基于山路引理和迭代法的分数阶边值问题解的存在性外文翻译资料

英语原文共 8 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

---

基于山路引理和迭代法的分数阶边值问题解的存在性

孙红蕊，张全国

兰州大学数学与统计学院，甘肃兰州730000，中国

文章信息

关键字：分数阶微分方程 解 边值问题 临界点 迭代法

摘 要

在本文中，我们考虑以下分数阶边值问题解的存在性

其中常数，和分别表示阶左、右Riemann-Liouville分数阶积分. ，且连续. 由于常数和的一般性，问题没有变分结构. 尽管如此，我们在这里研究基于变分方法的问题，结合迭代法，并在适当的假设下给出问题解的存在标准. 该结果扩展了在[F. Jiao, Y. Zhou, Existence of solutions for a class of fractional boundary value problems via critical point theory, Comput. Math. Appl. 62 (2011) 1181–1199]中的结果.

1. 介 绍

分数阶微积分在流体流动，电网络，概率统计，粘弹性，化学物理和信号处理等诸多领域都有应用，见[1-8]及其中的参考文献. 分数阶微分算子受到了许多研究人员的关注，这主要是由于其在表现出异常扩散的物理现象的模型中的应用.

在本文中，我们研究了以下分数阶边值问题的可解性

其中常数，，连续，和分别表示阶左、右Riemann-Liouville分数阶积分，且定义如下

我们研究问题(1.1)的兴趣来自于分数阶对流—扩散方程，它描述了非对称过渡且可以是对流和非对称分数阶扩散方程的稳态，见[2，3，9].

[10]在的特例下，对于问题(1.1)，焦和周在一些合适的分数空间中建立了相应的变分结构，并应用最小动作原理和山路引理，来研究问题解的存在性.

对于问题(1.1)，由于左右Riemann-Liouville分数阶积分的出现，难以找到(1.1)所对应的等价积分方程，所以似乎不动点定理不能应用于这个问题. 由于常数和在的一般性，问题(1.1)不是变分的，我们不能找到一些函数使它的临界点是对应问题(1.1)的解，因此，临界点理论对上述问题(1.1)毫无用处.

近年来，De Figueiredo等人[11]（或[12]）考虑了具有非线性项的半线性椭圆方程解的存在性. 这些文章所采用的方法是将问题与一组半线性椭圆问题结合起来，而不依赖于解的梯度. 这一类问题是变分的，通过应用山路引理，他们获得了一系列的解，并证明了序列的弱极限是问题的一个解.

受文献[11,12]的启发，本文试图通过山路引理和迭代法研究问题(1.1)的解的存在性. 为了使用变分法，我们考虑了一类具有变分结构的分数阶边值问题，也就是说，对于任意（将在第2节中定义），我们讨论以下问题

(1.2)

所以可以通过变分法来解决问题(1.2). 所以，对于每一个，都可以找到一个有边界的解. 接下来，通过迭代法，在合适的假设下得到(1.1)解的存在性.

本文结构如下. 在第2节中，提出了一些预备条件，列出了关于问题的假设和主要结果。 第3节我们致力于证明本文的主要结果.

2、准备与主要结果

为了应用临界点理论来研究问题（1.1）的解的存在性，我们将陈述一些基本的符号和结果，这些符号和结果将用于证明我们的主要结果.

对于，定义空间或[9，定义2.5]为的完成，基于范数

或

其中和分别为阶左右Riemann-Liouville分数阶积分，且定义如下

若，；若，. 有关分数阶运算符的更多性质，参考[6，7].

对于，分数阶Sobolev空间定义为在下列范数下的完成

对于，由嵌入定理，我们知道是紧凑的，且如果，则.

由[9，定理2.13]可知对于，如果，则空间、和是等价的，并且有等价的范数. 考虑到的定义，可知是自反的，所以是一个自反空间.

对于空间，我们有以下结论.

引理2.1. 如果，则在上几乎处处存在.

证明. 假设，且当时. 设为大于或等于的最小整数.

因为是一个从到的有界线性算子[6]（或[10]），考虑到在中当时，当时，由于当时，所以当时，所以存在使得在中. 因此，所以在中几乎处处存在.

□

引理2.2. 如果且，则我们有

证明. 对于，由[10]中的命题3.2和4.1的类似证明，我们知道不等式(2.1)—(2.4)成立. 由密度可知结论是符合条件的.

□

由(2.2)可知空间有等价的范数. 所以，此后记为中的一个范数.

定义2.3. 设. 函数被称为(1.1)的一个弱解，如果对任意有

定义2.4. 设. 函数被称为(1.1)的一个解，如果当时是可导的，且

注2.5. 由引理2.1可知如果，则和在上几乎处处存在且属于. 因此，和在上几乎处处存在.

对于给定的，我们定义上的函数为

其中. 显然，由上的连续假设，我们有，且对于有

(2.6)

引理2.6. 如果是(1.1)的一个弱解，则是(1.1)的一个解.

