根立方为零的代数外文翻译资料

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根立方为零的代数

光野三雄

在本文中，是一个代数封闭的基域上的有限维代数，假定它是本原连通的。所有模都是有限维的。我们用表示对偶，用表示的根。

根据Mueller [10]，Nakayama的猜想[11]可以表述如下：如果具有无限的控制维数，那么是自内射的。Tachikawa [12]将这个猜想分为以下两部分：（1）如果对于当时，那么是自内射的;（2）如果是自内射的，则对于每个模块的是投影。Nakayama猜想的真值等同于两个Tachikawa版本的真值。我们的主要目标是解决与立方体零的代数立川版本。因此，我们将得到以下结论：对于代数，中山猜想是正确的，最小一一左理想使得。应该注意的是并不一定意味着。

Auslander和Reiten [1]注意到下面更强烈的陈述意味着Nakayama猜想的真实性。给定一个代数具有最小内射分解，每个不可分解的内射模显示为一些的和。Wilson[13]解决了正定分次代数且为半单情况下这个猜想。这是相常规抖动没有定向周期的代数是正确的。在具有立方零基的情况下，则同构于其相关的分次代数。因此，广义Nakayama猜想对于具有立方零基的代数是正确的，最近在Fuller和Zimmermann-Huisgen [5]的更一般的设置中证明了这个事实，然而这个事实并不意味着关于Tachikawa版本的立方零基代数真实。以是局部情况为例。那么代数与有相同的Loewy长度当且仅当A是自内射。

在下面，我们将用表示有限维右-模的范畴，用表示Loewy长度，用表示k维和来表示转置，而且我们将用符号，和。

1.不可约的同态 在本节中，我们将研究从不可分解的投影模开始的不可简化的满射。在Auslander-Reiten序列中，不可约同态等称为[2]和[3]。我们将自由使用他们的结果。

引理1.1 对于任何具有的模，如果，则有。

证明 由于， 对 于 任 何 具 有的模，是无扭的。

引理1.2 设是不可分解的投影模，是的不可分解的总和，则。

证明。假设是一个Auslander-Reiten序列并形成一个推出 图

这个说法如下。

引理1.3 设是一个不可约基本的同构。然后是单模。

证明: 假设有一个恰当的epimorphism 。形成包含的推出，我们得到下列具有精确行的交换

请注意，和都是基本的同构。另一方面，由不可约性，其中一个必须分裂，则矛盾。

引理1.4 设P是一个不可分解的投影模，且不可分解。假设并且有一个不可约的满射.那么是内射的。证明。令·是Auslander-Reiten序列和回拉图形式。

令是一个最小投影表示，其中。应用，我们得到一个精确的序列。

因此。根据引理1.3，很简单。因此，通过上面的交换图，我们得出。这意味着通过的每个因素，即是简单的。我们得到。由于，我们得出。

引理1.5 设是一个的不可分解投影的模，是的简单之和。假设和。那么是内射的。

证明： 设是Auslander-Reiten序列。由引理1.1我们得到，由引理1.2得到。因此，是一个同胚，也是。因此是不可分解的。由于，由引理1.4，是内射的。

在这一节的最后，我们给出了一个局部自内射代数的刻画。

命题1.6 设是局部的，并且有一个从开始的不可约的同态。那么是自内射的。

证明： 设是 一个不可约的同态。由引理1.3，。应用最小的表示我们得到一个精确的序列。令。然后和。由于，我们得到。因此，由引理1.4，是内射的。这意味着，是自内射的。

推论1.7 设是局部的，那么是不可分解的。

证明： 反设J是可分解的。那么从开始的Auslander-Reiten序列的中间项也是可分解 的。因此，根据命题1.6，我们有一个不可约单态链。另一方面，通过引理1.1，我们得到，是一个矛盾。

1. 分次代数。首先，我们注意到以下内容

引理2.1 设已经立方根零。那么同构于其相关的分次代数。

证明。设是的普通抖动，是在上的路代数。那么同，其 中表示由长度的路径的线性组合构成的的理想; （详见[4]）。截断代数与其相关的渐变代数是同构的。由于，所以断言如下。

在本节的其余部分，是积分代数。让是子环不具有以下上三角矩阵环的标识由有限个条目数为零的矩阵组成。通过构造，以下是显而易见的。

引理2.2 的普通箭图没有定向循环，当且仅当它与相同。

注意，模被给定为具有相关双线性映射的模族。因此，我们可以识别具有分级的模的模。设为有限维右模的范畴。给定一个非零的，我们可以认为有度如果。有一个自我调节函数使得对于和。我们用表示是健忘函子，即当。我们从Gordon和Green [7]中知道是的一个Galois覆盖，而是Gabriel意义上的下推函子[6]。我们参考[7]（也参见[4]和[6]）来获得类别和函子的基本属性，我们将自由使用它。

命题2.3（参见[13，定理2.1]）。对于正等级代数，广义Nakayama猜想是正确的，使得的普通颤抖没有定向周期。

证明。令为零度的两两非同构简单模和投影模，即顶点。设为的Grothendieck群，即上的自由模为基础， 其中在和，我们可得

在，但

然后

在。注意是的Cartan矩阵。自从的普通抖动没有定向周期，我们有。因为是的一个单位，Laurent系列环中的一个单位以及形成的基础，其中张量乘积是。的普通颤抖没有定向的循环，考虑到最小投影分解，我们得到了明确的线性函数

