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基于拉盖尔正交函数的分数阶PID控制器设计
Mohammad Tabatabaei, Romina Salehi
摘要
本文提出了一种基于Laguerre正交函数的分数阶系统的分数阶PID控制器。 分数阶设备，期望的环路增益和分数阶PID控制器的传递函数根据Laguerre基函数进行扩展。 将Laguerre系列环路增益的前三个系数与所需的系数相匹配，得到分数阶PID控制器参数。 分数阶拉盖尔基函数的极点被调整以最小化受控制信号约束的积分平方误差性能指数。 给出了数值例子来说明这种基于Laguerre的分数阶PID控制器的有效性。
- 介绍
分数阶微积分考虑利用非整数导数和积分而不是相应的普通积分来提高设计的灵活性和建模精度。具有分数阶导数和积分项的分数阶PID（FOPID）控制器已被用于控制分数阶系统。已经提出了许多方法来设计文献中分数阶系统的FOPID控制器。 基于内部模型的FOPID控制器已被考虑在这方面。设计分数阶PD（FOPD）控制器对增益变化的鲁棒性也被考虑过。设计这些控制器以最小化基于优化方法的性能指数是另一种方法。 根轨迹法已被用于设计最小相位分数阶系统的FOPID。
提出用于设计PID控制器的分析方法之一是时刻匹配方法。在这种方法中，PID控制器参数可以通过将闭环传递函数的前三个矩与所需的一个匹配来获得。在这种方法中，闭环传递函数根据一些正交函数进行扩展。 例如，MacLaurin扩展已被用来通过时刻匹配找到PID控制器参数方法。用于一阶正死时间的PD控制器设备也是基于泰勒级数近似设计的。 拉盖尔正交函数已被用于设计PID控制器的一些特殊情况的设备。 对于FOPID控制器，在文献[9]中已经提出了矩匹配方法。在所提出的方法中，从特征比率分配方法获得的期望闭环传递函数的前三个时刻与闭环传递函数中的相应阶段相匹配。该方法可用于设计FOPID相称的分数系统。Block脉冲，Walsh和Haar小波作为分段正交函数已被用于设计整数和分数阶系统的FOPID。
分数阶Laguerre正交函数已被构造为普通Laguerre函数的推广。 提到的分数阶Laguerre函数已被用来近似分数阶系统。
在当前的论文中，利用分数阶Laguerre展开法来合成分数阶系统的FOPID和分数阶PI（FOPI）控制器。首先，根据分数阶拉盖尔级数解释相称的阶数分数系统。拉盖尔级数系数由植物传递函数与分数阶Laguerre基函数的内积得到。 这个想法被用来计算环路增益的Laguerre系列系数（FOPID控制器和工厂的产品）。匹配回路增益的前三个Laguerre系列系数与所需的一个给出FOPID或FOPI控制器参数。 确定分数阶拉盖尔基函数极点的最佳位置，以便达到所需环路增益的最佳拟合。通过数值模拟研究基于Laguerre的FOPID或FOPI控制器的性能。
本文的其余部分安排如下。第2节给出了分数阶微积分的简要回顾。第3节描述了分数阶Laguerre级数基函数的构造。所提出的FOPID和FOPI控制器在第4节中给出。所提出的FOPID和FOPI控制器的性能通过第5节中给出的数值模拟来证明。最后，第6节总结了本文。
- 分数微积分定义
文献[1]中对分数阶导数有很多定义。 由于其计算优势，本文使用Grunwald-Letnikov定义。根据这个定义，分数阶函数的导数f（t）（Df(t))被定义为
其中是分数阶。如果=1，则得到导数的普通定义。用于分数阶系统数值模拟的分数阶传递函数（FOTF）工具箱就是基于这个定义。具有输入u（t）和输出y（t）的线性时间不变量（LTI）分数阶系统可以用下面的微分方程表示：
（2）
其中（i=0,...,n）和(j=0,...m)是分数阶。（k=0,...,n）和(k=0,...,m)
是任意的常数。如果=iv,i=1,...,n;=jv,j=1,...,m。那么分数阶系统（2）被称为相称的，并且v被称为相称的秩序。以（2）两侧的拉普拉斯变换给出了转移作为一个相称的分数系统的函数：
（3）
在其结构中包含分数阶运算符的控制器称为分数阶控制器。例如，分数阶PID控制器的传递函数可以写为：
（4）
其中k，T和T是比例增益，积分器和导数系数。当和是属于（0,2）的任意实数时，例如，则获得普通的PID控制器。
- 分数阶laguerre正交函数
在本节中，将介绍分数阶Laguerre基函数。 首先，应该定义一些必要的预备。 在[14]中，表明如果满足以下条件，分数阶传递函数（3）是稳定的
0lt; v lt;2, (5)
此外，如果满足以下不等式，传递函数（3）属于H（C）：
（6）
为了构造分数阶Laguerre基函数，定义了以下生成函数：
（7）
根据（6），（7）中的生成函数属于H（），如果下面的不等式成立
， （8）
根据公式（8），对于所有的（）如果，传递函数（7）属于。因此，在剩下的文章中，设备的传递函数被认为是一个像公式（3）一样相称的阶数分数系统。不幸的是，生成函数（7）不是正交的，不能直接用作Laguerre的基础功能，因此，这些功能被应用于根据a生成分数阶Laguerre基函数Gram-Schmidt正交化程序。
拉格姆-施密特正交程序：考虑任意生成函数，i=1,.....,n.现在，函数，i=1,...,n服从以下关系的时候是正交的：
， (9)
，i=1,...,N.
