求解非线性方程的第八阶迭代方法外文翻译资料

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求解非线性方程的第八阶迭代方法

摘要

在这篇论文中，非线性方程求解简单根的八阶迭代法添加了三个新的成员，并通过利用权函数的方法得到发展。每次迭代这些方法都需要三个评价的功能和一个一阶导数。这意味着，根据Kung和Traub[7]对每次迭代的评价的四个功能中哪个是最优的的猜想，开发方法的效率指数是1.682。要注意的是，Bi等人的方法是在[2]和[3]是特殊情况的方法下开发的家庭。在这次学习中，几个关于效率指数是1.682的八阶方法的新例子是在这些方法的每一个家庭的发展之后提出的，数值比较与其他几个现有的方法来显示所提出的方法的性能。

Elsevier B.V出版

关键词：非线性方程，迭代方法，权函数方法，收敛次序，效率指数

1. 介绍

非线性方程的求解是数值分析中最重要的问题之一，在这篇论文中，我们认为找到一个非线性方程f(x)=0的根源简单迭代法，其中F: Dsub;R→R为开区间是一个标量函数。一个单一的非线性方程的经典牛顿的方法被写入， (1)

它的二阶收敛性是一个重要的和基本的方法[1]。

为了提高当地的收敛指数的效率，已经提出来了许多修改的方法，在公开的文献中有记录，可见[2-6]和其中的参考。Chun和Ham通过权函数的方法发展了一个关于六阶方法的家族。Kou等人[5]提出了一系列具有第七阶收敛的Ostrowski方法，Kung Traub [ 7 ]推测多点迭代没有记忆，基于N的评价，可以达到最优的收敛阶为2的n-1次方。Kung和Traub [ 7 ]提出了基于N评价的两族多点方法。对于n = 4的情况下，该方法可以写入如下：

(2)

当 beta;是常数时，并且，

(3)

Bi等人提出了一类第八阶收敛方法[ 2 ]（见（14）中）

(4)

当 和H(t)代表一个实值函数H（0）= 1，H（0）= 2

| H 00（0）| lt;infin;。另一个新的第八阶方法的家庭[ 3 ]（见（13）中）是由：

(5)

当gamma;isin;R是连续的，

H（t）是一个实值函数H（0）= 1，H0（0）= 2，Hinfin;（0）= 10和| h000（0）| lt;infin;.

最近，利用第三阶Hermite插值多项式，petković[ 8 ]提供了一个通用类最优收敛2^nminus;1和优化计算效率为2^n 1点的迭代方法。这里的n包括Nminus;1评价的功能和导数的赋值。Thukral和petković[ 9 ]开发了一系列的权函数方法优化的第八阶收敛的方法。

在这篇论文中的三个定理中，我们提出了三个家庭的第八阶迭代方法推导出的权函数的方法。加权函数法可用于构造非线性方程组迭代方法。权函数的方法的一些应用可以在[ 2–4,6 ]中发现，在一些权函数中进行。在本篇论文中，我们应用一些权函数构建家庭的迭代方法具有高收敛阶和高效率指数。就计算成本方面而言，他们需要三个功能和一阶导数每次迭代时的赋值。这给出了1.682的效率指数所提出的方法。第八阶方法的新家庭同意Kung和Traub [ 7 ]猜想为n = 4。

定理中的条件是一般并且基本的，对于一个特定的迭代方法，只需要选择的功能，使得定理中的条件得以满足。特别是，首先可以写下具有待定系数的优选函数，然后利用定理中的条件来确定函数中的系数。每个定理后面都有具体的迭代方法的实例。所提出的方法与牛顿的方法和其他方法可以相媲美。利用一些数值例子的有效性进行测试。请注意，BI等人的方法在[2,3]是特殊情况下提出的第八阶方法。基于权函数法，推导出了具有1.682个效率指数的新的第八阶方法。

1. 收敛的方法和分析

基于（3）-（5），我们采用加权函数法考虑以下三步的迭代方案：

(6)

其中G（T）、H（t）、V（t）和W（t）表示实值函数,下面的方法的收敛顺序分析如下定理1。

定理1.假设函数G，H，V，W，F是可微的，F有一个简单的Xlowast;isin;D.如果初始点X0是足够接近的Xlowast;，定义的方法（6）收敛于Xlowast;，第八阶的情况如下：和

证明：

利用泰勒展开式并且将它们带入，当

(7)

并且hellip;hellip;的功能是和，扩大约0的收益量，

(8)

在的条件下，我们有:

(9)

当

并且hellip;hellip;的功能是和，,这里省略了复杂的表达式。

(10)

扩展 约为0的收益量

(11)

利用（7）-（11），我们便得到

(12)

在 的条件下，便有

(13)

当满足条件时，很明显,因此，（6）收敛于Xlowast;第八阶，误差方程成为：

(14)

经过一些简化，我们可以很容易地获得定理1的条件。这完成定理1的证明：

计划中有四个权函数（6），有选择的权函数和W(t)=t，方案（6）成为

(15)

定理1在之后能被简化。

定理1 假设函数H，V，F，F可微有一个简单Xlowast;isin;D,如果初始点X0是足够接近的Xlowast;，然后定义的方法（15）收敛于Xlowast;，第八阶的情况下,

在下面，我们给出了一些具体形式的迭代方案（6）和（7）,

例1.1函数G（t），H（t），V（T），W（T）定义，

满足定理1的条件，然后得到一个新的第八阶方法

(16)

