Jacobi迭代法与其他迭代法的比较结果外文翻译资料

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Jacobi迭代法与其他迭代法的比较结果

摘要

本文给出了求解非奇异线性方程组的带修正预条件同时位移（MPSD）迭代的Jacobi迭代法与其他迭代法的一些比较结果。结果表明，在一定条件下，雅可比迭代矩阵B的谱半径小于 Liu (J.Numer.Methods Comput.Appl.1 (1992) 58)中介绍的几种迭代矩阵的谱半径。

1.导言

求解线性方程组

Ax=b (1.1)

其中Aisin;C ^ntimes;n是非奇异的，bisin;C ⁿ是给定的，xisin;C ⁿ是未知的。当矩阵A大且稀疏时，迭代方法是有效且实用的，许多作者对此进行了研究（参见[1-14]等）。

为了用迭代法求解系统（1.1），将系数矩阵分解为

A=M-N

如果M是非奇异的，那么求解系统（1.1）的线性平稳迭代公式的描述如下：

X ^{（i 1）}=M^-1Nx^（i） M^-1b，i=0，1，...，

其中M^-1N是迭代矩阵。众所周知，当迭代矩阵的谱半径小于1时，迭代方法收敛

设A=D-C_L-C_U，其中D= diag（A）是非奇异的，-C_L和-C_U是从A得到的严格上下三角矩阵。我们还设L=D^-1C_L，U=D^-1C_U。雅可比迭代矩阵是

B=L U=I-D^-1A (1.2)

研究了改进的预条件同时位移法（MPSD），并给出了MPSD迭代矩阵[2,7,10]

S _{tau;，omega;1，omega;2}=M^-1N， (1.3)

式中M=D（I-omega;₁ L）^-1（I-omega;₂ U）^-1 [（1-tau;）I （tau;-omega;₁L） （tau;-omega;₂U） omega;₁omega;₂UL]可特殊的写为如下形式：

S _{tau;，omega;1，omega;2=}（I-omega;₁ L）^-1（I-omega;₂ U）^-1 [（1-tau;）I （tau;-omega;₁L） （tau;-omega;₂U） omega;₁omega;₂UL] (1.4)

文[4,5,9,14]研究了MPSD方法的一些特殊情况。对于特殊的omega;_1，omega;₂和tau;值，下表给出了相应的迭代方法；

当0＜omega;₁＜tau;le;1,i=1,2时，下面的定理在[2]中给出。

定理1（陈[2]）。设A不可约，B=L Uge;0。那么对于0＜omega;₁＜tau;le;1.i=1,2，我们有

（1） rho;（B）＞0，rho;（S _{tau;，omega;1，omega;2}）＞1-tau;，

（2） 0＜rho;（B）＜1⟺ 1-tau;＜rho;（S _{tau;，omega;1，omega;2}）lt;1，

（3） rho;（B）=1 ⟺ rho;（S _{tau;，omega;1，omega;2}）=1，

（4） rho;（B）＞1 ⟺ rho;（S _{tau;，omega;1，omega;2}）＞1。

定理1表明雅可比迭代法和MPSD迭代法要么都收敛，要么都发散。但是，对于两种迭代方法都收敛的情况，哪一种更好？定理1没有给出答案。本文给出了当rho;（B）lt;1时，表1中给出的迭代法与雅可比迭代法的比较结果，所得结果表明，雅可比迭代法在某些条件下是较好的。

2.初步结果

以下内容我们需要下面的定理：

定理2（柏曼和普莱蒙斯[1]）。如果A是一个非负方阵，那么

（1）rho;（A），A的光谱半径，是固定值，

（2）A有一个对应于rho;（A）的非负特征向量

（3）A^t有一个对应于rho;的非负特征向量p（A）

定理3（柏曼和普莱蒙斯[1]）。对于Age;0，

alpha; x le; Ax , x ge; 0 , x ne; 0 意味着 alpha;le; rho;（A）

以及 Ax le; beta; x ，x ＞ 0 意味着 rho;（A）le; beta;

3.主要结果

假设A是（1.1）中的系数矩阵，B是（1.2）中的雅可比迭代矩阵，并且是非负的，那么根据定理2，我们知道B的特征值lambda;=rho;（B） ge; 0

对于上述的lambda;和xge;0，x ne; 0我们可得

当0le;omega;_ile;tau;le;1，i= 1,2 ，通过（1.4），我们可得

当omega;₁=omega;₂=omega; 以及 tau;=omega;（2-omega;），（1.4）可以转化成为SSOR迭代矩阵

定理4 设A为非奇异矩阵。Bge;0（1.2）中的雅可比迭代矩阵，如果0le;omega;le;1以及

rho;（B）le;（1-omega;）² 我们可得

rho;（B）le;rho;（S_{omega;（2-omega;），omega;，omega;}），其中S_{omega;（2-omega;），omega;，omega;}是SSOR迭代法的迭代矩阵。

证明。因为tau;=omega;（2-omega;）=2omega;-omega;² ，可得tau; _max =（4times;（-1）times;0-2²）/（4times;（-1））=1

因此tau;le;1 ，我们还能得到

当0le;omega;le;2时，tau;ge;0

对于0le;omega;le;1，tau; -omega;=（2omega;-omega;²）-omega;=omega; -omega;²ge;0

即

对于0le;omega;le;1，tau;ge;omega;

通过（3.2），我们可得，S_{omega;（2-omega;），omega;，omega;}ge;0

现在我们来考虑S_{omega;（2-omega;），omega;，omega;}x-lambda;x（当lambda;=p（B）以及xge;0，x ne; 0时）。根据（3.1）我们可得

显然当0le;omega;le;1时，omega;（2-omega;）-omega; lambda;omega;=（1 lambda;）omega;-omega;²ge;0

以及

当且仅当lambda;le;（1-omega;）²时，1-omega;（2-omega;）-lambda;ge;0

所以当lambda;le;（1-omega;）²时，我们可得

即S_{omega;（2-omega;），omega;，omega;}xge;lambda;x

因此，通过定理3，我们可得

rho;（S_{omega;（2-omega;），omega;，omega;}）ge; rho;（B）

（b）当omega;₁=omega;₂=tau;=omega;时，（1.4）转化为EMA迭代矩阵

定理5。设A为非奇异矩阵。Bge;0，且为（1.2）中的雅可比迭代矩阵。如果0le;omega;le;1以及rho;（B）le;1-omega;，我们可得

rho;（B）le;rho;（S_{omega;，omega;，omega;}）

此时S_{omega;，omega;，omega;}是EMA迭代法的迭代矩阵。

证明

以及当0le;omega;le;1时，S_{omega;，omega;，omega;}ge;0

对于S_{omega;，omega;，omega;}x-lambda;x，当lambda;和x与定理4中的一样时，通过（3.1），我们可得

显然

当0le;omega;le;1以及lambda;le;1-omega;时，S_{omega;，omega;，omega;}x-lambda;xge;0

或者，等价的

S_{omega;，omega;，omega;}xge;lambda;x

通过定理3，我们可得

rho;（B）le;rho;（S_{omega;，omega;，omega;}）

（c）当omega;₁=omega;₂=0且tau;=omega;时，（1.4）转化为JOR迭代矩阵

定理6 设A为非奇异矩阵。Bge;0是（1.2）中的雅可比迭代矩阵。 剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

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