NUMERICAL LINEAR ALGEBRA WITH APPLICATIONS
Numer. Linear Algebra Appl. 2013; 20:138–149
Published online 23 February 2012 in Wiley Online Library (wileyonlinelibrary.com). DOI: 10.1002/nla.1829
Sensitivity analysis for the generalized singular value decomposition
Xiao Shan Chen and Wen Li*,dagger;
School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangzhou 510631, China
SUMMARY
In this paper, we discuss the sensitivity of multiple nonzero finite generalized singular values and the corresponding generalized singular matrix set of a real matrix pair analytically dependent on several parameters. From our results, the partial derivatives of multiple nonzero singular values and their left and right singular vector matrices are obtained. Copyright copy; 2012 John Wiley amp; Sons, Ltd.
Received 22 February 2011; Revised 22 October 2011; Accepted 23 December 2011
KEY WORDS: generalized singular value decomposition; generalized singular value; sensitivity analysis
1. INTRODUCTION
Throughout this paper, we use the following notation. Rmn denotes the set of m n real matrices, Rm D Rm1 and R D R1. AT denotes the transpose of a matrix A. The symbol Il is the l l identity matrix. A gt; 0 denotes that A is a symmetric positive definite matrix and A is its positive square root. We use . / for the spectral radius of a matrix. k k2 is the Euclidean vector norm.
The sensitivity analysis of the eigenvalue problem, the generalized eigenvalue problem, the periodic eigenvalue problem and the singular value problem is well established (e.g. see [1–8]). The generalized singular value decomposition (GSVD) for a pair of matrices with the same number of columns is a generalization of the singular value decomposition (SVD). For the GSVD problem, there is a large literature on perturbation theories and algorithms (e.g. see [9–16]). The purpose of this paper is to discuss the sensitivity of the following GSVD of a real matrix pair analytically dependent on several parameters, which was introduced by Van Loan [16] and Paige and Sauders [12].
Theorem 1.1
Let A 2 Rmn and B 2 Rln have rank .AT ,BT / D n. Then, there exist two orthogonal matrices U 2 Rmm,V 2 Rll and a nonsingular matrix X 2 Rnn such that
|
0.mrs/.nrs/ where 0st denotes the s t null matrix and |
V T BX D 0.pCrn/r |
, Dˇ |
(1.1) |
|
D˛ D diag.˛1,:::,˛rCs/, |
Dˇ D diag.ˇrC1,:::,ˇn/ |
*Correspondence to: Wen Li, School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangzhou 510631, China.
dagger;E-mail: liwen@scnu.edu.cn
with
1 D ˛1 D D ˛r gt; ˛rC1 gt; gt; ˛rCs gt; ˛rCsC1 D D ˛n D 0, 0 D ˇ1 D D ˇr lt; ˇrC1 6 6 ˇrCs lt; ˇrCsC1 D D ˇn D 1, ˛j2 C ˇj2 D 1, 8j.
The generalized singular values of fA,Bg are f.˛i,ˇi/gniD1, and the column vector xi of the matrix X is a right generalized singular vector of fA,Bg associated with .˛i,ˇi/. The set of the generalized singular values of fA,Bg is denoted by .A,B/.
Remark 1.1
From Theorem 1.1, given that OElig;AT ,BT has rank n, we can write the right generalized singular vectors of fA, Bg as the eigenvectors for the pencil fAT A,AT A C BT Bg, where AT A C BT B is positive definite.
Let .˛,ˇ/ be a nonzero finite generalized singular value of fA,Bg with multiplicity r and 1 D ˛=ˇ. Then, from Theorem 1.1, it is easy to see that there exist two orthogonal matrices U D .U1,U2/,V D .V1,V2/ and a nonsingular matrix X D .X1,X2/ with U1 2 Rmr,V1 2 Rlr and X1 2 Rnr such that
1Ir 0 T Ir 0
U T AX D , V BX D , .1,1/ hellip; .dagger;a2,dagger;b2/. (1.2) 0 dagger;a2 0 dagger;b2
Then, by (1.2), we obtain
AX1 D 1U1, BX1 D V1, U1T U1 D V1T V1 D Ir. (1.3)
The matrix set fU1,V1,X1g satisfying (1.3) is called a generalized singular matrix set of fA,Bg associated with the generalized singular value .1,1/.
