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多材料系统受迫频率响应分析

摘要

当用有限元模型来计算频率响应时，结构阻尼的大小对计算的谐振响应有很大的影响。为了正确理解系统的NVH特性以及获得模态试验和分析数据的精确相关性，有必要对阻尼效应尽可能精确地进行模拟。当系统包含不止一种的材料时，这就尤为重要，因为不同的材料有不同的阻尼特性。 MSC NASTRAN是市售建模工具，它可以提供两种分析方法用来计算结构的频率响应。一种是直接频率响应分析，另一种是模态频率响应分析。这两种方法处理阻尼的方式不同。

本文评定多材料系统在MSC NASTRAN两种可用的解决方案-直接频率响应分析和模态频率响应分析的优越性和局限性。特定的例子将被列举出，用来说明材料相关损耗因子在这样系统中的频率响应分析的使用。可以得出结论，多只有直接频率响应分析方法才能对多材料系统材料阻尼的影响进行正确的模拟。此外，当使用CAE分析工具去决定新设计的方向或比较A、B两种设计方案时，模型建立的准确性也是很重要的。在研究时，研究人员使用不准确的模型将会得出错误的结论。

关键词：数学模型，有限元分析，噪声

1 引言

在包括汽车的所有消费品中，NVH是一个重要的评价指标。与此同时，汽车制造商和供应商为了在全球范围内始终保持竞争力，都在不断努力去缩短产品开发周期，降低成本。在产品开发过程中，预先使用CAE工具提高NVH特性可以降低所需原型的数量，进而降低开发成本。

在NVH的分析过程中，频率响应分析通常被用来理解系统承受受迫振动激励系统的动态响应。在频率响应分析中，激励在频域中被明确定义。有两种类型的频率响应的分析方法：直接法和模态法。那些现实生活复杂的结构，有限元分析工具通常在频域内进行动态分析。MSC NASTRAN是一款可在市场上获得的计算机辅助工程（CAE）分析工具，其SOL108是针对直接频率响应分析，SOL111是针对模态频响分析^[1-2]。

在频率响应分析中，计算出的共振响应与阻尼值相关，因为动态放大系数反比于阻尼值。因此为了正确地理解系统的传递率（一个NVH特性），以及获得模态试验和分析数据精确的相关性，有必要将阻尼的影响尽可能准确地模拟。当系统包含不止一种的材料时，这尤为重要。在这种情况下，对系统承受激励的动态特性精确预测时，每个材料的阻尼特性应当被考虑。

为了模拟多材料系统的阻尼作用，目前的工作重点是理解在MSC NASTRAN软件中关于直接频响分析和模态频响分析解决方案的优越性和局限性。在公开发表的文献中可以发现有一些工作是用MSC NASTRAN来模拟阻尼作用。然而他们大都强调背后实际应用的作用理论，尤其在多材料系统中。在下面的段落中，首先，回顾MSC NASTRAN中模态和直接频响分析的分析方案中阻尼效应的模拟过程。然后，具体的例子将被用来介绍在多材料系统的频响分析中，材料相关损失因子的应用。此外当使用计算机辅助工程工具去获得新的设计方向或进行A、B两方案的对比时，需要强调阻尼效应的准确建模的重要性，否则会得出完全错误的结论，当然也会存在无意中舍弃可行的设计方案可能性。

2 频率响应分析

对于频域中有限元离散系统，其运动的动态方程的一般形式由下式给出

（1）

式中，表示质量矩阵，表示阻尼矩阵，表示N个自由度系统的刚度矩阵。在直接频响分析中，表达式（1）以耦合的多自由度系统直接求解。然而在模态频响分析中，表达式（1）被转换为模态坐标，并以非耦合单自由度方程求解，表达式如下。

（2）

表示模态质量，表示模态阻尼，表示转化了的单自由度模态刚度。

在大多数情况下，模态频率响应比直接频率响应更快获得，然而具体的解决方案的选择需要根据（i）系统模型的大小（例如，有限元结构模型自由度的数量）、（ii）计算响应处激励频率的数量和（iii）系统呈现的阻尼类型决定。MSC NASTRAN推荐对有许多激励频率和体积大的模型使用模态频率响应分析，反之则是使用直接频率响应分析^[1]。但是如果系统中材料阻尼主导地位，特别是对于多材料系统，那么CAE工程师可能没有其他选择，只能使用直接频率响应分析方法。

2.1 模态频率响应分析

由于方程（式（2））的固有非耦合系统，模态频率响应分析方法仅可用于系统中没有阻尼或只存在模态阻尼的情况。模态阻尼的物理意义现在还不是很清楚，其效果是粘性阻尼，但其与刚度矩阵成比例变化，并随自然频率而变化。模态阻尼的影响被分配给整个结构，其取决于每种模态^[2]的能量分布。

在MSC NASTRAN的模态频响分析中，模态阻尼被定义为损耗因子（结构阻尼因子），或者是被定义为临界阻尼的一部分，或者是放大质量因子Q。由于材料存在内摩擦，损耗因子是用于量化滞后阻尼水平的材料属性。它也被定义为系统耗散的能量与系统存储能量的比率。在共振时，这些阻尼因子和下式相关：

（3）

方程（3）在低阻尼时比高阻尼时更精确。

对低阻尼结构，临界模态阻尼比通常通过模态测试进行预估。模态测试在模态频率的半功率带宽上进行。这意味着，CAE工程师在分析模型中解释阻尼效应之前，整个组件或系统需要进行制造，组装和测试。一旦从阻尼校正分析模型得到的频率响应函数（FRF）已经被证明与测试数据相联系的，不论在幅值、相位，还是在频谱上，以后对系统的几何模型、材料修改的影响都能够被分析出得到系统的设计方向。

