寻找K变换的黑洞数 ——算法和结果外文翻译资料

寻找K变换的黑洞数

——算法和结果

原文作者 BYRON L.WALDEN 单位 Santa Clara University

摘要：我们研究不同位数和进制下Kaprekar变换的黑洞数，取得一些新的结果：特别是在建立独特的7位（在进制4下）和9位（在进制5下）Kaprekar变换的黑洞数，并且证明得出任意进制下，不存在15，21，27和33位Kaprekar变换的黑洞数.

关键词：Kaprekar变换； 黑洞数； 位数；进制

1.引言

一个著名趣味数学的问题中曾提出一个神秘的数字——6174：采取任一一个4位数，但是组成这个四位数的数字不能完全相同，列出这四个数，并将数字按从大到小排列为一个升序和从小到达排列为一个降序，求出这个四位数的降和升序的差值（例如，最初给定的数是4083时，得出8430minus;0348 = 8082）。将这个差值作为新的一个四位数进行上述的迭代过程。印度的一位数学家Kaprekar[5]首先发现上述变换中差值的计算过程，并得出最多进行7次这个变换，就会出现一个固定的四位数的迭代点，即6174。因此6174又被称为Kaprekar变换的黑洞数。这个奇妙的例子被广泛刊登后，引起了多个大学的研究兴趣，包括著名大学伯克利和麻省理工学院[1]。受这个例子的启发，其中的一些作者开始采用不同的位数或不同的进制，研究广义的Kaprekar变换黑洞数问题。在这样的背景下，一个b进制n位数被称为Kaprekar变换的黑洞数，如果它是升序和降序的差运算过程（有时称为Kaprekar变换）得出的一个固定迭代点，和任意一个非平凡的n位数，最终是通过上述迭代运算转化为一个固定点。本文则将继续按这个思路进行研究Kaprekar变换的黑洞数，构造出一个7位（在进制4下）和9位（在进制5下）Kaprekar变换的黑洞数和得出任意进制下，不存在15，21，27和33位Kaprekar变换的黑洞数。

2.预备知识

在阐述和证明本文的主要结果以前，了解Kaprekar变换的黑洞数的一些预备知识将有助于下文主要结果的证明。

最早，在10进制数中，Prichett等人[8]证明Kaprekar变换的黑洞数只有495和6174。他们证明了，对任意的正整数，经过Kaprekar变换后总存在两个固定的迭代点，因而不存在Kaprekar变换的黑洞数。在这个结论的基础上，勒丁顿[6]证明，对任意的非负整数在任一进制b上，只存在有限多个Kaprekar变换的黑洞数。

下面归纳对任意的，固定的位数和可能有一个Kaprekar变换的黑洞数的进制。

之后，哈塞[2]研究了2位整数的Kaprekar变换的黑洞数问题，并得出在2进制下的2位整数的Kaprekar变换的黑洞数只有一个是01。例如，在对应的图论中，以N位数字作为顶点，用边连接每个数及其经过给定的Kaprekar变换后的下一个数，可形成一个有向图。（有时，此对象可被称为一元代数。）由于这个图是有限的，每个节点的出度为1，在有向图的每一步，最终会成为循环。因此，图中当且仅当只有一个一步的循环时，就出现了一个Kaprekar变换的黑洞数。

在这个2位整数的例子中，如果，其中是奇数，那么的任一倍数最终求出00。可总结出：在开始计算出一个一位数的小概论情形下，这个性质对不成立；否则，这个循环由 个节点构成，其中t为奇数。当,即且至少时，那些圈的长度恰好是. (2.1)

（哈塞[2]在论文中证明了此结论的大部分结果，但是不够简洁和完整。）

乔丹[4]证明了对任意3位整数，在哪些进制下有Kaprekar变换的黑洞数：即对时，黑洞数有.在[1]中，埃尔德里奇和司空阐述更进一步的证明了在这种情况下的循环结构。

在[3]中，哈赛证明了具有4位黑洞数的进制是和，且各自的黑洞数分别是3032和

minus;1 . (2.2)

普里切特[ 7 ]证明了，对任意5位整数，在哪些进制下有Kaprekar变换的黑洞数：进制是跟一致的，但是当不成立.当时，黑洞数是

. (2.3)

[7]的最后一段进一步猜想，即有关Kaprekar变换的黑洞数的新的研究结果基本上遵循上述的程序，有些结果看似已经出现，但是没有被明确证明。

3.程序和记号的解释

为了证明Kaprekar变换的黑洞数的过程更为简洁和有效率，我们将采用下列简单的符号进行标记。

例如，对任意一个位整数，将组成它的个数字，按从大到小排列进行定义，使

。

则差值为

(3.1)

