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科技与医学
应用数学快报 21 (2008) 1149–1154
一阶非线性反周期边值问题的一个新的存在性结果
王开智
（中华人民共和国 吉林大学 数学学院， 长春 130012）
（2006年10月14日初稿，2007年10月20日修改稿，2007年12月11日刊登）
摘要：在本文中，我们将考虑边值问题（BVPs）解的存在性，其中涉及一阶非线性常微分方程的两点、反周期边界条件。对于上述边值问题的的一个新的存在性结果，可以利用不动点定理得到。
copy;2008 爱思唯尔有限公司，保留所有权。
关键词：解的存在性；反周期边值问题；不动点定理；同伦论；Leray–Schauder 度
- 引言
在文章中，我们将考虑一阶非线性反周期边值问题的解的存在性。
（1.1)
(1.2）
其中，在 连续，是一个正常数。
本文所采用的主要工具是不动点定理、同伦论和Leray–Schauder度。
反周期问题在过去十年中被广泛研究。例如，关于一阶常微分方程，文献[11]中的Massera标准型和文献 [17,27,29]中单调迭代法的有效性都有呈现。同样，在文献 [1,2]中有关于高阶常微分方程基于Leray–Schaude型参数的存在唯一性结论。偏微分方程和抽象微分方程的反周期边界条件问题可在文献 [4–6,8,12,18,21,22,24,28]中阅读。至于关于微分方程、不等式的反周期性解的存在性以及反周期边值问题的其他有趣结论的最新发展，读者可以查阅文献[3,7,9,10,13–16,19,20,23,25,26]。
- 主要结果
注意，我们将BVPs（1.1)式和（1.2）式改写成以下形式：
（2.1)
(2.2)
我们也可以将BVPs（1.1)式和（1.2）式看成下列问题的特殊情况：
（2.3）
（2.4）
其中在及在都连续。
因此，问题转为求解（2.3）式和（2.4）式。首先，给出一个引理供稍后使用：
引理2.1 BVPs（2.3）式和（2.4）式等价于积分方程
（2.5）
其中
证明：结论可以通过直接计算获得。
注2.2 实际上，（2.5）式蕴含了线性反周期边值问题的格林函数表示
并且（2.5）式可以写成下列形式：其中是格林函数
定理2.3 如果存在一个非负常数和一个可积函数，满足，以及一个一阶连续可微函数，满足对所有的有，使得对每一个，所有，有
（2.6）
其中代表通常的内积，代表上的欧几里得范数，则BVPs（2.3)式和（2.4）式至少有一解。
证明：由引理2.1，BVPs（2.3)式和（2.4）式等价于积分方程（2.5），定义映射，其中，对于每一个，有
则，我们的问题简化为证明至少存在一个不动点。令，
令每一个，满足其中是一个定值。
如果我们能证明对每一个，有 （2.7），
则有：
，
其中代表Leray–Schauder度，由于，则在中至少存在一个不动点，使得
所以，我们只需要证明（2.7）式在假设下成立。
考虑下列BVPs： （2.8）
（2.9）
注意，如果存在一个使得对某些，有，则必是（2.8)式和（2.9）式的一个解。
设对某些和某，有，则对每一，有
所以，我们有，则（2.7）式成立。
例2.4 考虑 其中
对，，分别令，则易证（2.6）式成立。
推论2.5 如果存在一个非负常数和一个可积函数，满足，以及一个一阶连续可微函数，满足对所有的有，使得对每一个，所有，有
则BVPs（1.1)式和（1.2）式至少有一解。
证明：这是定理2.3中令，的一个特殊情况。
- 一个更具体的情况
在这部分，我们将讨论一个比定理2.3中的情况更为具体的情况。
定理3.1 如果存在一个非负常数和一个可积函数，满足使得对每一个，所有，有
（3.1） 则BVPs（2.3)式和（2.4）式至少有一解。
证明：由定理2.3的证明可知，只需证（2.7）式成立。
对某些 ，令，则对任一，有
则（2.7）式成立。
注3.2 实际上,定理3.1是定理2.3中令的一个特殊情况。然而，定理3.1中的情况在实践中容易验证。
例3.3 考虑下列常微分方程其中是任意自然数，对令，则（3.1）式直接可得。
推论3.4 如果有下列两种情况之一
- 且存在一个非负常数和一个可积函数，满足，使得对所有，有
- 在有界，
则BVPs（2.3)式和（2.4）式至少有一解。
证明：这是定理3.1的直接结果。
注3.5 令，则由定理3.1和推论3.4，可得关于BVPs（1.1)式和（1.2）式的一些相似的结论，为简洁起见我们将省略它们。
致谢
我要感谢我的导师——李勇教授，他对我的文章的指导和热情令得我的特别感谢。我还要感谢那些匿名审稿人对我的文章的仔细阅读并提出了许多有用的建议。
参考文献
[1] A. Aftabizadeh, Y. Huang, N. Pavel, Nonlinear third-order differential equations with anti-periodic boundary conditions and some optimal
control problems, J. Math. Anal. Appl. 192 (1) (1995) 266–293.
