第九章
理想变压器
9.0 引言
变压器也许是迄今为止最有用的电气设备之一。在交流电路中它能增强或者削弱电压与电流，可以隔离回路，能够增加或者减少实时电容值，电感值以及电阻值。此外，变压器让我们能够远距离传输电能并且将其安全地配送给工厂和各户人家。
我们将在本章节中学习变压器的一些基本特征。这将帮助我们理解后续章节所涉及到的商业变压器以及感应电动机、交流发电机、同步电动机的运行原理。所有这些设备都是基于电磁感应原理。因此，我建议读者对所涉及的相关论题给予足够的重视。
9.1 线圈中的感应电压
图9.1
- 当线圈环绕着变化的磁场时所产生的电压是感应电压。
- 正弦变化的磁场感应出正弦变化的电压。
考虑到图9.1a中被变化的磁场围绕的线圈。磁通以频率做正弦变化，一个周期达到一次正峰值和一次负峰值。变化的磁通使线圈感应出了正弦变化的交流电压，它的有效值通过以下公式得出:
（9.1）
这里
感应电压有效值
磁通的频率
绕组的匝数
磁场的峰值
4.44= 一个常数
交流磁场如何产生的并不重要:它可能是由移动的磁铁，临近的交流线圈或者甚至是由流动在线圈内的交流电流产生。
方程9.1来源于法拉第定律方程，其中是磁通变化率，是顺时感应电压。因此，在图9.1b中，当磁通随着时间增加时，的变化速度是大于零的所以此时的电压是正的。相反，当磁通随着时间减小时，的变化速度是小于零的；相应的，此时的电压是负的。最后，当磁通既不增加也不减少时（即使是在一微秒的时间段内），
的变化速度为零，因此此时的电压为零。
那么问题来了：为什么我们使用磁通的峰值而不是它的方均根值？原因是磁通的峰值是于磁通密度的峰值成比例的，在铁芯中磁通密度的峰值决定磁饱和程度的水平。
例9-1
图9.1中的线圈有4000匝，交链着交流磁通且该磁通的峰值为2。若频率为60，计算感应电压的有效值和频率值。
解：
此时感应电压的有效值或者方均根值为，频率为。电压峰值为
9.2外加电压和感应电压
图9.2
- 线圈中感应电压与外加电压相同。
- ，，以及之间的相位关系。
图9.2a展现了一个同正弦交流电源连结的匝线圈。线圈感抗为其上流过的电流为。若线圈的电抗小到可以忽略，其电流为
在纯电感电路中，落后90度，磁通的相位于电流一致（图9.2b）。
电流的具体行为如下所述：
正弦电流产生磁动势，其在绕组中产生正弦磁通。因此，被称为励磁电流。交流磁通的峰值为。变化的磁通在线圈两端感生出有效电压，其值可通过方程9.1得到。另一方面，外加电压值和感生电压值必须等同，因为他们处于同一导体的两端。
因为=，我们可以写
从中我们能够得到
（9.2）
这个方程表明了对于一个给定的频率和一个给定的线圈匝数，随着外加电压按照比例变化，磁通的峰值一定保持不变。
例如，假设我们逐渐将铁芯插入线圈中同时保持不变（图9.3）。交流磁通的峰值在此过程中保持不变，即使当铁芯完全置入线圈内时仍维持它最初值。事实上，如果磁通增加了（正如我们所期望的），感生电压也会增加。然而这是不可能的，因为任何时候都有，因为我们认为是保持不变的。
对于一个给定的供电电压，因此图9.2和9.3中的交流磁通是相同的。然而，当铁芯插入线圈时励磁电流会大大减小。事实上，为了产生相同的磁通，铁芯线圈所需要的磁动势比空心线圈所需磁动势小得多。因此，图9.3中的励磁电流比图9.2中的小得多。
图9.3
- 只要保持恒定，线圈的磁通就可以维持恒定
- 相位关系
例9-2
一个线圈有90匝并且同一个120，60的电源连结。若励磁电流有效值为4A，请计算如下参数：
- 磁通的峰值
- 磁动势峰值
- 线圈的感抗
- 线圈的感应系数
解
a.
b.
c.
d.