上述列表可以通过简化得到对应的列表

(3.2)

不用说，我们不希望的最后一位上的数字是零。在这样的假设下，本文认为可以用领先的数字表示这位数字。例如，6174可以用7minus;1 和 6minus;4来表示，或者用节点lt;6:2gt;。即在(2.3)中，Kaprekar变换的黑洞数可以写成。

在固定位数和进制以后，我们定义一个从每个节点到其继任者的有向边，则沿着这条有向边必然会走过以前出现过的节点，从而形成了一个循环的周期。显然，当且仅当其唯一的周期是一个单圈图时，就有一个Kaprekar变换的黑洞数。在网页http://math.scu. edu/sim;bwalden/kaprekar.中，有一个发现是详细的证明这一个结论的。

第一，对一个指定的位数和指定范围内的进制，kap1.cc计算所有Kaprekar变换的周期。

第二，直到找到一个有一个单圈或多个周期循环，kap2.cc结束计算Kaprekar变换的周期。

这种排序的优越性在于它的计算次数是最小的，不管对多大的数，在一个指定的位数和指定范围内的进制下，组成的位数和数字是固定的，故数产生升序和降序的列表是固定的，且相减后正好是差值。

4. 7位数的例子

为了证明7位数在不同进制下是否存在Kaprekar变换的黑洞数，先证明下面这个引理。

引理4.1 令

(a) 在进制下, 是一个具有1个节点的圈和是一个具有19个节点的圈;

(b) 在进制下, 是1个具有2个节点的圈和是一个具有2个节点的圈和是一个具有4个节点的圈;

(c) 在进制下, 是一个具有8个节点的圈;

(d) 在进制, 是一个具有4个节点的圈.

证明

附录b列出了上述4种情况的证明。本文只列出其中一种情况的证明。

其余情况的证明方式是类似的

当时，则从开始，

. (4.1)

因此差值是lt;3k 2 : 2k 1 : k 2gt;的节点，

(4.2)

可知，此差值属于节点,即是一个有两个节点的循环周期.

定理4.2 在4进制中，7位数的Kaprekar变换的黑洞数是3203211.

证明

[4]中有一个例子提到过这个黑洞数。由在声明中给出的一个定理：当时，kap2.cc证明7位数有唯一的Kaprekar变换的黑洞数。

但是引理4.1证明：当时，不存在Kaprekar变换的黑洞数。大量的证据引发下面的猜想。

猜想4.3 当时，引理4.1已经列出了所有的具有唯一Kaprekar变换的黑洞数的位数.

5.只有一个黑洞数的位数

在这个部分，当时，本文将构造出所有只有一个Kaprekar变换的黑洞数的情况。

定理5.1 令，，其中，那么

只有一个黑洞数.

证明

在这种情况下，应用K变换得出一个差值，这个差值是位数，按排列为

(5.2)

其次是位，然后由位数字构成：

(5.3)

定理5.2 在进制时，当有一个黑洞数，那么.

定理5.3 在进制时，当有一个黑洞数，那么

定理5.4 在进制5时，9位数的黑洞数当且仅有432043211.

参考文献

[1] K.E.埃尔德里奇和S.司空.Kaprekar收敛和所有的三位数环路收敛的确定.美国数学月刊 ,1988,95（2）：105–112.

[2] H.哈斯.K变换的黑洞数.皇家学会自然学会.马德里72（1978年）,第2号,221–240.

[3] H.哈塞和G.D.普里切特.测定所有四位Kaprekar常数.基础数学杂志,1978,299/300:113–124.

[4] J. H.乔丹.数学笔记：自我生产的数字序列.美国数学月刊,1964,71（1）：61–64.

[5] D. R.卡布列克数. 数字6174的有趣性质.数字杂志,21（1955）：244–245.

[6] A. L.勒丁顿. Kaprekar常数的存在条件. 310（1979）：196–203.

[7] G. D. Prichett.终止迭代的差值五位数的整数周期,基础数学杂志,303 /304（1978），379–388.

[8] G. D. Prichett，A. L.拉丁顿，和J. F.勒庞塔，所有十进制Kaprekar常数的测定，fibonacciquart.19（1981），1号，45–52.

外文文献出处：International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 2005:18 (2005) 2999–3004

附外文文献原文

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