分数阶广义mKdV方程的Lie对称和守恒律开题报告

1. 本选题研究的目的及意义

分数阶微积分作为传统微积分理论的推广，近年来在非线性科学、流体力学、控制论、生物医学等领域展现出独特的优势和应用前景。

分数阶微分方程能够更准确地描述具有记忆效应、非局域特征的复杂物理现象，因此研究分数阶微分方程的解的性质、解析解和数值解方法具有重要的理论意义和实际应用价值。

kdv方程作为描述浅水波运动的经典模型，在流体力学、等离子体物理等领域具有广泛的应用。

2. 本选题国内外研究状况综述

分数阶微积分与分数阶微分方程是近年来数学和物理领域的研究热点之一。

分数阶mkdv方程作为一类重要的分数阶偏微分方程，受到了国内外学者的广泛关注，并取得了一系列重要成果。

国内研究现状：近年来，国内学者在分数阶mkdv方程的解析求解、数值模拟、稳定性分析等方面开展了大量研究工作。

4. 研究的方法与步骤

本研究将采用理论分析和数值模拟相结合的研究方法，具体步骤如下：
1.文献调研阶段：查阅国内外相关文献，了解分数阶微积分、分数阶偏微分方程、lie对称分析方法、守恒律理论等方面的研究现状，为本研究提供理论基础和研究思路。

2.理论分析阶段：(1)研究分数阶导数的定义对分数阶广义mkdv方程解的影响。

将分别使用几种不同的分数阶导数定义，例如riemann-liouville导数、caputo导数、grünwald-letnikov导数等，推导相应的确定方程，并通过比较分析不同定义下所得结果的差异，探讨分数阶导数定义对分数阶广义mkdv方程解的性质和结构的影响。

5. 研究的创新点

本研究的创新点主要体现在以下几个方面：1.系统研究不同分数阶导数定义对分数阶广义mkdv方程解的影响，为分数阶mkdv方程的研究提供更全面的视角。

2.将lie对称分析方法应用于分数阶广义mkdv方程的研究，发展和完善分数阶偏微分方程的lie对称理论。

3.基于lie对称分析方法构造分数阶广义mkdv方程的守恒律，为理解分数阶广义mkdv方程的物理意义提供新的思路。

6. 计划与进度安排

第一阶段 （2024.12~2024.1）确认选题，了解毕业论文的相关步骤。

第二阶段（2024.1~2024.2）查询阅读相关文献，列出提纲

第三阶段（2024.2~2024.3）查询资料，学习相关论文

7. 参考文献（20个中文5个英文）

[1] 刘式适, 付辛. 分数阶微积分及其应用[m]. 北京: 国防工业出版社, 2019.

[2] kilbas a a, srivastava h m, trujillo j j. theory and applications of fractional differential equations [m]. amsterdam: elsevier science b.v., 2006.

[3] podlubny i. fractional differential equations[m]. san diego: academic press, 1999.