无限维哈密顿方程的周期解外文翻译资料

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无限维哈密顿方程的周期解

Anmin Mao^*,Shixia Luan

摘要

我们讨论了非有界哈密顿系统的周期解的存在性

与以往的工作不同，在我们的例子中，能量方程不满足palai - smale条件。copy;2007 Elsevier Inc.公司版权所有。

关键词:局部连续;周期解;变分法

1.介绍

基于完全局部连续定理(cf .[1,2])，我们求下列二次哈密顿方程周期解的上限:

1是有光滑边界有界域，且是类函数.设：

, , z:=(u,v)

则方程可写为：

A. Mao, S. Luan/Applied Mathematics and Computation 201 (2008) 800–804 801

假设以t为周期,Tgt; 0,我们对周期解的存在性感兴趣。有一些论文(cf. [3-7]和参考文献)致力于研究类似于的无界的哈密顿方程的周期解在各种非线性假设下的存在性。在我们的情况中，非线性比在[3-5,7]中使用的更普遍，而能量方程不满足Palai - Smale条件。

我们想要提到,为了对问题建立一个变分方程，我们将精确地描述算子的特征值和特征函数. 最后，我们指出，定理1.1的结果可以推广到线性部分如

令Tgt;0,设

给出下列假设:

例1. 在a(t,x)gt;0,T周期为t.

定理1.1.假设和稳定。然后至少有一个非平凡的周期解T.

2.预备知识

在本节中，我们将讨论算子A=.设：

.

由共轭，A是一个自伴随算子且

非线性特征值问题有特征值和特征向量对应于.

下面，设T=2pi;.算子有特征值k和对应特征向量c,c (cf. [8])

.

假设令

所以特征值与其对应特征向量.

802 A. Mao, S. Luan/Applied Mathematics and Computation 201 (2008) 800–804

用 表示算子A的域.

正交分解对应于A的正负范围.用表示的范数，表示的内部.令为Hilbert空间的内部，范数为

然后得到当.

对

表示域的Lebesgue测度.

定义算子

我们有 算子的临界点是的弱解.

1. 方程的解

设

对每个，我们用表示空间,用函数I趋近于.

引理3.1 (cf. [1]).假设I满足以下假设：

(I₁)I在0点局部连续

A. Mao, S. Luan/Applied Mathematics and Computation 201 (2008) 800–804 803

I满足

I把有界集映射成有界集

对

I至少有两个临界点.

引理3.2.

证明：由使得（3.1）

容易得到

引理3.3.在0点局部连续.

证明：由嵌入定理 (cf. [6])和（3.1）即可证明在0点局部连续.

引理3.4.满足条件.

证明：考虑一序列可接受且

为方便可令.当n足够大，

令则为表示有界性，假设由对于常数Cgt;0和，与

指有界.

因此，==

由插值不等式，有

又

得到

804 A. Mao, S. Luan/Applied Mathematics and Computation 201 (2008) 800–804

另一方面，当

=

矛盾！

通过一个标准的参数,序列有收敛的子序列.

引理3.5.把有界集映射成有界集.

证明：由（3.1），把有界集映射成有界集.

引理3.6.对.

证明：由,.

令，由于是有限维，对

选，使

致谢

感谢评审员的有益评价.

参考文献

[1] S.X. Luan, A.M. Mao, Periodic solutions for a class of non-autonomous Hamiltonian systems, Nonl. Anal. 61 (2005) 1413–1426.

[2] S.X. Luan, A.M. Mao, Periodic solutions of non-autonomous second order Hamilitonian systems, Acta Math. Sin. 21 (4) (2005) 685–690.

[3] H. Bre acute;zis, L. Nirenberg, Characterization of the ranges of some nonlinear operators and applications to boundary value problems,Ann. Scuola Noum. Sup. Pisa Cl. Sci. 5 (4) (1978) 225–326.

[4] P. Cle acute;ment, P. Felmer, E. Mitidieri, Homoclinic orbits for a class of infinite dimentional Hamilntonial systems, Ann. Scuola Norm.Sup. Pisa Cl. Sci. 24 (4) (1997) 367–393.

[5] T. Bartsch, Y.H. Ding, Homoclinic solutions of an infinite-dimensional Hamiltonian system, Math. Z. 240 (2002) 289–310.

[6] Y.H. Ding and C. Lee, Periodic solutions of an infinite dimensional Hamiltonian system, Rocky Mt. J. Math., preprint.

[7] V. Barbu, Periodic solutions to unbounded Hamiltonian system, Discrete Contin. Dyn. Syst. 1 (1995) 277–283.

[8] J. Mawhin, M. Willem, Critical Point Theory and Hamiltonian Systems, Springer, New York, 1989.

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