证明. 在(2.5)中取，类似于[10]中定理4.2的论证，我们可以得到对于每个有

所以，存在常数，使得

则

□

我们假设以下条件成立：

(H1) 对于每一个，存在使得

(H2) 就而言；

(H3) 存在和使得

注意到(H3)意味着存在，，使得

假设(H2)和(H4)得出：对于任何，存在使得

在下面，对于，我们用表示

对于问题(1.1)，由于常数p和q的对称位置，我们可以假设.

方便起见，此后我们记，

其中在(H3)中给出. 假设，取

让我们来求一个函数，，对于，定义

其中在(2.7)和(2.8)中给出.

本文的主要结果如下.

定理2.7 假设(H1)—(H4)成立，且，. 如果存在且，使得

且

则问题(1.1)有一个非平凡解.

3. 主要结果的证明

在这一节中，我们用山路引理[13，14]和迭代法给出了定理2.7的证明.

定理2.7证明. 设在(2.14)中. 我们来解决，.

为了证明定理2.7，我们分为三个步骤.

第一步：对于给定的解决，，由山路引理我们证明在内有一个非平凡临界点.

为了应用山路引理，我们首先证明存在使得对于有.

事实上，由(2.9)，霍尔德的不等式，(2.3)，(2.2)，(2.1)和(2.4)，有

通过假设(2.15)，可以取使得

且

因此，现在设，，存在使得对于，统一为，.

对于给定的，，由(2.3)，(2.8)，对于，有

所以，存在使得，满足且.

为了应用山路引理推导出在中有一个临界点，现在足以证明满足P.S. 条件.

事实上，设，使得对于一些正数K有，且当时. 所以，使用条件(H3)和(2.6)，我们有

结合时，可知在中有界. 因此，不失一般性，我们可以假设在中，且在中.

从（H1）得出结论

并观察

所以，在中.

因此，由山路引理，在中有一个非平凡的临界点，

其中.

第二步：构造迭代序列并估计它在的范数.

对于，由第一步可知有一个非平凡临界点. 如果我们能证明，则由第一步可以得到有一个临界点. 所以，为了得到迭代序列，我们需要证明：如果假设，则，由第一步得到的的非平凡临界点，满足.

事实上，通过临界水平，(2.3)和(2.4)以及具有正常数的Cauchy不等式的山路表征，我们得到

如果取

则通过简单的计算可知，当时有最大值，其中

因此，由(2.7)和，我们有

所以

其中又(2.13)给出. 因此，它遵从(2.11)中给出的a和b的定义

当时，其中由(2.12)给出，我们有

所以，我们得到

因此，如果令并且使成为的一个重要临界数列，由上述已知，可以推导出.

第三步：我们通过迭代序列构造出了第二步中收敛于（1,1）的非无效解.

我们证明序列是在中的一个柯西序列，考虑到式（2.1）和前述对的定义，所以通过（2.3）和（2.6），，我们最终的到了下式结论.

所以，

通过这个假设2.16，我们可知：

因此，在中序列是一个柯西序列，所以，我们可以假设在中,鉴于的定义，我们可以知道是一个弱解并符合引理2.6，所以是（1.1）的一个解，在 中正数并不是n的因变量，所以我们可知u是区间[1,1]内的一个非平凡解.

参考文献

[1] R.P. Agarwal, M. Benchohra, S. Hamani, A survey on existence results for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations and inclusions, Acta Appl. Math. 109 (2010) 973–1033.

[2] D.A. Benson, S.W. Wheatcraft, M.M. Meerschaert, Application of a fractional advection–dispersion equation, Water Resour. Res. 36 (2000) 1403–1412.

[3] D.A. Benson, S.W. Wheatcraft, M.M. Meerschaert, The fractional-order governing equation of Leacute;vy motion, Water Resour. Res. 36 (2000) 1413–1423.

[4] A. Carpinteri, F. Mainardi, Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, Springer, 1997.

[5] B.A. Carreras, V.E. Lynch, G.M. Zaslavsky, Anomalous diffusion and exit time distribution of particle tracers in plasma turbulence model, Phys. Plasmas 8 (2001) 5096–5103.

[6] A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations, vol. 204, Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2006.

[7] I. Podlubny, Fractional Differential Equations, Academic press, New York, 1999.

[8] M.F. Shlesinger, B.J. West, J. Klafter, Leacute;vy dynamics of enhanced diffusion: application to turbulence, Phys. Rev. Lett. 58 (1987) 1100–1103.

[9] V.J. Ervin, J.P. Roop, Variational formulation for the stationary fractional advection dispersion equation, Numer. Methods Partial Differential Equations 22 (2006) 558–576.

[10] F. Jiao, Y. Zhou, Existence of solutions for a class of fractional boundary value problems via critical point theory, Comput. Math. Appl. 62 (2011) 1181–1199.

[11] D. De Figueiredo, M. Girardi, M. Matzeu, Semilinear elliptic equations with dependence on the gradient via mountain-pass techniques, Differential Integral Equations 17 (2004) 119–126.

<p

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料</p

---

资料编号：[24010]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word