[2] A. Aftabizadeh, N. Pavel, Y. Huang, Anti-periodic oscillations of some second-order differential equations and optimal control problems,
oscillations in nonlinear systems: Applications and numerical aspects, J. Comput. Appl. Math. 52 (1–3) (1994) 3–21.
[3] B. Ahmad, J. Nieto, Existence and approximation of solutions for a class of nonlinear impulsive functional differential equations with anti?periodic boundary conditions, Nonlinear Anal. (2007), doi:10.1016/j.na.2007.09.018.
[4] S. Aizicovici, M. McKibben, S. Reich, Anti-periodic solutions to nonmonotone evolution equations with discontinuous nonlinearities,
Nonlinear Anal. TMA 43 (2) (2001) 233–251.
[5] S. Aizicovici, S. Reich, Anti-periodic solutions to a class of non-monotone evolution equations, Discrete Contin. Dynam. Systems 5 (1) (1999)
35–42.
[6] S. Aizicovici, N. Pavel, Anti-periodic solutions to a class of nonlinear differential equations in Hilbert space, J. Funct. Anal. 99 (2) (1991)
387–408.
[7] Y. Chen, J. Nieto, D. Orsquo;Regan, Anti-periodic solutions for fully nonlinear first-order differential equations, Math. Comput. Modelling 46
(2007) 1183–1190.
[8] Y. Chen, Anti-periodic solutions for semilinear evolution equations, J. Math. Anal. Appl. 315 (1) (2006) 337–348.
[9] Y. Chen, J. Kim, Y. Li, Viscosity periodic and anti-periodic solutions for nonlinear equations, Nonlinear Funct. Anal. Appl. 10 (2) (2005)
173–177.
[10] Y. Chen, Y. Cho, D. Orsquo;Regan, Anti-periodic solutions for evolution equations with mappings in the class (S ), Math. Nachr. 278 (4) (2005)
356–362.
[11] Y. Chen, On Masserarsquo;s theorem for anti-periodic solution, (English summary), Adv. Math. Sci. Appl. 9 (1) (1999) 125–128.
[12] J. Coron, Periodic solutions of a nonlinear wave equation without assumption of monotonicity, Math. Ann. 262 (1983) 272–285.
[13] J. Couchouron, R. Precup, Anti-periodic solutions for second order differential inclusions, Electron. J. Differential Equations 2004 (124)
(2004) 1–17.
[14] W. Ding, Y. Xing, M. Han, Anti-periodic boundary value problems for first order impulsive functional differential equations, Appl. Math.
Comput. 186 (2007) 45–53.
[15] D. Franco, J. Nieto, D. Orsquo;Regan, Existence of solutions for first order ordinary differential equations with nonlinear boundary conditions,
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