标定和模拟Copula函数：在意大利股票市场中的应用外文翻译资料

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题 目 标定和模拟Copula函数：在意大利股票市场中的应用

标定和模拟Copula函数：在意大利股票市场中的应用

克洛迪奥·罗马诺

摘要

Copula函数经常被应用于金融问题中确定投资组合中资产收益的依赖结构。实证证明了多元正态分布有不足之处，通常采用多元正态分布来模拟资产收益率分布。Copula函数是一种灵活的工具，用于构建有效的算法，以便更好地模拟这种分布。

本文的目的是描述用于标定Copula函数与实际市场数据的统计过程。然后，给出了选择哪一个Copula函数更适合数据的方法。最后，给出了几种不同类型Copula函数中模拟随机变量的算法。

所述方法适用于意大利股票组合。本文演示了了如何使用Copula不同的函数在双变量情况下建立有关对数收益率的有效蒙特卡罗方法。

关键词：Copula函数 依赖结构 多元分布函数

引言

自1999年起，Copula函数就被运用到了金融领域。实证结果表明多元正态分布无法从以下两个角度对组合资产收益率的分布进行建模：

1）经验边缘分布呈偏态且重尾分布；

2）它没有考虑资产收益极端联合变动的可能性。换句话说，依赖结构不同于高斯结构。

Copula函数是一个非常实用的工具，运用有效的算法，以更为实际的方法模拟资产收益回报分布。事实上，这种函数可以独立于边缘分布，对依赖结构进行建模。通过这种方法，可以构造一个具有不同边界的多元分布，并由Copula函数给出依赖结构。

因此，从实际数据中选择和标定Copula函数是关键的一步。本文提出了一套标定、选择和模拟Copula函数的方法。本文的目的是要在所收集参考文献中引用的国际文献对这一论点的主要贡献。

在两支意大利股票的对数收益经验数据集上应用了文中所述的大部分方法。在有可能的情况下，我们证实在真实数据建模时，Copula方法比多元正态分布表现得更好。

本文其余部分结构如下：第一节，给出了Coupla函数的简单定义，描述了实际应用中的copula主要族群；第二节，提出了用实际数据估计既定Copula函数参数的几种方法；第三节，描述了选择更适于经验数据的Copula类型的过程。第四节，介绍了几种不同类型的Copula的随机变量的模拟算法。第五节，应用于两支意大利股票对数收益时间序是否奏效。最后，发表本文结束语。

1. Copula函数定义

用C表示一个N维的Copula多元分布函数，均匀分布函数的边缘分布用[0,1](U(0,1))表示，且有以下定义：

1.;

2.C具有零基面且是n维递增的；

3.C的边缘分布对所有的，都满足。

很显然，根据以上定义，如果是单变量分布函数，那么就是多元分布函数，边缘函数为，，是一个均匀随机变量。Copula函数是构建和模拟多元分布的一个实用工具。

下面的定理被称为Sklar定理，因为它曾运用于很多实践应用中，所以是关于Copula函数的最重要的定理。

定理：设是一个有连续边缘分布函数的维函数，Copula函数唯一且表示为：

（1）

从Sklar定理我们可以看出，对于连续多元分布函数，单变量边缘分布和多元依赖结构可以分离，依赖结构可以用一个合适的Copula函数表示。此外，从（1）中我们可以得出如下推论。

推论：设为连续边缘分布是的维函数，有一Copula函数（满足条件（1）），对任意一个在内的，有如下表达式：

其中，是的广义反函数。

举个简单例子，独立随机变量的Copula函数（乘积Copula函数）的公式为：

再举一个例子，在二元情况下，Farlie-Gumbel-Morgenstern（FGM）Copula函数的表达式为：

• 1. 椭圆Copula函数

椭圆Copula函数提供了不少多元分布的实用例子，因为它们具有多元正态分布的许多易于处理的性质。此外，它们允许对多元极端事件和非正常依赖关系的形式进行建模。简单来说，椭圆Copula函数就是椭圆分布的Copula函数。用椭圆Copula函数进行模拟，简单易操作。因此，作为Sklar的一个推论，模拟椭圆Copula函数也很简单。

• • 1. 正态Copula函数

高斯（或正态）copula函数是一个多元正态分布copula函数。实际上，随机向量呈多元正态分布，如果：

1. 单变量边缘分布是高斯函数；
2. 边缘分布中的依赖结构用唯一的Copula函数（正态Copula函数）表示为：

（3）

其中，表示线性相关矩阵的标准多元正态分布函数，表示标准单变量高斯分布函数的反函数。

如果n=2,公式（3）可改写为：

简单来说，R₁₂是两个随机变量之间的线性相关系数。

1.1.2 T-学生Copula函数

多元t-学生分布copula函数简称t-学生Copula函数。设X为一个服从t-学生分布的n维变量组成的向量。随机程度为，平均向量为（）和协方差矩阵为（）。它可表示为如下公式：