其中lt;p,qgt;表示函数p和q的内积，定义如下：
（10）
而且，函数p的范数定义为：
（11）
这产生了正交分数阶Laguerre基函数。 构建分数应该计算具有生成函数的分数阶植物的内积（7）。任何具有实极的相应订单工厂的传递函数都可以用部分分数来描述，按照伪一阶项（7）形式构成。 因此，计算两个生成函数的内积就足够了，如：
（12）
公式（12）可以改写为：
（13）
现在，相当严格的系统秩序（3）可以扩展为下面的分数阶Laguerre系列：
（16）
其中是由Gram-Schmidt程序构造的Laguerre基函数。 拉盖尔基函数可以参数化如下：
（17）
其中，j=1,...i;i=1,2,3... 是常数参数，从Gram-Schmidt程序获得。此外，Laguerre系数系数g计算如下：
. （18）
- laguerre基于FOPI和FOPID控制器的设计
该系统被认为是Laguerre稳定的相称阶数分数系统公式（16）的一种扩展。该控制器C（s）被设计成环路增益可以接近期望的环路增益L（s）。要么：
L（s）=G（s）C（s） （24）
在单元负反馈控制结构中，考虑以下期望的环路增益：
（25）
其中和是阻尼比和自然频率。 所需的环路增益不是一个稳定的功能，因此，应该重写如下：
（26）
其中（26）中的前三个拉盖尔系数系数通过部分分数展开计算为：
i=1,2,3 （27）
（28）
设计过程在以下小节中进行说明。
-
- 基于laguerre的FOPI设计
考虑下面的FOPI控制器
. （29）
控制器可以用以下Laguerre系重新表示：
. （30）
其中：
， （31 ）
（24）中的关系式（16），（26）和（30）代入：
（32）
考虑到（22）中分数阶Laguerre基函数的乘积性质，并且在两边串联（32）的前两个系数相匹配，给出了以下FOPI系数：
（33）
其中：
i=1,2. （37）
j=1,2.
-
- 基于laguerre的FOPID设计
考虑具有以下传递函数的FOPID控制器：
（ 37）
传递函数（37）被重写为：
（38）
其中：
(39)
关系（32）也可用于FOPID情况。 因此，可以获得以下FOPID控制器参数。根据关系（22）和（39）：
（40）
其中：
（41）
（42）
（43）
-
- 分数阶laguerre基函数的极点位置选择
设计的FOPI和FOPID控制器有三个可调参数 。应该选择这些参数实现闭环系统的稳定。此外，应当实现在存在控制信号约束下的最佳瞬态响应性能。这意味着这些参数是以下约束优化问题的解决方案：
（44）
其中y（t）是闭环系统阶跃响应，y（t）是期望的闭环系统阶跃响应，u（t）是控制信号，和是它的上限和下限。
- 仿真结果
为了显示FOPI和FOPID控制器的性能，提供了一个数字示例。 使用MATLAB软件FMINCON函数来解决优化问题（44）。
示例2：考虑以下函数:
(45)
考虑得到FOPI控制器拉盖尔基函数的最优值为：，得到的FOPI控制器为：
（46）
对于FOPID控制器，获得，这导致以下FOPID传输功能：
（47）
图1比较了从FOPI和FOPID控制器获得的闭环系统单位阶跃响应与所需的控制器。 与FOPI控制器相比，FOPID显示出优越的性能。 而且，控制信号约束被满足。
图1：例2的闭环系统单元阶跃响应和控制信号
- 结论
使用从Gram-Schmidt正交化方法获得的正交拉盖尔基函数来设计用于相称阶分数系统的FOPI和FOPID控制器。 仿真结果表明了所提出控制器的有效性。 在存在控制信号限制的情况下，基于积分平方误差性能指标获得最佳的瞬态响应质量。 这种设计方法可以用于稳定的真正极点的函数。 将所提出的FOPI和FOPID方法扩展到一般相称的分数阶系统可以被认为是未来的研究课题。 另一项未来工作是设计基于Laguerre的FOPID控制器，用于相称阶数小于一半的相称阶数
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