混沌系统通过非线性控制实现混沌同步外文翻译资料

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Chaos, Solitons and Fractals 25 (2005) 579–584

混沌系统通过非线性控制实现混沌同步

Ju H. Park *

Robust Control and Nonlinear Dynamics Laboratory, Department of Electrical Engineering, Yeungnam University, 214-1 Dae-Dong, Kyongsan 712-749, Republic of Korea

Accepted 23 November 2004

摘要：本文研究了Luuml; [Int J Bifurcat Chaos 2004;14:1507]提出的一个混沌系统的混沌同步问题。基于李雅普诺夫稳定性理论设计了一种新型的非线性控制器。该控制器保证了控制混沌系统的状态与主系统状态达到渐近同步。最后通过数值仿真说明控制器设计过程和结果的有效性。

1. 简介

混沌是一种非常有趣的非线性现象，在过去的三十年中得到了深入的研究[1-20]。混沌理论在许多学科中是非常有用的或具有潜在的用处[1]。特别是混沌同步问题自1990年以来受到了广泛关注。关于混沌同步问题的描述，请参见两本著作[2-3]。同时，同步问题已经在众多领域中，包括物理、化学和生态系统、安全通信等，得到了广泛应用。近年来，Li [17]，Luuml;[18]，Park [19]等人对线性耦合混沌系统的混沌同步进行了研究；Han[13]和Chen[20]研究了基于非线性控制方案的同步问题。

另一方面，最近，Luuml; [21]引入了一个新的三维二次自治常微分方程的混沌系统。该混沌系统根据不同参数，可描述两种不同的混沌现象：两个1-scroll混沌吸引子且具有三个平衡点，或两个2-scroll混沌吸引子且具有五个平衡点。

本文研究了Luuml;[21]给出的混沌系统的混沌同步问题。提出了一种新的非线性同步控制方法，通过李雅普诺夫稳定性理论实现了同步。

本文安排如下：第2节介绍了混沌系统主—从同步问题，并给出了主要同步结果。在第3节，我们利用一个数值实例验证了所给方法的有效性。最后一节总结了本文工作。

1. 混沌同步

考虑下列三维自治系统，该系统由Luuml;[21]给出且同时具有两混沌吸引子：

（1）

其中是常数，是状态变量。

该系统已被证明在一个较大的参数区域内是混沌的，并且具有许多有趣的复杂动态行为。该系统在参数满足时是混沌的。例如，当参数为，给定系统两个初始状态和，系统（1）的三个状态变量的轨线如图1所示，容易看出系统此时是混沌的。同时，它具有如图2所示的混沌吸引子。关于该系统的其他动态特性，可参见文献[21]。

现在，我们的目的是在基于李雅普诺夫方法，实现两个形如式（1）的完全相同的混沌系统实现同步。对于混沌系统（1），驱动系统和响应系统分别定义如下:

（2）

（3） 其中下标和分别表示驱动系统与响应系统，、和表示使得这两个混沌系统实同步的非线性控制器。

定义误差信号：

（4）

可得：

（5）从方程式（4）-（5），我们可得到下列误差动力系统:

（6）

其中。

对于两个相同的混沌系统，初始状态，则这两个相同系统的轨迹将会快速分离，变得不相关。然而，对于这两个受控的混沌系统，这两个系统可通过适当的控制器设计，在任意给定初始状态条件下实现同步。最后，我们根据系统（3）给出下列控制器：

（7）然后，我们有下面的定理。

定理1. 对于任意给定初始状态和，受控的混沌系统（2）和（3）可通过控制器（7）实现同步。

证明 构造李雅普诺夫函数

（8）该李雅普诺夫函数对时间求导得：

（9）将式（7）代入式（9）可得：

（10）

通过李雅普诺夫稳定性理论可知，误差动力系统可渐近稳定。这意味着受控的混沌系统（2）和（3）在任意初始状态下都可以实现同步的。证毕。

1. 数值例子

在本节中，为了验证与表明所提控制方法的有效性，我们给出了混沌系统（2）和（3）同步问题的仿真结果。在数值仿真过程中，我们使用了时间步长为0.001的定步长四阶龙格-库塔法。

数值仿真中，我们假设给定初始状态为和。图3和4显示了系统（2）和（3）的状态响应和同步误差。可以看出同步误差迅速收敛到零。

1. 结论

本文研究了受控的相同混沌系统的同步问题。我们利用李雅普诺夫函数法，提出了一个新的非线性控制器，使得驱动系统与响应系统实现渐进混沌同步。最后，利用实际数值实例验证了该方法的有效性。

参考文献

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