（4）

其中，，和随机向量互不依赖。

向量的copula函数是指t-学生copula函数，随机程度为，它可以如下表示：

（5）

其中，，表示的是随机向量的多元分布函数，其中随机变量S~和随机向量互不依赖。表示的边缘。

当时，t-学生copula函数解析式如下：

其中是二元t-学生分布的线性相关系数，是随机程度，。

• 1. 阿基米德copula函数

阿基米德copula函数可用以下形式表示：

（6）

其中，是一个常被称为生成元，满足：

(i) ;

(ii) 当所有，下降；

(iii)当所有，上升。

双变量阿基米德copula函数举例如下：

乘积copula函数：

Clayton Copula函数：

Gumbel Copula函数：

Frank Copula函数：

对多元情况的拓展表达式如下：

Cook-Johnson copula函数：

Gumbel-Hougaard copula函数：

Frank copula函数：

1. 既定copula函数参数估计
   1. 最大似然法

设f为联合分布F的密度函数，其表达式为：

其中表示边缘分布的单变量密度，表示copula函数密度，用以下公式表示：

假设有一组n个金融资产对数收益率的T-经验数据，。设为需要估计的参数向量，其中为边缘分布的参数变量，为copula函数参数的变量。对数似然函数如下：

（7）

参数向量的最大似然法估计值是（7）的最大值，即：

• 1. 边缘分布的推理函数法（IFM）

根据IFM法，边缘分布参数独立于copula函数参数进行单独估计。换句话说，估计过程分为以下两步：

1. 运用极大似然法估计边缘分布的参数，估计值为：

其中，表示边缘分布的对数似然函数。

1. 根据步骤（1）的估计值，估计Copula函数参数：

其中，表示Copula函数的对数似然函数。

• 1. 典型极大似然法（CML）

典型极大似然法不同于边缘分布推理函数法，它没有对边缘分布的参数形式做任何假设。估计过程分为两步：
（i）运用经验分布将数据组，，转换为统一变量；

（ii）根据下面的公式估计Copula函数参数：

例如，可以按用以下方式用CML法和IFM法估计高斯Copula函数（3）的参数：

其中。若选用CML法，则；若选用IFM法，则，。

应用如下递归过程估计-学生Copula函数（5）的参数：

1. 设为高斯Copula函数的参数估计值；
3. 重复步骤（ii）直到。故用CML法和IFM法估计的-学生Copula函数参数的估计值为：

而马歇尔和泽维（2002）建议使用以下算法估计-学生Copula函数的参数和R：

1. 根据经验边缘分布，将数据组,转换为统一变量；
2. 用Kendallrsquo;s非参数估计值估计：

1. 对进行数值搜索，即。

其中有：

以及。

• 1. 参数估计和相依测度

该方法仅适用于单参数双变量Copula函数。主要相依测度可用一个copula函数表示。在某些情况下，解析解决法是可行的，并且Copula函数参数可以简单写成相依测度的函数。否则，需要进行数值计算。

例如，对于高斯Copula函数，可以得出：

和

对Clyaton Copula函数：

对Gumbel Copula函数：

对Morgenstem Copula函数：和

• 1. 非参数估计

到目前为止，既定类型的Copula函数的参数估计已做好准备工作，现在经验Copula函数（或Deheuvels Copula函数）是根据样本数据确立的，它是一个基于经验多元分布的任意Copula函数。

设为次序统计，为等级统计，是数据组，可以得出

。

对任意一个函数：

（8）

定义在点阵中，都是经验函数。

经验函数的密度表达式如下：

3.选择正确的Copula函数

在第2节中，给出了对既定Copula函数解析式中参数进行标定的几种方法，接下来的问题是选择更符合经验数据的Copula函数类型。

3.1 选择阿基米德Copula函数

本节描述的方法可以选择更符合实际数据的阿基米德copula函数。阿基米德copula函数的解析表达式如等式（6）所示。因此，为了选择copula函数，选择一个生成元就够了。

在双变量情况下(n=2)， 格内斯特和里维斯特定义了一个单变量函数K, K与阿基米德copula函数的生成器相关，表达式如下:

（9）

式（9）的非参数估计如下：

（10）

其中。

这里为生成元选择一个参数进行表达，然后对所选的阿基米德copula函数的参数进行估计，例如，选择Kendallrsquo;s进行估计：

当然，也可以选用IFM法或CML法估计参数，有了，很容易就能得出式（9）的参数估计。

对于不同的生成元，重复上述全部步骤。为了选择更符合数据组的阿基米德copula函数，弗雷斯和瓦尔迪兹（1998）提议使用等式（9）和（10）之间的QQ图。

也可以根据等式（9）和（10）之间范数最小化距离来选择最优的Copula函数：

本节描述的方法也还可以用来对既定阿基米德copula函数参数进行图像化估计。

3.2 用经验Copula函数选择正确的Copula函数

设为可用copula函数集，根据等式（8）中定义的同一与经验copula函数之间的离散范数，选择可以使以下距离最小化的copula 函数，距离表达式为：

（11）

距离等式（11）也可以用以下

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