Dirichlet条件下一维热力方程核的 另一种显式表达式外文翻译资料

英语原文共 6 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

Dirichlet条件下一维热力方程核的

另一种显式表达式

Alberto Cabada

统计处、数学分析和数学优化研究所、圣地亚哥德孔波斯特拉大学，圣地亚哥德孔波斯特拉，加利西亚 西班牙

摘要 本文研究了一维非齐次热力方程与Dirichlet边界条件的耦合问题.通过利用无界域上的直接积分，我们得到了线性方程解的显式表达式.这个表达式的主要创新之处在于它的解不是作为一系列无穷项给出的.在我们的表达式中，解的形式是两个积分的和，在核上有一个有限的数位.在经典方法中，热力方程的解是由基于谱理论和Fourier级数展开的变量分离法直接应用而得到的.而与经典方法相反，我们的解是通过Laplace变换对时间变量的应用而得到.因此，对于任意tge;0的定常微分方程，我们必须解空间变量上的一个常微分方程，并与Dirichlet边界条件耦合，通过相应 Green函数的构造给出了该问题的解.

关键字 热力方程；Dirichlet问题； Green函数

1、介绍

本文的目的在于构造解的闭合表达式

在I=[0，1]和，，C(I[0，infin;））的一维非齐次热力方程耦合的两个Dirichlet边界条件：

=,

众所周知，在对方程数据进行适当的规律性假设的情况下，这个问题有唯一的连续有界解，而且，请参见, 部分.

特别地，当 ,时，这种唯一性对所有的 ,成立

.

此外，令

是F equiv; 0时 (1)–(3)的唯一有界解，则是 (1)–(3) 当 f equiv;0的唯一有界解.

所以，运用变量分离法可以得出：

,x

在这些假设下，不难验证, 在I上均匀分布：

.

注1.1 注意，按照前面相同的参数，函数t→在I上均匀分布.

此外，由于的规律性，我们得到一个常数kgt;0（这个常数取决于的值）这样

.

现在，根据Duhamel原则，我们有了

(5)

式中，对于每个sge;0，将表达式（4）f（y，s）替换成f（y），得出

(s,t)=2 (6)

然而，据作者所知，Dirichlet问题（1）–（3）并没有给出有限个加数的显式表达式.本文得到了核的显式表达式，给出了核的唯一有界解.

本文得到了核的显式表达式，给出了Dirichlet问题（1）–（3）的唯一有界解.主要结果在第2节中得到，通过直接应用Laplace变换得到了核的复杂形式.第三节主要研究核的精确表达式，以及核的一些性质.

2.解的封闭表达式

在本节中，我们得到问题（1）–（3）的唯一有界解的精确表达式.这种表达式是作为有限元和的无限域中的积分给出的.

在得到解的显式表达式之前，我们回顾了函数的Laplace变换的定义.

下面的收敛结果是众所周知的（例如参见[2，命题2.4.6]）

定理2.1 设为中的一个点态分布连续函数，其中存在常数和a，因此：

对所有的t

那么，当时，所有L都定义良好.

我们很快验证，如果在[0，infin;上存在，且其Laplace变换是良好定义的，则在所有的有：

.

现在，我们阐明了下面Laplace逆变换的版本，这是 的证明的推论.

定理2.2 设是一个连续函数，使得对于某些， f的横向导数存在并在[0，infin;中是有限的.且，对于任何tgt;0和rgt;a，满足以下同一性：

在推导函数的另一个表达式之前，我们为

(7)

且有

(8)

众所周知，详情参见[3,4]：

是Dirichlet边值问题的唯一解

现在，我们可以给出函数（4）的另一个表达式，其结果如下：

定理2.3 设，使然后，问题的的唯一有界解:，且有F，用以下形式表示：

证明 首先，我们注意到，根据f的假设，我们得到(x,)（=） 在是连续的.并且，由于它在 上对I是一致的，我们得出它在中有界的结论，这使得我们可以定义它的Laplace变换与时间变量有关.此外，我们还可以使积分和关于空间变量的求导交替进行，因此，可以用

,

来表示.

我们推导出函数的以下性质：

正如我们前面提到的，对于任何，这个问题都有一个唯一的解，其表示如下：

现在，结果来自注1.1和定理2.2（r=0）. □

的表达是Duhamel准则的直接结果.

定理2.4 设函数对所有，

=且在中有界.

然后通过表达式给出的唯一有界解

3．内核的属性

本节将对前一节中获得的Green函数的性质进行详尽的研究.所以，为了解决问题，我们确定了2个，所以，我们有

立即可以验证的任何其他可能值的表达式没有变化.

现在，我们可以验证下面的属性

引理3.1 （7）和（8）中定义的函数满足以下对称性:

实际上，通过Mathematica软件包，我们可以得到函数g实部和虚部的下列表达式，对于任何（当时是）和（对于，x与y可以互换）

-

-

)

此外：

-

-

-

-)

尽管Green函数实部和虚部的表达式很难处理，复数模的值相对容易计算.再次使用Mathematics软件包，可以验证，当任何，（当slt;0时为minus;s，对于， x与y可以互换）.

=

此外，对任意的

且对所有的x

此外，由于引理3.1所示的对称性，得到了和的以下表达式：

和

3.1 最后备注

我们指出，在较弱的假设条件下，和的表达式对函数f和F都成立，正如定理2.3和2.4中所规定的那样.如果这样的积分，以及关于t的相应导数是良好定义的，它们是有意义的.

特别地，它可能对有界性或函数F在t=0处的连续性没有要求.

例如，我们也可以考虑不连续和无界函数，或者等式（10）给出了无界解:

.

参开文献

[1] F. John, Partial Differential Equations, fourth ed., in: Applied Mathematical Sciences, vol. 1, Springer-Verlag, New York,1982.

[2] J.M. Almira, Mathematics for the Recovery of Signals: an Introduction, in: Grupo Editorial Universitario, 2005 (in Spanish).

[3] A. Cabada, Greenrsquo;s Functions in the Theory of Ordinary Differential Equations, in: Springer Briefs in Mathematics, 2014.

[4] A. Cabada, J.A. Cid, B. Macute;aquez-Villamaracute;ın, Computation of Greenrsquo;s functions for boundary value problems with Mathematica, Appl. Math. Comput. 219 (2012) 1919–1936.

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

资料编号：[18989]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word