基于有限元法的转子轴承系统中具有裂纹功能梯度轴的旋转频率和临界转速的分析外文翻译资料

基于有限元法的转子轴承系统中具有裂纹功能梯度轴的旋转频率和临界转速的分析

Debabrata Gayen, D. Chakraborty*, Rajiv Tiwari

摘要

通过有限元法（FE）对具有横向裂纹的功能梯度（FG）的轴进行动态分析。Timoshenko梁单元具有两个节点，每个节点具有四个自由度（DOF），其中考虑了平移和旋转惯性，横向剪切力和陀螺仪矩的影响。功能梯度轴的局部弹性系数（LFC）通过使用Castigliano定理和用来确定裂缝尺寸，功率律梯度指数（k）和温度的函数，并用于计算刚度矩阵有限元分析的巴黎方程来分析。 功能梯度轴的温度依赖属性被认为是沿幂律渐变的径向分级的热弹性材料。使用这种方法，功能梯度轴考虑了其是由氧化锆（ZrO 2）和不锈钢（SS）组成的，并且确定前进和后退的旋转频率和临界速度，并且研究了裂纹尺寸，功率律梯度指数，细长比和温度梯度对功能梯度轴的转子轴承系统动态特性的影响。结果表明，功率律梯度指数对于裂纹和未裂纹的功能梯度轴的旋转频率和临界转速有显著的影响，从而可以在设计功能梯度轴时进行明智地选择。

1介绍

功能梯度材料已经被认为是一种重要的不均匀材料，特别是在诸如直升机驱动轴，汽车和喷气发动机，核反应器，生物医学和其他军事和空间的高温环境中，具有潜在应用价值。由尼尼诺（M. Niino）于1984年提出了功能梯度M的概念并研究了这一信息。 Suresh和Mortensen（1998）已经研究了功能梯度M的基本原理，制造工艺，设计和当前的应用。由于它们比叠层复合材料的固有优点，例如降低热弹性性能失配和层间应力降低，因此功能梯度轴可以替代旋转机械部件中均匀和传统的复合轴，特别是应用在在高温环境。在其他文章中已经有一些结构方面的知识被广泛分析。Reddy和Chin（1998）提出了使用功率梯度的有限元法对功能梯度板和气缸的热机械响应的动态分析。 Eraslan和Akis（2006）使用材料层次的指数和抛物线法，分析地推导出功能梯度平面应力和平坦应变条件下功能梯度旋转实心轴和固体圆盘的闭合形式解。 Argeso和Eraslan（2007）提出了一种用功能梯度M旋转轴进行弹塑性分析的方法。 Gayen和Roy（2014）研究了使用Timoshenko光束理论（TBT）的功能梯度旋转轴系统的振动和稳定性分析，并且他们重新指出，功率律梯度指数的小值导致更好的响应，例如减少旋转频率，阻尼比增加，稳定极限速度增加。

从设计的角度来看，转子轴承系统的动态特性在不同领域的广泛应用非常重要，如发电站，船舶动力，机床，汽车行业和飞机发动机。过去几十年来，有大量关于转子动力学领域的研究。历史上，Ruhl（1970），Ruhl和Booker（1972）首先利用涡轮转子系统的有限元分析来了解稳定性和不平衡响应。Nelson和McVaugh（1976）通过开发一种有限元法瑞利射束模型来推广Ruhl的工作，并考虑了旋转惯性，轴向载荷和陀螺力矩的影响来建立一个易于转动的转子轴承系统。 Zorzi和Nelson（1977）在其有限元法模型中包括了粘性和滞后阻尼。 Nelson（1980）利用TBT推导了形状函数和控制方程的有限元矩阵.Ozkan（1984）研究了剪切变形和内部阻尼的综合影响，分析了转子轴承的自然旋转频率和不平衡响应系统。 Ku（1998）在其模型中纳入了粘性和滞后阻尼，以研究动态特性，以及横向剪切变形和内部阻尼对旋转频率和稳定性的综合影响。

结构构件（梁，板和轴）中的裂纹的存在影响其刚度和阻尼性能，并因此影响其动态特性。因此，研究影响转子轴承系统性能的裂纹是非常重要的。从维护结构安全性和完整性的观点来看，近四十年来，对梁，板，轴等破裂构造和机械设备进行了广泛的研究。 Papadopoulos和Dimarogonas（1987）和Papadopoulos（2004）研究了裂纹均质结构（梁和轴）的局部弹性矩阵的发展。 Sekhar和Prabhu（1992）研究了结构构件裂纹的识别，检测和振动分析。 Mayes和Davies（1976）提出了一种通过使用余弦函数来考虑裂缝开启和关闭的模型，以研究旋转过程中的呼吸效应。 Sinou和Lees（2005）用截头傅里叶级数模拟了呼吸裂纹，并研究了横向裂纹对旋转轴的动态响应的影响。 Heydari等（2015）使用TBT进行垂直边缘裂纹的横梁振动，并报告了固有频率下裂纹参数的影响。基于转移矩阵法，Wei et al。 （2012）研究了在厚度方向的材料特性的经验层次之后裂纹功能梯度梁的自由振动的分析解，并报告了裂纹参数和其他参数对频率和模式形状的影响。 Aydin（2013）研究了功能梯度梁的固有频率的裂纹尺寸，裂纹位置，材料等级和边界条件的影响。

