山路引理的延伸外文翻译资料

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应用数学快报 21(2008)554-557

山路引理的延伸

Lizhou Wanglowast;, Dongsheng Li

中国，西安710049，西安交通大学，数学与科技学院

2005年7月7号收到；2007年5月7日以修订形式收到；207年7月2号接受

摘要

我们给出一个更一般形式的山路引理。它的断言是当满足Palais-Smale条件的方程在某些水平集的变化的连通性时，就成为临界值。我们也给出了在[A.Bahri,Berestycki,临界点理论和应用中的摄动方法,Trans.Amer. Math.Soc.267(1) copy; 版权所有2007 Elsevier Ltd.]中的一个定理的改进形式

关键词：山路引理；Palais-Smale条件；连通性；收缩性；水平集

1.介绍和主要结果

山路引理是非线性问题的现代变分方法中最基本的定理之一。它承认了几个变种和拓展。对于这个方面，我们建议读者参考调查论文[2-4]和专著 [5]和其中的参考文献。在这论文中，我们展现山路引理一种更一般的形式，该形式的特点是通过一定水平集的基本拓扑性质连通性的变化来刻画临界值的存在性，我们也希望指出[1]中一个定理的改进形式，它通过考虑另一个拓扑性质 - 水平集的收缩性质来描述临界值的存在。

首先，我们引进一些符号。让E为巴纳赫空间。我们用表示以半径rgt;0以u为中心的开球域，是它的闭包，是它的边界。使.我们引进水平集

我们说，如果有任何序列满足Palais-Smale条件(此后用（PS）表示)，(有界且)，则有一个收敛数列。山路引理如下：

定理1.E为一个巴纳赫空间且。假设满足（PS）与存在 使得

;

；

然后，有一个临界值，其特点为

.

此处

在这论文中，我们将在接下来证明更普通的山路引理；

定理2. E为一个巴纳赫空间且。。假设满足（PS）与存在.使得

位于的不同部分；

位于的相同部分；

然后，在中具有一个临界值，可以表示为。

粗略地讲，定理2断言，当水平集的连通性发生变化，满足一定紧性条件的函数就是一个临界值。假定满足定理1中的条件，设

因此，，说明且位于的不同部分。显然，由定义知位于的相同部分。因此，由定理2得是一个临界值。这个发现展示出定理2是山路引理一个更加普遍的形式。

注意到巴纳赫空间E本身是连通的，我们得到定理2的下列简单推论：

推论. E为一个巴纳赫空间且。假定满足(PS)且存在，使得：

位于的不同部分；

那么，具有在的临界值，它可以被表征为。

我们将在第二节证明定理2. 在证明中有一个重要的步骤是下面的引理：

引理. E为一个巴纳赫空间且。假定满足(PS)且在内无临界值

那么，是的一个收缩。

这个引理在更严格的条件下下在[1]中被证明。因此，这是对[1]中相应结果的改进。因此，因此，我们也可以在一定程度上改进[1]中的另一个结论，通过调查水平集的收缩性质来确定一个函数的临界值。事实上，接下来定理3的两个弱形式在[1]中被证明，或者假设更强的条件以得到定理3相同的结论，或者假设得到一个较弱的责任。

定理3. E为一个巴纳赫空间且。假设满足（PS）与存在.使得

本身并不能收缩；

在中可收缩成一个点；

那么，具有在的临界值，它可以被表征为

注：(i)上述定理中的平滑假设，推论和引理可能被削弱。例如，在定理2，我们可能假设对于一些

(ii)上述结果的(PS) 可以用下面的局部形式代替：对于某些Cgt;c,满足(PS)是否有任何序列其中,则当是预紧的。

(iii)这论文中的结论是更一般的设定。例如，函数可能定义在巴纳赫流形中，或者更一般的定义在完全连接的-Finsler流形[2,4]上。

2.结果的证明

在这章节中，我们将对第一节的结论进行证明。首先，我们证明引理；然后，我们用它证明定理2和定理3.

引理的证明。为了证明引理，我们构造一个映射,使得。这将分两步实现。首先，我们将构造一个伪梯度流。然后，用伪梯度流，我们构造所需的映射。

伪梯度流将被构建为一个常微分方程的解，我们只在这里列出结构（见[4]类似的结果和详细的证明）。

在建立这个微分方程之前，需要做一些初步的准备工作。通过(PS)可以证明存在使得在[]。存在Lipschitz连续映射使得

且

我们可以在构造一个伪梯度向量场V,使得V是局部Lipschitz连续且满足

注意(2.2)指出

接下定义若;若。

最后，设其他情况。然后，通过构造，W在E上是局部Lipschitz连续且。

现在我们可以定义映射。考虑柯西问题

可以证明解

接下来我们探讨伪梯度流的性质。通过定义，

若,严格的不等式成立。因此，在t是不递增，若,严格递增。由(PS),存在,使得

若

若,那么,因为当。我们认为，若，存在唯一,使得。事实上，若且对于所有。那么

这里我们成功运用(2.2),(2.3),(2.5)。显然，(2.6)不适用于大t。因此，对于每一个u，使得，存在,使得。因此，通过的单调性，我们得出存在一个唯一使得。事实上，是方程的唯一解。

由隐函数定理，我们可看出。估计(2.6)也意味着

因此，当

设

T上面的论证表明且当由定义知。因此，是所需的回收。证毕。

定理2的证明。我们通过反证法证明。假设c不是I的临界值。我们将得到一个矛盾。

显然，。首先，已知,由(PS),存在使得I在没有临界值。根据c的定义，存在使得属于的同一部份，例如。因此，且是连通。运用引理，我们得到使得当。让B=，然后，且B是连通的。这就意味着属于的同一部份.因此，由()得，。

由(PS)，存在另一I在没有临界值。我们可能假定因为我们已证。再次运用引理，我们得到,使得对于。让D=。那么，D，且D是连通的。这意味着属于的同一部份,与c的定义矛盾。因此，我们得出c必为I的临界值。

定理3的证明。首先，注意到若在AE内可收缩成一个点，且B是A的一个收缩，那么在B内也能收缩成一个点。那么，可用与证明定理2完全一样的方法证明定理3。在此省略。

参考

[1] A. Bahri, H. Berestycki, A perturbation method in critical point theory and applications, Trans. Amer. Math. Soc. 267 (1) (1981) 1–32. [2] I. Ekeland, N. Ghoussoub, Selected new aspects of the calculus of variations in the large, Bull. A.M.S. 39 (2) (2002) 207–265.

[3] L. Nirenberg, Variational methods in nonlinear problems, in: Lecture Notes in Mathematics, vol. 1365, Springer-Verlag, 1989, pp. 100–119.

[4] P.H. Rabinowitz, Minmax methods in critical point theory with applications to differential equations, in: C.B.M.S., vol. 65, A.M.S., 1986.

[5] M. Struwe, Variational Methods and their Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems, Springer-Verlag, 1990.

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