例1.2 功能H(t),V(t)定义为满足定理1的条件，然后得到一个新的第八阶方法

(17)

接下来，我们添加并且结合已知信息，利用权函数方法，考虑下面的迭代格式：

(18)

G（T）、H（t）、V（t）和W（t）是实值函数。与定理1的证明类似，我们可以得出以下结论：

定理2.假设函数G，H，V，W，F是可微，F有一个简单的Xlowast;isin;D,如果初始点X0是足够接近的Xlowast;，然后定义的方法（18）收敛于

Xlowast;，第八阶的情况下，以及

关于18的误差方程是，

(19)

再来一次，具有一定的功能选择

(20)

定理2可以简化如下：

假设函数H，W，F是可微，F有一个简单的Xlowast;isin;D,如果初始点X0是足够接近的Xlowast;，然后定义的方法（20）收敛于Xlowast;，第八阶的情况下：.

在下面，我们给出了一些具体形式的迭代方案（18）和(20)

例2.1 函数G（t），H（t），V（T），W（T）定义

满足定理2的条件，一个参数的第八阶方法得到一个新的家庭。

(21) 当a是一个常量时。

例2.2 H（t），W（t）定义的函数

H(t)=1 4t,W(t)=1 t 满足定理2的条件，然后得到一个新的第八阶方法。

(22)

通过定理1和2，我们可以看到，通过已知的条件的组合，我们可以提出新的家庭的第八阶方法。已知条件的不同形式的组合可能构成新的迭代方案具有高收敛性。最后，通过使用权函数的方法，我们考虑以下迭代方案：

(23)

其中G（T），H（t），U（T），V（T）和W（t）表示实值函数。与定理1的证明类似，我们可以得出以下结论：

定理3.假设函数G，H，U，V，W，F是可微，F有一个简单的Xlowast;isin;D.如果初始点x0是足够接近的Xlowast;，然后定义的方法（23）收敛于Xlowast;，第八阶的情况下，

并且,（23）的误差方程为

(24)

特别的，当

满足定理3的条件，方案（23）变为（5）。因此，BI等人的方法[ 3 ]是一个关于第八阶方法的特殊的情况。

和定理1与定理2相似，权函数特定的形式，，方案（23）可以被简化为

(25)

定理3可以被化简如下：

定理3rsquo;假设函数H，V，F，F可微有一个简单的Xlowast;isin;D.如果初始点X0足够接近Xlowast;，然后定义的方法（25）收敛于Xlowast;，第八阶的情况下,

接下来，我们给出了一些具体形式的迭代方案（23）和(25)

例3.1 函数G（T），H（t），U（t），V（T），W（T）定义

满足定理3的条件，一个参数的第八阶方法得到一个新的家庭。

(26)

a是常数

例3.2 H（t），V（t）定义的函数

满足定理3的条件。一个新的家庭的三参数第八阶方法

(27)

当a,b,c是常数时。

所开发的方法需要评估只有三个功能和一阶导数的每次迭代。考虑效率指标（例如[ 1,10,11 ]）定义为，其中P是方法和W的顺序是函数的每次迭代的评价数。假设所有衍生工具的评估与功能评估的成本相同。除了最近在BI等人提供的高效率指数的方法外，新方法的效率指数为，这优于[ 4 - 6 ]中的方法，需要四个功能评价，但收敛阶小于八。[ 2 ]和[ 3 ]中，本论文提供了新的家庭的第八阶方法与效率指数1.682。

1. 数值结果和结论

在本节中，我们提出用数值模拟的结果比较效率的方法。所考虑的方法是（1），（2），，（3）(4),(5),新方法（16），（22），（26）,a=-3,b=1,c=3.在这里，只有NM的方法是二阶，其他的方法是第八阶。

这里已经进行的数值计算在Mathematica 4的环境，表1显示了根Xlowast;和测试函数Fi逼近XN之间的距离（x）（i = 1,2，hellip;，6）的初始x0，其中Xlowast;是确切的根，该函数的绝对值（| F（x）|）和收敛的计算顺序（COC）也显示在表1中。在这里，COC的定义[ 12 ]

表1

功能评估的总数量在各种迭代方法的比较（tnfe = 8）

测试功能FI（x）（I = 1,2，hellip;，6）列示如下

这些数值实验中所提出的方法似乎是更强大的，从而与其他方法相比，更具竞争力。表1还表明，在这项研究中介绍的方法有更好的性能 。

在迭代的方法中实现，初始近似值x0合当的选择是非常重要的，因此，破坏了快速收敛。通过对这一问题的研究可以发现[ 13,14 ]。根近似的方法是一种在研究迭代方法的初始值x0的时候很好的候选。在[ 13 ]（见（5）其中）的方法概述如下：

(28)

其中Xlowast;是F（x）= 0的根在区间[a，b]中f(a)·f（b）＜0，和beta;gt; 0是一个常数。这种方法（28）使用表1中的初始值x0。例如，F1（x）= 0，b = 5，beta;= 3，上述方法给x0 = 2.98855和| f（x0）| = 0.138163。为了简化，我们采用x0 = 2.99作为初始值。

致谢

这项工作是由河南市教育委员会自然科学基金资（2008-755-65），最前沿的河南省科技攻关项目（092300410137）和河南省教育厅国家科学

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