If B is the identity matrix, then the GSVD of fA,Bg reduces to the SVD of A. The set of the singular values of A is denoted by .A/. For sensitivity analysis of the SVD of A analytically dependent on several parameters, Sun obtained the following results (see, Theorem 2.1 in [4] and Theorem 2.2 in [5]).
Theorem 1.2
Let p D .p1,p2,:::,pN /T 2 RN , and let A.p/ 2 Rmn.m gt; n/ be a real analytic function of p in some neighbourhood R.0/ RN of the origin. Suppose that 1 gt; 0 is a singular value with multiplicity r gt; 1, that is, there are real orthogonal matrices U 2 Rmm and V 2 Rnn such that
U T A.0/V D dagger;,
|
where and |
U D .U1, U2/, V D .V1, V2/, U1 2 Rmr, V1 2 Rnr 1I.r/ 0 dagger;21 dagger; D , dagger;2 D , dagger;21 D diag.rC 剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料 数值线性代数及其应用 数值线性代数应用。2013年；20:138–149 2012年2月23日在威利在线图书馆（wiley online library.com）在线发布。doi:10.1002/nla.1829 广义奇异值分解的灵敏度分析 黎稳 华南师范大学数学学院，广州510631 总结 本文讨论了多个非零有限广义奇异值及其对应的实矩阵对的广义奇异矩阵集在多个参数作用下的灵敏度。从我们的结果中，得到了多个非零奇异值的偏导数及其左右奇异向量矩阵。版权所有copy;2012 John Wileyamp;Sons，Ltd. 2011年2月22日收到；2011年10月22日修订；2011年12月23日接受 关键词：广义奇异值分解；广义奇异值；敏感性分析 1．介绍在本文中，我们使用以下符号。表示实矩阵、和的集合。表示矩阵A的转置。符号是的单位矩阵。Agt;0表示A为对称正定矩阵，为正平方根。我们使用p()矩阵的光谱半径。是欧氏向量范数。 本征值问题、广义本征值问题、周期本征值问题和奇异值问题的灵敏度分析已得到很好的建立（如见[1-8]）。对于一对具有相同列数的矩阵，广义奇异值分解（gsvd）是奇异值分解（svd）的推广。对于GSVD问题，有大量关于微扰理论和算法的文献（例如，见[9–16]）。本文的目的是讨论由van Loan[16]和Paige and Sauders[12]引入的几个参数对实矩阵对的以下GSVD的敏感性，这些参数在分析上依赖于几个参数。 定理1.1设a和具有秩，然后，存在两个正交矩阵，和一个非奇异矩阵，这样 (1.1)
*通讯对象：中国华南师范大学数学科学学院文丽，广州510631。 gamma;邮箱：liwen@scnu.edu.cn 具有 1=， 0=， ，. {A,B}的广义奇异值是矩阵X的列向量是是{A,B}的一个右广义奇异向量与()有关，{A,B}的广义奇异值集合用 (A,B) 表示。 备注1.1根据定理1.1，假设的秩为n，我们可以写出{A,B}的右广义奇异向量作为铅笔脂肪a的特征向量，在，其中是正定的。 设为是非零有限广义奇异值，具有乘性r和。然后，从定理1.1可以很容易地看出，存在两个正交矩阵，和一个非奇异矩阵和，这样 (1.2) 然后，通过（1.2），我们得到 . (1.3) 满足（1.3）的矩阵集{,,}称为与广义奇异值相关的{A,B}的广义奇异矩阵集。 如果B是单位矩阵，则{A,B}的gsvd减为A的svd，a的奇异值集用表示。对于分析依赖于几个参数的SVD的灵敏度分析，Sun获得了以下结果（见[4]中的定理2.1和[5]中的定理2.2）。 定理1.2让，并让成为p在某个邻域的一个实解析函数，原点的。假设gt;0是一个重数rgt;1的奇异值，即存在实正交矩阵和，这样
