]早先提出了建立定理1的两个数据例子，最近Ekl[1]列举了九个这样的数据例子。

证明：令

，，，，

，，，，

其中

ɑ=534407060429869176086407612538177,

b=859793943610761912321826231621886,

c=292565171139318137956759657471297,

d=863420822620431936290192229011966.

则

， ⑹

其中

这个公式可以很容易地通过直接计算来验证，可以使用任何计算机软件，如Maple。我们注意到，当超过时，，i=1，2，3，4和，i=1，2，3，4都是正的。，在式(6)中，我们用其中

因此，

(7)

其中

C₃=2⁵ .3. 5.7 .11. 13 .17 .43. 59 .71 .79 .83. 127.151 .397 . 1163.1223 .3347.4513 .12497. 87383.3729161.7135459. 23260673.

当t是正整数时，恒等式(7)给出了不定方程

，

的正整数的解。这就证明了定理1和定理2。

设是s的最小值，使得每个模C的余数由s的正和负k次方表示。 此外，令。 Fuchs和Wright [2]已经显示了和的值是如何计算的，事实上，他们已经表明

。

如果是这样的话

。 ⑻

可以使用福斯和莱特的结果，建立了，但不等式（8）足以满足我们的目的。

从关系(6)和(8)中得出

。

这证明了定理3。

定理4是恒等式(6)的直接结果。

最后，我们注意到(5)的一个参数解已经由m=4，n=5解决。解决方程 （5）其中，，且，，我们把(6)的右手边等价为(时)或()，其中，是任意整数，并解。我们可以很容易地选择，。这样x的值就是大于。 根据还是即可得到方程

或

的正有理数的解.乘以一个合适的常数即得到（5）的正整数解。

参考文献

1. R. L. Ekl, New results in equal sums of like powers, Math. Comp. 67 (1998), 1309–1315.
2. W. H. J. Fuchs and E. M. Wright, The “Easier Waring Problem,” Quart. J. Math. (Oxford )10 (1939), 190–209.
3. L. J. Lander, T. R. Parkin, and J. L. Selfridge, A survey of equal sums of like powers, Math. Comp. 21 (1967), 446–459.
4. E. M. Wright, An easier Warings problem, J. London Math. Soc. 9 (1934), 267–272.
5. E. M. Wright, On sums of kth powers, J. London Math. Soc. 10 (1935), 94–99.
6. E. M. Wright, The Tarry-Escott and the easier Warings problem, J. Reine Angew. Math. 311, 312 (1979), 170–173.

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