9.3初等变压器
在图9.4中，有一个被交流电压激励的空心线圈。励磁电流产生全部的磁通，其分散围绕在线圈周围。如果我们将第二个线圈靠近第一个，它将环绕整个磁通的一部分。
因此在第二个线圈上会感应出交流电压，其值可以通过电压表测得。这两匝线圈的组合可以称作一个变压器。连结电源的线圈被称为初级线圈，另一匝线圈被称为次级线圈。
图9.4
感生电压出现在次级线圈中。互磁通是；漏磁通是。
电压仅存在于初级线圈1-2两端和次级线圈3-4两端。端子1和端子2之间是不存在电压的。因此次级线圈和初级线圈形成电器隔离。
由初级线圈产生的磁通可以分为两个部分：交链在两匝线圈之间的互感磁通；仅交链在初级线圈上的漏磁通。若两匝线圈隔得很远，那么互感磁通于总磁通相较而言会变得很小；此时我们就可以称之为弱耦合。通过使两匝线圈靠得更近我们能获得一个更强的耦合（同时获得一个更高的次级电压）。然而，即使我们让次级线圈更加靠近初级线圈以至于两匝线圈相接触，互感磁通相较于总磁通而言仍然很小。当耦合较弱的时候，次级电压也会相应较小，更加糟糕的是，当负载接到次级端子时该耦合将会几乎完全瓦解。在大多数工业变压器中，初次级线圈都是绕在一起从而增强耦合程度。
9.4变压器的极性
图9.5
两端有着相同的顺时极性，正如图中用点所标注的。
在图9.4中的和都是由励磁电流产生。因此，它们是同相位的，在同一瞬间同时达到峰值，并且同时经过零值。也就是说，次级电压同外加电压同时到达峰值。
假设，在某峰值时刻，端子1对应端子2是正极，端子3对应端子4是正极。端子1与端子3具有相同的极性。这一共性可以用在端子1和端子3旁各放置一个圆点来表示。这对圆点可以被称为极性标记。
在图9.5中的极点标记同样可以放置在端子2和端子4旁，因为每半个周期当电压反转，它们也将随之反转立刻变为正极。因此，极性标记能够出现在端子1和端子3旁或者端子2和端子4旁。
9.5.极点标记的特征
图9.6
从极点标记一端流入的电流产生的磁通是正方向的
变压器通常是被安装在金属外壳内的，因此只有初次级端子和极点标记是可见的。然而尽管变压器是不可见的，接下来这些规则仍然适用于极点标记：
1.从被极点标记的一端流入的电流所产生的磁动势是正方向的，所产生的磁通也是正方向的。相反的，从被极点标记的一端流出的电流所产生的磁动势是反方向的。因此，流入和流出两个线圈的极点标记的电流所产生的磁动势是互相抵制的。
2.如果其中一个标记端是暂时正极，那么另一个标记端同样是暂时正极。这一规律能够让我们将初次级电压的相位联系起来。例如，在图9.7中，的相位于是一致的。
图9.7
- 处于励磁电流正在增加时的即时极点
- 相位关系
9.6空载时的理想变压器；变压比
图9.8
- 空载时理想变压器。一次侧与二次侧通过互感磁通相互交链。
- 空载时的相位关系。
在着手学习实际变压器，商业变压器之前，我们应该学习所谓的理想变压器的特性。从定义上来说，理想变压器没有损耗并且它的铁芯是不会饱和的。此外，由一次侧产生的磁通可以完全于二次侧交链，反之亦然。因此，理想变压器没有任何漏磁。
实际变压器有着与理想变压器接近的特性。因此，一般来说我们对于理想变压器的学习将有助于我们理解这种变压器的特性。
图9.8a所呈现的理想变压器一次侧匝数为,二次侧匝数为。一次侧接着正弦电源，励磁电流产生磁通。该磁通完全交链在一次侧和二次侧之间，因此它是互感磁通。
该磁通安装正弦规律变化，峰值为。根据方程9.1，我们能写出：
(9.3)
(9.4)
从以上方程我们能够推导理想变压器电压比的表达式以及匝数比
(9.5)
这里
一次侧感应电压
二次侧感应电压
一次侧匝数
二次侧匝数
匝数比
这个方程表明了一次侧和二次侧电压比与匝数比是相同的。此外，因为一次侧二次侧电压都是由相同的互感磁通产生，所以它们必然是同相位的。
空载时的向量图由图9.8b给出。正如极点标记所示，向量和向量是同向的（而不是相差180度）。如果二次侧匝数少于一次侧，那么向量的长度要短于向量。用各种感应器测量，励磁电流都要落后外加电压90度。代表磁通的向量显然和产生它的励磁电流同相位。
然而，因为这是理想变压器，磁路是无限渗透的，所以励磁电流不需要去产生。因此，在空载的情况下，除了向量长度为无穷小外，变压器向量图与图9.8b是相同的。
例9-3
一个不完全理想的变压器一次侧有90匝线圈，二次侧有2250匝线圈并且接了一个的电源。两侧完全耦合，但是此时的励磁电流为。
计算：
- 二次侧电压的有效值。
- 二次侧电压的峰值
- 当一次侧瞬时电压为时，二次侧的顺时电压。
解：
- 匝数比为：
(9.5)
二次侧电压为一次侧电压的25倍，因为二次侧匝数为一次侧的25倍。因此：
除了以上的解法，我们还可以运用方程9.5，
可得
b.电压按照正弦规律变化；因此，二次侧峰值电压为：
c.任何瞬间二次侧电压都是一次侧电压的25倍。因此，当时
9.7负载运行时的理想变压器；电流比
图9.9
- 理想变压器负载运行。互感磁通保持不变。
- 负载运行时的向量关系。
深入分析，让我们在理想变压器的二次侧接上负载（图9.9）。二次侧即刻出现电流：
当我们接上负载时会发生变化吗？为了回答这个问题，我们必须回想起两个事实。首先，在理想变压器中一次侧和二次侧线圈是通过互感磁通联系的而不是其他磁通。换句话说，理想变压器，从定义上来看，没有漏磁通。因此，此时的变压比和空载运行时是相同的：
其次，若供电电源保持不变，一次侧感应电压也会保持不变。也就是说也会保持不变。我们可以总结出：将会保持不变无论是否负载。
现在让我们计算一下由一次侧和二次侧线圈产生的磁动势。首先，电流产生二次
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