1. 当r=1时，存在A(p)的奇异值，这是p在某些邻域中的一个实解析函数。 , (1.4) 可以定义（p）对应(p)的单位右奇异向量A(P)、单位左奇异向量 ,( 1,5) ,(1.6) 其中 ，， 2. 当rgt;1时，有些neigh中定义了非负函数 两个排列和（1,hellip;,r） ., (1.8) , (1.9).,在这个部分我们将定理1.2的结果推广到GSVD的结果。同时，我们还得到了多个奇异值的偏导数和一个解析依赖于多个参数的矩阵的左、右奇异向量矩阵。我们的结果扩展到（1.8）和（1.9）。论文的组织结构如下。第二节研究了非零有限广义奇异值及其相应广义奇异矩阵集的灵敏度。我们的技术不同于[5]中的技术。在第三节中，我们定义了多个非零有限广义奇异值的灵敏度，并给出了计算灵敏度的一些公式。讨论了敏感元素的测定。 2．导数的一些结果在本节中，我们给出了多个非零有限广义奇异值和相应的广义奇异矩阵集的灵敏度。下面的引理可以从太阳[2]定理2.1的证明中得到，它对证明我们的结果是有用的。 引理2.1设，并设，为p在某一邻域的对称矩阵和实解析函数，其中gt;0,.阵对{,}和 那么，和有两个排列{1,hellip;.,r} ,
其中s=1,hellip;,r,j=1,hellip;.,N. 应用隐函数定理，我们证明了以下结果。 定理2.1设p=.，.的实解析矩阵值函数，在某个邻域中具有整列秩为原点的。假设有两个实正交矩阵， .
2。存在实解析函数、和,其中，，在一些邻近地区， 因此{，，}、是与广义奇异值{A(p),B(p)}相关联的{的广义奇异矩阵集，也就是说，
此外，以下公式有效； (2.5) (2.6) (2.7)
令 （2.9）
其中,r和，。我们介绍以下矩阵值函数： F(Z,W,p)= Z W W G(Z,W,p)=, Z W W （2.10），
观察函数和是和的解析函数。 ，，i=1,hellip;.,n-r,j=1,hellip;,r 和
=, 其中表示Kronecker产品（例如，见[17]）。因此，根据隐函数定理（[18]，第277页），方程 =0.=0（2.11） 有一个独特的真正的分析解决方案Z=Z(p)，W=W(p)/的起源与R
观察到 , 前提是p 足够小。设和gt;0为的广义特征值。通过（2.13）和（2.14），很容易看出是的广义特征值。令 （2.15） 然后，我们有
从（2.9）和（2.13），我们得到 （2.16） （2.16）关于在p=0的第一偏导数可以以下形式书写： （2.17） 将（2.17）乘以左侧上的 （2.18） 其中由（2.4）定义。很容易看出，，s=1,hellip;,r是矩阵的特征值。根据引理2.1和（2.18），有两个列j和j如下：
（2.19）
我们得到
结合（2.19）和（2.20），我们得到（2.2）和（2.3）。 2。令 。（2.21）1 那么，（2.16）可以写成 （2.22）
推论2.1在与定理1.2相同的假设下，我们有以下几点： 1。在某些邻域中定义了非负函数，原点和的两个排列j和{1hellip;,r},这样 , 和
其中s=1,hellip;,r,j=1,hellip;,N 备注2.1当r=1，也就是说是A(0),（2.31）、（2.32）、（2.33）和（2.34）的简单非零奇异值，分别减为（1.4）、（1.5）和（1.6）。当rgt;1时，我们的结果（2.31）和（2.32）与（1.8）和（1.9）不同。下面的示例说明了这种情况。 例2.1令
然后有，A(0)=USigma;，其中 U=V=，Sigma;=diag（1，1） 因此，A(0)的奇异值为1，重数为2，A(p)的奇异值为
和
2 4 很容易看出以下事实：
和
显然, 三剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料 资料编号：[19388]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word |
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