模态阻尼的主要缺点是，它反应的阻尼的影响是整个结构中每阶模态都参与的效果。因此，只要几何形状和/或材料性质（包括材料阻尼因子）的修改很小，并且系统模态和模态振型的变化都相对较小，模态阻尼的模态频率响应分析进行不同设计的比较具有很好的置信度。否则会从A、B方案的对比中得出完全错误的结论，或者会无意中舍弃可行方案。

2.2 直接频率响应分析

在直接频率响应分析法中，需要模拟结构阻尼。结构阻尼解释了线性材料的能量损失，如由于滞后效应，其正比于应变。在MSC NASTRAN直接频率响应分析中结构阻尼通过设置PARAM G卡片来定义整体（全局）损耗因子，也通过设置MATi或（和）CELASi卡片来定义每个材料相关损失因子GE。在直接频率响应分析中，这些阻尼（损耗）因子形成了一个复杂的刚度矩阵（参考^[1-2]），如下所示。

（4）

式中，表示整体刚度矩阵，表示全局损耗因子，表示单个材料的损耗因子，表示有材料损失相关因子的单元刚度矩阵。这里强调一下，当和时方程（4）会与当时有相同复杂的刚度矩阵。这就意味着在直接频率响应分析中，无论是通过PARAM G来设置整体常量损失因子，还是通过MATi或CELASi卡片中的GE目录设置个体损失因子，MSC NASTRAN都应当提供相同的解决方案。上述说法已经通过了分析各种类型的有限元（实体、壳、梁、弹簧，集中质量、刚体等）的复杂的系统级模型来验证。事实上，在证明的过程中设置CELASi卡片中的GE目录的重要性也逐渐显现出来。为了从两个等价的方法获得相同的结果，像上面描述在MSC NASTRAN中的直接频率响应分析模拟结构阻尼一样，所有CELASi卡片中的GE目录不能忽略，并且必须具有适当的非零阻尼值。

像对给定模态的模态阻尼，全局损耗因子是表示整个结构的结构阻尼的平均量。通常，其值是从共振时临界模态阻尼比估计（参考等式（3））。因此，共振时采用来估计阻尼比，模态和直接频率响应分析方法本质上提供相同的响应。另一方面，材料损失相关因子如弹性模量，是材料的基本特性，并且能够使用标准的ASTM方法估计^[6]。因此，一个CAE工程师可以在第一次分析中解释材料相关的阻尼效应。

当然，有人认为也有一些来自其它地方的阻尼效应需要被考虑，例如结合面和焊接点等处的摩擦阻尼效应。事实上，在许多情况下，这些“与材料无关的” 因素的阻尼效应可能是比“纯材料”阻尼效应更大。（或许在这里提出“MSC NASTRAN中阻尼是累加的”不是很恰当）。然而，从所有其它“与材料无关的” 阻尼效应分离出“纯材料特性”相关的阻尼效应或许在理解方面和系统阻尼分析模型的建立上是一个不小的挑战。在任何情况下，在没有对第一次的产品设计进行任何模态的测试数据时，与材料阻尼相关的直接频率响应分析将比用模态阻尼的模态频率响应分析更具有代表性。在分析多材料系统时，这是更加显得重要。只有在直接频率响应分析方法中，多材料系统材料阻尼的效果能够正确地模拟。在这篇文章的后面部分，数值分析的实例证实这些说法。

在一般情况下，材料的损耗因子依赖于材料的频率，温度和密度。在MSC NASTRAN中直接频率响应分析方法允许人们使用与频率和温度相关的材料损耗因子^[2]。此外，从阻尼器和衬套元件粘性阻尼也通过粘性阻尼矩阵在这两种类型的频率响应分析中做出了解释。

3 数值分析实例

3.1 多层悬臂板

第一个数值分析的实例是考虑一个三层的悬臂板（长宽比为4），如图1所示。各层要考虑的材料特性在表1中给出。对三种材料进行排列组合，总共六个设计例制定，这些将在表2中给出。例如，如果材料1，材料2和材料3像图1那样放置，那么实例C321就获得了。

使用MSC NASTRAN SOL103进行悬臂板的特征值分析^[1]，六个实例中前六阶模态列于表2中。实例C321，C312和C231的模态相对来说和C123，C213和C132相同（参考图1和表2这里所用的命名），这是由于钢和铝具有相同的比刚度（E /rho;比）。由于实例的问题是施加一个动态前端负荷主要使板产生弯曲，对于每个设计前两阶模态在表2中强调。

图1 三层悬臂板的侧视图（L / W= 4）。

表1 在悬臂板实例中使用的材料特性

表2 案例名称和悬臂板的模式。

接着，模态频率响应方法被用来分析所有的六个案例并且获得在顶端板的中心处（参照图1）承受强迫振荡激励负载的位移和加速度频率响应函数（FRFs）。假设全局的模态损耗因子为0.06（即3％的临界模态阻尼因子，这里强调一下eta;asymp;2zeta;）。在通过板厚度的三个中心点N1，N2和N3（在图1中提到）的响应在频域中获得的。一个典型的中心点位移频响函数在图2显示出。为了清楚起见，位移与频率响应曲线被进一步分成两个图表；图3显示了频率范围0-300Hz的位移频响函数，图4显示了频率范围300-1000Hz的位移频响函数。图5显示了在板的中心的加速度的频响函数。

图2 采用模态频率响应函数法的位移响应

图3 采用模态频率响应函数法在0-300Hz间的位移响应

图4 采用模态频率响应函数法在300-1000 Hz间的位移响应

图5 采用模态频率响应函数法的加速响应

基于从三层

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