倾斜模和挠对外文翻译资料

英语原文共 3 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

倾斜模和挠对

在参考文献[5]中， 第一次介绍了倾斜模相对限制形式的概念。之后，在文献[6]中，进行概括总结并拓展性地提出了倾斜模理论，这与的成果有很大关联，见参考文献[2]、[3]、[7]。

在这篇论文中，我们的工作将在固定的以为中心的代数上进行，所有模都是有限生成且多是左模。我们定义代表有限生成的左模类，定义表示，其中是以为中心的的内射包络，定义表示（对应有表示）。

令为一个倾斜模，令和是的全子范畴，所以是的一个挠对，扭类包含了所有内射模（详细见参考文献[6]）。从这个角度出发，我们要知道的挠对，所有的内射模都是扭模。这篇论文目的是要证明部分扭论反过来决定倾斜模。

定理：令为的一个挠对，包含了所有内射模。

如果和都只包含有限个不同构不可分解模。为所有的不同构不可分解投射模的直和，则是一个倾斜模。

如果和包含无限多不同构不可分解模，那么不需要包含一个投射模。假设考虑是连通且遗传性的无限表示型。设是的全子范畴，由所有不可分解内射模的直和组成，是由不含有不可分解内射模的直和项组成的。因此就是一个模挠对，而且包含所有内射模，而不包含任何投射模。

我们回顾一些定义：

一个模可以被称为倾斜模，如果它满足以下三个性质：

1、的投射维数

2、

3、的互不同构的直和项的个数等于的格罗腾迪克群的秩。

是全子范畴的一个闭扩张。一个包含于的模是上一个投射模（对应有内射模），如果满足函子（对应有）在上消散。我们参考文献[1]得到和序列，再利用参考文献[2]得到序列的全子范畴，我们就可以直接运用参考文献[1]的结论。

定理证明：

使为的一个挠对，并定义为幂等根。

引理1：设。则是上一个投射，当且仅当对于部分投射模，。

引理1证明：为投射模，而且是规范正合序列。我们得到正合序列的函子，

因此我们可以得出在上消散。

相反地，假设是上一个投射模。定义：为投射盖，是导出同态。因为，我们可以得出是一个分裂满射。

引理2：设是不可分解的。那么

（1）是上一个投射

（2）如果不是上一个投射，是不可分解的，那么，对于序列，有导出序列是上的序列。

引理2证明：见[7，引理2]。

引理2 的对立陈述如下：

引理3：若是不可分解的，那么

（1）是上一个投射

（2）如果不是上一个投射，是不可分解的，那么，对于序列，有导出序列是上的序列。

接着，我们假设含所有的内射模，令为不同构单射模的个数。

引理4：设是不可分解的，是上一个投射。那么，的投射维数

引理4证明：假设不是投射，令是极小投射分解。通过的定义，我们可以得到投射分解。

由于，，得到

引理5：若包含有限个不同构不可分解模，则包含至少个不同构不可分解投射模

引理5证明：这是引理2的一个直接应用

引理6：假设包含有限个不同构不可分解模，包含至少个不同构不可分解投射模

引理6证明：令是不同构不可分解投射模的个数。根据引理1，包含个不同构不可分解投射模，再由引理3（2），包含至少个不同构不可分解投射模，所有的都是非内射。因此，根据引理2（1）和引理3（1），得到，包含至少个不同构不可分解投射模。

最后，下一个引理是根据的研究（参考文献[4]）以及引理4、5、6，完成证明。

引理7：令是不同构不可分解模的直和。假设的投射维数且，那么，，当且仅当是一个倾斜模。

引理7证明：见[4，定理2.1]

参考文献

1. M. AUSLANDER and I. REITEN, Representation theory of artin algebras III. Almost split sequences, Comm. Algebra, 3 (1975), 239-294.
2. M. AUSLANDER and S. O. SMALO, Almost split sequences in subcategories, J. Algebra, 69 (1981), 426-454.
3. M. AUSLANDER and S. O. SMALO, Addendum to 'Almost split sequences in subcategories', J. Algebra, 71 (1981), 592-594.
4. K. BONGARTZ, Tilted algebras, Lecture Notes in Mathematics 903 (Springer, Berlin, 1982), pp. 26-38.
5. S. BRENNER and M. C. R. BUTLER, Generalizations of the Bernstein-Gelfand-Ponomarev reflection functors, Lecture Notes in Mathematics 832 (Springer, Berlin, 1980), pp. 103-169.
6. D. HAPPEL and C. M. RINGEL, Tilted algebras, Trans. Amer. Math. Soc, to appear.
7. M. HOSHINO, On splitting torsion theories induced by tilting modules, Comm. Algebra, to appear.

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

资料编号：[23593]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word