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多自由度系统：控制方程，自然频率和模态形状
7.1引言
7.2控制方程
7.2.1力平衡和矩平衡的方法
7.2.2线性多自由度系统方程的一般形式
7.2.3拉格朗日运动方程
7.3自由响应特性
7.3.1无阻尼系统：自然频率和模态
7.3.2无阻尼系统：模态的性质
7.3.3阻尼系统的特性
7.3.4能源节约
7.4柔性支撑的旋转轴
7.5稳定性
7.6总结练习
7.1引言
在第4章到第6章，研究了这些系统的单自由度系统和振动反应。本章和下一节将研究具有多个自由度的系统及其响应。需要由多个独立坐标描述的系统具有多个自由度。自由度的数量由存在于系统中的惯性元件确定。例如，在具有两个自由度的系统中，可以存在一个惯性元件，其运动由两个独立坐标描述，或者两个惯性元件的运动由两个独立坐标描述。一般来说，系统的自由度的数量不仅由系统中存在的惯性元件确定，而且还由施加在系统上的约束决定。振动系统的运动的控制方程通过使用力平衡和力矩平衡方法或拉格朗日方程来确定。在本章中，这两种方法都将用于开发系统方程。此外，粘性阻尼模型将用于模拟系统中的耗散。
在制定运动的控制方程之后，长度检查多自由度系统的固有频率和模态形状的确定。强制振荡在下一章中考虑。为了描述单自由度系统的响应，只需要时间信息。除了时间信息之外，还需要用于描述具有多于一个自由度的系统的响应的空间信息。该空间信息用从自由振动解确定的模态形状表示。每个模式形状与系统的固有频率相关联。该形状提供关于惯性元件在所选择的广义坐标方面的相对空间位置的信息。本章详细讨论了模态形状和固有频率的确定。如下一章所示，从自由振动问题获得的空间信息还可以为确定具有多个自由度的系统的强制响应提供基础。还显示模态形状的性质可用于在等效单个自由度自由度系统的响应方面构造多自由度系统的响应。这允许使用前面章节中给出的材料来确定具有多个自由度的系统的响应。
第4章对单自由度系统引入的稳定性概念在本章中扩展到多自由度系统。
在本章中，我们将：
bull;通过使用力平衡和力矩平衡方法来推导具有多自由度的系统的控制方程。
bull;通过使用拉格朗日方程来推导具有多自由度的系统的控制方程。
bull;获得与具有多个自由度的系统的振动相关的固有频率和模态形状。
bull;获取模态形状正交的条件。
bull;解释阻尼系统的特性。
bull;确定旋转轴的振动特性。
bull;检查多自由度系统的稳定性。
7.2控制方程
在本节中，提出了两种方法来确定运动的控制方程。 第一种方法基于力平衡和力矩平衡方法，第二种方法基于拉格朗日方程。 对于代数方便，本章中选择的物理系统的自由度数小于或等于五。
7.2.1力平衡和矩平衡的方法
力平衡和力矩平衡方法的基本原理由等式表示。 （1.11）和（1.17），它们分别将施加在系统上的力和力矩与线性动量的变化率和角动量的变化率相关联。
图7.1系统具有两个自由度
力平衡法
为了说明力平衡法的使用，考虑如图7.1所示的系统。 该系统由线性弹簧，线性阻尼器和横向惯性元件组成。 示出了点质量m1和m2的自由体图以及图7.2中的相应惯性力。 一般化坐标x1和x2用于分别从左侧的固定端指定两个质量m1和m2的位置。 基于惯性元件m1的自由体图并沿水平方向i实现力平衡，得到以下等式：
图7.2
用于质量m1和m2的自由体图以及由虚线示出的各自的惯性力。 坐标系的原点位于弹簧左端的固定边界上。
这个方程已经被改写为方程的第一个（7.1a）， 同样地，从惯性元件2，公式的第二的自由体图 （）如图7.1a）。
惯性矩阵的非对角线项为零，而刚度和阻尼矩阵的非对角线项为非零。 此外，所有这些矩阵都是对称矩阵。由于刚度和阻尼矩阵中的这些非零非对角项，控制系统的方程是耦合的。 在物理上，当阻尼器c2和弹簧k2不存在时，系统断开。 如图所示，激励f1（t）和f2（t）直接施加到系统的惯性元件。
矩平衡法