文献综述显示，功能梯度M结构领域的分析已有大量报道，功能梯度轴系统的研究工作很少。然而，在转子轴承系统分析中，分析裂纹功能梯度轴系统几乎没有任何工作开展，因此由均质材料制成的裂纹轴系统的分析也是重要的领域。因此，本工作的目的是开发一种用于分析转子轴承系统中裂纹功能梯度轴的有限元分析，以研究幂律梯度指数，细长比，裂纹尺寸和温度梯度的影响了解层次参数在实现所需动态行为方面的潜在用途。

功能梯度M轴的材料属性

认为功能梯度轴中的材料特性C被认为沿着径向方向分级，并且随着功率律梯度的随温度而变化。

其中C（y，T）表示性质，杨氏模量E（以Pa计），泊松比，热导率K（W / m K）和质量密度r（Kg / m3）R（下标o和i表示外部和内部），y分别是轴的半径和径向坐标。 幂律梯度指数（k）可以取0〜infin;之间的任何值，k = 0和k=infin;分别对应于完全均匀的外部和内部材料的两个极限。 此外，材料性质C（T）的温度依赖性被认为是（Touloukian，1967）

其中C0，C1，C1，C2和C3是温度系数，每种构成材料都是独特的，T是以开尔文为单位的温度。

考虑到To和Ti分别作为外表面和内表面的温度，通过求解一维稳态傅立叶热传导方程得到温度分布如下

其中T = Ti aty = Ri和T = To在y = Ro。 方程的解通过多项式序列得到

这些渐变性质被用于开发用于裂纹功能梯度轴的有限元模拟，这在下一节中描述。

3具有横向裂纹功能梯度轴的有限元法公式

Timoshenko梁元件有两个标记点，在每个节点处具有四个DOF。每个标记点已经考虑了用于纺丝功能梯度轴的有限元法建模。这类建模考虑了表面上的完全开放和横向裂纹，并研究了无阻尼的横向振动，而且假定了简单支持的最终条件。图1（a）分别示出了具有简单支撑端的裂纹轴的有限元法离散度，其中L和Le分别是轴的总长度和元件长度，a是位于距离轴的左端的距离Lc处的横向表面裂纹的深度。图1（b）表示径向的连续灰度。图1（c）表示经受剪切力P2，P3，P8和P9的轴元件，以及以恒定速度U转动的弯矩P4，P5，P10和P11。在本公式中，不考虑轴向力P1和P7以及扭转力P6和P12。这里，v和w是沿着Y和Z方向的平移位移（弯曲和剪切变形），b和G是从轴的横截面的左端起的距离s处的Y和Z的旋转位移。图1（d）表示具有裂纹深度a和裂纹半宽度b的开口裂纹的直径D（frac14;2R，R是轴的半径）的轴的圆形截面。

裂纹轴的局部弹性系数结合应力强度因子（SIF）的表达式，使用Castigliano的orem和巴黎方程（Tada等，1973）得出。附加应变能U和裂纹的附加位移表示如下

。

其中J（y）是应力能量密度函数，其取决于裂纹几何，施加的载荷和温度依赖的材料性质，它们分别负责三种压裂模式（即开放，剪切和撕裂） ，对于模式I，II和III）。

最后，裂纹功能梯度轴的局部弹性系数计算如下（参见图1）

其中，和弹性模量，是平面应力，是平面变形。是泊松比。KI，KII和KIII分别是模式I，II和III的应力强度。 可以注意到，在本公式中，两个点状元件在每个节点处具有四个DOF，其由2（v），3（w），4（用于旋转轴Y）和5（用于旋转轴Z）表示，而另外两个DOF 即， 1（轴向）和6（扭转）未考虑，因此，i=2,3,4,5是等式中使用的负载指数。

在这里，考虑到E（y，T）和n（y，T）作为径向方向和温度的函数，计算裂纹功能梯度轴的局部弹性系数，与均匀轴不同，这些轴被认为是常数,并可以在等式 （6）被采用。 使用方程 （6），局部弹性系数常被用来计算完全开裂的情况。 局部弹性矩阵Cuc（y，T）和Cc（y，T）分别对应于未完全开裂裂纹和完全开裂的裂纹，并且应用如下方法：