这样

亦即

对于来说，令是这样的单调模如同。通过双重论证，也是的基础，因此是中的一个单位，特别是对任何一个单位，如果存在某个单位，那么。因此，将应用于最小投影分解为，，我们得出广义Nakayama猜想的对偶对于是正确的。

3.主要结果。在这一节中，我们将应用以前的结果来解决Nakayama猜想的Tachikawa版本。

给定一个，我们用加入来表示的完整子类别，包括的直接集合的直接和。

引理3.1 设，和在，那么具有无限的主导维，并且是自主的，当且仅当它是Morita等于。

证明：把。将应用于最小内射分解，我们得到了一个确切模的序列：，注意所有是投影。由于对于任何投影，也是内射的，因此具有无限的主导维数。由于在，是自内射的，当且仅当是内射的。还要注意，U是内射的，当且仅当它是投射的。后面的说法如下。

接下来，我们处理具有立方零基的情况。根据引理2.1，我们可以假设使，，和当。我们使用与前一节相同的符号。

定理3.2 设已经立方零基。那么如果对于，，则是自内射的。

证明：假设不是自内射的 。令是非对称的非同构不可分解投影模的零度和成对的非同构不可分的内射但非射影模的零度。把和。那么，其中。对于某些，我们必须表示。对于，我们可以假设。由引理3.1和命题2.3只要证明是积极的等级，而的普通颤抖就没有定向循环。

声明1，对于当。

证明。很明显，当。假设。那么有一些这样，并且具有简单的内射加法。这与矛盾引理1.5的对偶。

声明2，的普通颤抖没有定向周期。

证明。这是一个简单的结果如下：

(a)如果

(b)如果

(c)如果和

(d)如果

(e)如果

（a）-（d）的说法是显而易见的。我们给出（e）的证明。假设，那么我们有一个简单的S不可约同态。由于，由引理1.5的对偶，是投影。因此。因此不能是内射的，由引理1.5我们得出

这完成了定理3.2的证明。

定理3.3（参见[9，定理3.1]）设是根立方为零的代数。那么对于而言，每个模块的是投影。

证明：我们首先声明是密集的。设是一个不可分解的非射影模块。那 么我们可以把看作是一个在的模，的平凡延伸。因此，是一个具有线性的模映射满足，其中张量制品是接管了。把。由于是半简单的，对于一些子模的。因此我们得到一个三重。我们可以把看作零度的模。那么。另外，可以被认为是一个模在遗传代数上，我们有。

现在我们声明，当。我们可以假设。那么，由[8，引理4.1]我们得出。设是零度的成对非同构不可分解投影模。把和。那么其中。很清楚当; 此外，由于，的普通抖动没有定向周期。因此，通过引理3.1和命题2.3，我们完成了讨论。

我们以下备注作为结束 。

备注：设是无限维的有限维代数 ,是两两非同构的不可分解投射与内射模的直和。设。然后，。应用和的最小内射分解为，因为当，我们得出结论和当。由引理3.1，Nakayama猜想的真值相当于两个Tachikawa版本的真值。同样，根据定理3.2和3.3，我们得出结论，Nakayama猜想对于具有最小忠实左理想的QF-3代数是正确的，使得。

References

[1] M. AUSLANDER and I. REITEN, On a generalized version of the Nakayama conjecture. Proc. Amer. Math. Soc. 52, 69-74 (1975).

[2] M. AUSLANDER and I. REITEN, Representation theory of artin algebras III. Comm. Algebra 3, 239-294 (1975).

[3] M. AUSLANDER and I. REITEN, Representation theory of artin algebras IV. Comm. Algebra 5, 443-518 (1977).

[4] K. BONGARTZ and P. GABRIEL, Covering spaces in Representation-theory. Invent. Math. 65, 331-378 (1982).

[5] K. R. FULLER and B. ZIMMERMANN-HUISGEN, On the generalized Nakayama conjecture and the Cartan determinant problem. Trans. Amer. Math. Soc. 294, 679-691 (1986).

[6] P. GABRIEL, The universal cover of a representation-finite algebra. LNM 903, 68-105, Berlin- Heidelberg-New York 1981.

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[8] D. HAPPEL and C. M. RINGEL, Tilted algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 274, 399-444 (1982).

[9] M. HOSHINO, Modules without self-extensions and Nakayamarsquo;s conjecture. Arch. Math. 43, 493-500 (1984).

[10] B. J. Mueller, The classification of algebras by dominant dimension. Canad. J. Math. 20, 398-409 (1968).

[11] T. NAKAYAMA, On algebras with complete homology. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 22, 300-307 (1958).

[12] H. TACHIKAWA, Quasi-Frobenius rings and generalizations. LNM 351, Berlin-Heidelberg- NewYork 1973.

[13] G. WILSON, The Cartan map on categories of graded modules. J. Algebra 85, 390-398 (1983).

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