我们现在考虑如图7.3所示的系统，其具有两个具有旋转惯量Jo1和Jo2的涡轮。 连接到转子的轴的端部被视为固定端。 到第一个飞轮的驱动转矩为Mo（t）。 一般化坐标f1和f2用于描述围绕穿过各自中心的轴k的飞轮的旋转。 轴的惯性被忽略，在固定端和最接近它的飞轮之间的轴的扭转刚度由kt1表示，并且扭转。
图7.3（a）由转子驱动的两个涡轮的系统和（b）自由体图以及由虚线示出的相应的惯性力矩。
另一个轴的刚度由kt2表示。 假设飞轮浸入装有油的外壳中，并且相应的耗散效应通过使用粘性阻尼系数ct1和ct2。 在图7.3的自由体图中，惯性力矩-Jo1f1k和-Jo2f2k。
基于图7.3所示的自由体图，我们将角动量平衡原理应用于每个飞轮，并获得控制方程：
它们以矩阵形式写成:
在这种情况下，由于刚度矩阵中的非零非对角项，这些方程是耦合的，这是由于具有刚度kt2的轴。
两个物理系统选择用于说明力平衡和力矩平衡方法由线性模型描述，相关的控制方程系统以矩阵形式写。 这对于任何线性多自由度系统都是可能的，如示例所示7.1。 对于非线性多自由度系统，控制非线性运动方程被线性化以获得一组线性方程; 所得到的线性方程式适合于矩阵形式。 这在实施例7.3中说明。
示例7.1 在柔性流体上铣床的建模
该系统的铣床和振动模型如图7.4所示。我们将通过使用力平衡法得到该系统的运动的控制方程。如图7.4b所示，铣削机器通过使用三个惯性元件m1，m2和m3以及离散的弹簧元件和阻尼元件来描述。所有三个惯性元素仅沿着i方向平移。在图中所示的方向上的外力f1（t）是作用在m1上的代表性的扰动。
为了获得运动的控制方程，我们从从系统的静态平衡位置测量坐标x1，x2和x3。由于坐标是从静态平衡位置测量的，重力不在下面考虑。为了对每个惯性元素应用力平衡法，使用图7.4c所示的自由体图。将力平衡方法沿着i方向应用于每个质量，我们获得以下等式：
图7.4
（a）铣床; （b）垂直运动研究的振动模型; 和（c）（b）中所示的惯性元件m1，m2和m3的自由体二维以及虚线所示的惯性力。
等式（a）以下列矩阵形式排列：
由此可知惯性，刚度和阻尼矩阵是对称矩阵。
实例7.2 线性动量守恒在多度的自由度系统
重温示例7.1并讨论这个多自由度系统的线性动量何时沿着i方向保守。 从公式 （1.11），很明显，在没有外力fi（t）的情况下，系统的线性动量被保守; 即，
即使在实施例7.1中没有强制f1（t）的情况下，由于作用在系统底部的力，该三自由度系统的线性动量也不被保存。 为了检验这一点，我们令例7.1中公式（a）中f1（t）= 0得到以下等式：
每个等式 （b）通过对系统的三个惯性元件中的每一个执行单独的线性动量平衡而获得。 将所有三个方程式 （b）相加，我们得到：
对方程（c）时间积分，得到：
——导致：
从公式 （e），由于在基座处存在弹簧和阻尼力，系统的总线性动量不被保存。 如果具有刚度的弹簧k3和具有阻尼系数c3的阻尼器不存在，则所得到的自由系统的总线性动量被保存。
示例7.3 具有反弹和俯仰运动的系统
考虑图7.5a中所示的刚性杆，其可以围绕k方向旋转（俯仰）并沿着j方向平移（反弹）。 我们将一般化坐标y和u定位在梁的重心处。 这个模型
图7.5
（a）在由弹簧和阻尼器约束的平面中的刚体和（b）系统的自由体图以及惯性力和惯性力矩
为描述电机周期，汽车和其他车辆的某些类型的运动提供了良好的表示。
选择该特定示例来说明需要力平衡和力矩平衡方法来获得控制方程。 此外，我们还说明了如何确定平衡位置以及如何进行非线性系统的线性化。
控制运动方程
图7.5b中所示的自由体图将用于获得运动的控制方程。 惯性力和惯性力矩也显示在图7.5b中。 考虑到相对于刚性杆的质心G的力平衡和力矩平衡，
和
由于sin u和cos u项，等式（a）和（b）是非线性的。
静态平衡位置
系统的平衡位置y 0和u 0通过将（a）和（b）中的加速度和速度设置为零来获得。 因此，y 0和u 0解得
从公式（c）的第二个公式，我们发现