其中I是裂纹轴横截面的面积惯性矩。 Cc（y，T）元素的表达式和Cuc（y，T）的详细推导在附录A中提供。

从方程式的未破裂裂纹和破裂裂纹结果（7）和式 （8）的一致性 中，使用虚拟工作原理计算相应的未破裂和破裂裂纹的刚度矩阵Kuc和Kc

转矩矩阵P从轴元件的力和力矩平衡条件（图1（c））获得

其中

在轴的旋转期间，刚度随着时间或旋转角度q（qfrac14;Ut，其中U和t分别是旋转速度和时间）而变化，并且通过余弦系列函数数学表示变化（Mayes和Davies，1976 ; Sinou and Lees，2005）

其中f（t）= 0，裂纹完全闭合，裂纹转子刚度被认为是无裂纹转子的刚度，f（t）= 1，裂纹全开，在0 lt;f（t）lt;1， 裂纹在0到360度之间的任何位置。

轴的完整刚度矩阵通过组装轴的所有元素（裂纹和未裂纹）的刚度矩阵获得，并用于完整有限元方程。

3.1 运动方程式

按照尼尔森（1980）和库（1998）的研究，考虑固定坐标中的表面裂纹的转子承载系统的运动方程可以被完整的表达

其中М是包括轴的旋转和平移质量的全局质量矩阵，G是全局陀螺矩阵，K是包括裂纹轴的刚度和转子轴承系统的轴承的刚度的全局刚度矩阵， p（t）是全局节点位移矢量，f（t）是全局外力矢量。 在目前的工作中，各向同性轴承已经被考虑了。 上面方程在附录B和附录C有详细体现。即使开发的有限元模型可以计算符合旋转的裂纹的变化，在本例中，由于裂纹旋转的刚度变化尚未考虑，因为 在完全开启状态下，刚度退化最大。 因此，在这里研究的情况下，裂纹被认为是完全开放的，即在180度。

3.2 解决过程

方程13特征值问题的解由等式（1）以第一阶状态向量形式表达。

这里

方程14的解的形式为

其中是复特征值，x和u分别是阻尼常数和自然旋转频率。 在轴上存在横向裂纹，影响轴的刚度。 通过解决在裂纹全开的时候的方程式中系统的特征值问题，获得了自然的旋转频率。

4 计算结果分析

基于前面讨论的方法，使用已经开发的MATLAB开发的有限元法程序，该程序考虑到了开放的横向裂纹对旋转功能梯度轴的影响，能够对转子轴承系统进行振动分析。 在本研究中，对于转子，考虑了不锈钢（SS）和氧化锆（ZrO2）的金属陶瓷功能梯度，其中假定功率律级别，并且假设SS含量降低到外径。 表1显示了这种功能梯度M的温度依赖材料性质。 转子轴承系统使用19（19）个元件进行建模，如图1所示。 1（a）。 不同的轴直径和长度被认为是改变轴的平均比（SR）。 在使用有限元法程序分析裂纹功能梯度转子的振动特性之前，应进行彻底的验证以确定其精度。

4.1 检验

开发的程序通过三个步骤进行验证。 第一步，将使用程序获得的非旋转均质轴的固有频率已经与现有的分析和有限元解决方案进行了比较，以确保刚度和质量矩阵的正确性。 在第二步中，将现有程序获得的旋转轴（无裂纹）的固有频率与已发表结果的固有频率进行比较，以确保对惯性矩阵和陀螺仪矩阵的正确评估。 在最后一步中，将现有的有限元法程序获得的作为裂纹尺寸a / R的函数的固有频率与公开文献中可用的固有频率进行比较，以确保开放横向裂纹的正确方法。

4.1.1 均匀的非旋转简单支撑轴

无量纲的自然频率为不同的SR（=R/ 2L，R和L是轴的半径和长度）由SS制成的均匀的简单支撑的非旋转圆形横截面轴（表1中的属性）获得。 将这些结果与Nelson（1980），Ku（1998）和Dym and Shames（1973）在表2中已经公布的结果进行比较，并与现有解决方案保持一致。

4.1.2 转子轴承系统的旋转频率

转子轴承系统由转子，两个盘和轴承如图1所示，用于验证从现行程序获得的旋转频率。 转子和圆盘由钢制成，E=211 GN / m2，G = 81.2 GN / m2，r = 7810 kg / m3。 轴承被认为是各向同性的，两个方向的刚度为1 MN / m。 对于这种布置，将已经计算出固有频率并且与Friswell等人的有限元法解相比较。 如表3所示，表3中的结果表现出良好的一致性。 图3显示了相应的坎贝尔图，其中后退旋转（BW）和前进旋转（FW）随着旋转速度而减小。

4.1.3 简单支撑轴的自然频率

裂纹和未破裂的固有频率的比例为a。对于位于中心的裂纹，已经获得了a / R和L / D的函数，并将其与已经公布的Sekhar和Prabhu（1992）的结果进行比较，如表4所示。从表4可以看出 有一个良好的结果。

4.2 完全开裂裂纹的功能梯度轴分析

在验证方法和开发的有限元法程序后，该程序已被用于分析具有完全开放的横向裂纹的 功能梯度轴。考虑轴直径D= 0.1m，考虑的材料性能如表1所示。对于不同的k值

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