利用（d）式第二个带入式（c）第一个，我们可得
注意，对应于等式4中的cos uo = 0的平衡位置u 0 = p / 2。 （d）不被考虑，因为它没有物理意义。 检查公式 （e）中，yo表示由于杆的重量而在杆的位置处的下垂。 从式（d）的第二个中，uo表示由于在每端的不等刚度的组合和棒的不等质量分布的旋转。 当k1L1 = k2L2时，uo = 0，但对于k1L1ne;k2L2，在没有重力加载或其他恒定载荷的情况下，yo = 0，因此uo = 0。
关于平衡位置“小”振荡的线性化和线性系统
我们现在考虑如图7.5所示的关于平衡位置（y 0，u 0）的系统的“小”振荡。 为了获得控制方程，我们替换
对于（a）和（b），并进行sin u和cos u的泰勒级数展开，并保留y和u中的线性项。之后，我们发现
将（g）代入方程（a）（b）中，利用方程（c）并且只保留y和u中的线性项，可得
其在矩阵形式中读作
方程（i）表示控制图7.5所示系统的“小”振荡的线性系统，其关于由方程式（d）和（e）给出的静态平衡位置。 虽然重力加载决定了平衡位置，但它在方程（i）中没有明确出现。 因此，当假定从静态平衡位置测量广义坐标时，不考虑恒定载荷如重力加载来确定运动方程。
从等式（d）的第二个式子可以看出，如果k1L1 = k2L2，u0 = 0，等式 （i）采取形式
如果k1L1ne;k2L2且uo = 0，则等式 （i）采取形式
当c1L1 = c2L2和k1L1 = k2L2时，方程解耦：即，旋转和平移运动是彼此独立的。
注意， （k）可以直接获得，如果最初假定关于静态平衡位置的“小”振荡被考虑，并且静态平衡位置“接近”水平位置。 在这种情况下，（a）和（b）中的cos u将被设置为1，并且sin u将被等式4中的u替换。
示例7.4 速率陀螺仪的控制方程
我们将获得速率陀螺仪（也称为陀螺传感器）的运动的控制方程。 物理系统，以及振动模型，如图7.6所示。 在图7.6b所示的振动模型中，传感器显示为具有两个自由度的点质量m，其运动由水平面中的坐标x和y描述。 广义坐标都位于旋转参考系中。 传感器被设计为测量旋转速度vz，其假定为恒定的。 为了建模的目的，使用具有刚度kx的弹簧和具有阻尼系数cx的粘性阻尼器来限制沿着n1方向的运动。
图7.6
（a）微加工速率陀螺仪; （b）振动模型; 和（c）自由体图以及惯性力。 [（1）悬浮质量; （2）框架; （3）CMOS芯片; （4）光电二极管; 和（5）电子电路。
另一个弹簧 - 阻尼器组合用于限制沿着n2的运动方向。 在系统上施加n1方向的外力fx（t）。为了获得控制方程，沿n1和n2方向考虑力平衡。 利用图7.6c所示的自由体图，我们得到以下关系
其中x和y是沿着旋转参考系中的n1和n2方向的相应位移; x＃和y＃是旋转参考系中沿这些方向的相应速度; ax和ay分别是沿着n1和n2方向的质量m的绝对加速度的分量。 从示例1.4和对于位于旋转参考系中的粒子的实例1.3中提供的讨论，发现
在方程 （b）中，已经考虑了旋转vz恒定并且相应的角加速度为零的事实。 从公式 （a）和（b），我们得到以下一组方程
方程（c）以下面的矩阵形式写成：
其中不同的方阵是
矩阵【G】称为陀螺矩阵。 在旋转参考系中的坐标的选择导致该矩阵。 作为斜对称矩阵的陀螺矩阵导致沿着n1和n2方向的运动之间的耦合。 从公式中的刚度矩阵的形式， （e）中，很清楚，与每个运动方向相关的有效刚度由于旋转而减小。
7.2.2线性多自由度系统方程的一般形式
基于等式的结构。，（7.1b）和（7.2b）以及在实施例7.1,7.3和7.4中处理的线性系统，由广义坐标q1，q2hellip;hellip;qn描述的线性N自由度系统的运动的控制方程的一般形式，以形式
其中方程中的不同矩阵和向量。 （7.3）具有以下一般形式：
和
惯性矩阵
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