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有限元建模网格质量，能量平衡和验证方法：与骨组织模型重建相关的讨论
作者：蒂莫西·布尔哈特，大卫·安德鲁斯，辛西娅·丹宁
西北大学机械与材料工程系杰克麦克生物力学测试实验室，伦敦里士满街1151号，加拿大N6A 5B9
文章历史：接受2013年3月16日
关键词：验证指标 网眼质量 能源 有限元建模
摘要：在过去20年中，使用无限元素模型作为生物力学和骨科的研究工具已经呈指数级增长。然而，对网格质量的关注，模型验证和适当的能量平衡方法以及这些度量的报告并没有跟随一般使用的无限元素建模。因此，本综述的目的是总结生物力学和整形外科文献中现行的状态无限元建模验证实践，并提出可用作评估网格质量，验证模拟结果和寻址能量的指南的具体方法和标准限值平衡问题。
在文献综述的有限元模型中，其中约42％未得到充分验证，而95％和98％的模型未分别评估网格或能量平衡的质量。对可用于评估网格质量（如纵横比，角度理想化和元素雅可比）的方法进行回顾，测量能量平衡（例如，小时玻璃能量和质量缩放），并量化准确度提出了模拟（如验证度量，走廊，统计技术）。
目录
1.介绍
对人类参与者和尸体特征的实验测试为生物力学和骨科学的研究人员提供了对人体骨骼的宝贵见解，响应加载以及为什么由于不同的加载情况可能会导致受伤。然而，在许多情况下，对人类和尸体的实验测试并不总是可行的。例如，为了确保参与者的安全，体内测试必须限于次最大负载和非侵入性测试技术。此外，对尸体标本的失败测试是遗传破坏性的，可能变得昂贵（Rogge等，2002）。相比之下，有限元模型提供了一种可行的替代方案，用于预测各种负载条件下骨骼的反应，并且已经成为生物力学和矫形研究人员在过去20至30年中受欢迎的强大工具（Anderson等人，2007; Erdemir等， 2012）。据Erdemir等报道（2012年），1980年至2009年间出版的数字无限元素建模论文增长了6000％。但是，对网格质量的关注，模型验证和适当的能量平衡方法，这一时期没有充分跟上一般用途有限元建模方法。这在特别是在主流材料工程学杂志（Lund et al。，2012）中发现的用于产科学的麻药和生物力学文献中尤其如此。
最近，一些论文解决了模型验证，验证（Anderson et al。，2007; Cristofolini et al。，2010; Henninger et al。，2010; Lund et al。，2012）以及建模结果（Erdemir et al。 2012年）已经出版，并向读者提供了一个很好的观点问题。虽然这些论文提出了基本的定义和一般的建模指南，但是他们没有建议的具体验证程序。相反，他们只关注模拟结果的验证，并且不涉及质量和能量平衡评估领域。由于生物力学和矫形器有限元模型的主要焦点通常是人类健康的一些方面（例如，植入物失效，损伤风险评估，骨折融合功效），所以必须以尽可能准确的方式代表物理系统。因此，误差源（网格质量，能量平衡，模拟精度）必须被考虑，量化和微型化，以防止错误的识别。此外，模型评估标准的标准化可以更好地比较研究组之间的模型。
因此，本文的目的是三个方面：（i）进行文献综述，以突出现有的矫形外科和生物力学中的无限元素建模验证实践;（ii）提出应用于评估网格质量的具体方法，验证模拟结果和解决能源平衡问题和（iii）推荐用于评估有限元模型精度的标准限值。虽然文献综述和相关建议的发现适用于大多数生物力学和矫形有限元模型，但这项工作的重点是代表骨组织的模型。
2.技术讨论
2.1技术方案
为了回应安德森等人（2007）的工作，，埃尔代米尔等人（2012）和亨宁格等人（2010年），对生物力学和骨科学文献进行了回顾，以确定研究人员目前正在使用的具体方法，从网格质量，能量平衡和模拟精度两方面对其有限元模型进行评估。术语“生物力学”或“骨科”与“有限元素”结合使用，与“验证”不同的组合，进行文献检索时的“网格质量”和“能量”。选择了文章，其代表了许多不同期刊的各种解剖学位置，其代表了基础和应用工作。然而，鉴于专门用于骨科和生物力学有限元建模的文章数量，审查仅限于模型主要涉及骨组织。每篇文章都由其中一位作者（TAB）仔细阅读，并根据网格质量评估进行分类（全部使用超过两个指标;使用最小量度标准;使用不了指标），能量平衡评估（全部能量平衡评估未评估）和模拟结果对实验工作的验证（全部使用超过两种验证方法;使用最小四分之一验证方法;未使用验证方法;注意：验证方法的示例可在4.0节中找到）。包含完整或最小验证的文章通过第二次阅读，将特定的验证方法分类如下：数据走廊，统计技术（例如均方根误差（RMSE），相关分析，百分比误差），定性比较（例如，比较峰值而没有统计学基础），以及应用评估（例如，断裂模式比较）。最后，为了确定作者评估其网格大小的程度，第三次阅读了所有文章，以确定是否进行了网格收敛/敏感性分析。作为最终评估的一部分，报告进行网格敏感性分析的文章与没有网格敏感性分析的文章分开。报告进行这种分析的那些进一步被表征为提供足够的细节（例如，测试的网格尺寸的数量，输出变量）或不提供细节（即简单地说该分析已经完成）。重新检查没有报告使用网格敏感性分析的文章，以确定网格质量评估（例如元素雅各布，长宽比和正交性）作为网格敏感性分析的替代物，并被适当地分类。
2.2 结论
总体而言，39％的审查文献没有提供验证数据，95％没有评估有限元网格的质量，98％以上没有讨论模型的能量平衡（图1和表1），尽管43％经审查的论文呈现动态模拟结果。在包括任何类型的验证程序的论文中，47％仅包括定性评估，57％对具体特定原始实验数据的模型进行了验证（即43％与先前报告的数据相比较）文献）（表1）。最后，根据网格敏感性分析的结果，只有33％的文章选择了其网格的大小，其中只有57％包括了分析的细节（图2）。在没有报告进行网格敏感性分析的67％中，几乎90％也没有包括任何类型的网格质量评估（图2）。
图1,网格质量，模型验证和能量平衡的总结来自先前的元素建模研究的方法（N = 80）报告了两种或更多种方法; “最小”表示一种方法被报告;“不存在”表示没有报告方法。
3. 网格质量评估
有限元模拟的准确性和效率（即偏微分方程的解）对于有限元素网格的质量高度倾向（Knupp，2007）。 Knupp（2007）将难以捉摸的术语“网格质量”定义为“允许特定数值偏微分方程模拟有效执行的基础物理和所需问题准确性的网格特征”（p 2）。鉴于与人骨相关的复杂几何，具有大失真的元素可能发生，并且是低精度或解决不稳定性的潜在来源（Valle和Ray，2005）。在考虑无限元网格质量时，会出现两个主要问题。第一个是选择离散几何的元素的形状。当生成用于生物结构，特别是骨的网格时，通常使用两个元素形状：四面体和六面体（分别为四个节点和八个节点版本）。通常，当进行动态模拟时，六面体元素被认为比它们的四面体对象更准确和更有效。还有一个考虑因素是网格的粗糙度 - 换句话说，组成网格的元素数量。在文献中通常认为，存在最佳的网格密度，其通过使用灵敏度分析通常确定的可提供最小可能数量的元素的最准确的解决方案。然而，如前所述，这种类型的分析并不像所察觉的那样常见，而且在进行时，作者经常忽略重要的细节。此外，网格敏感性分析高度依赖于全局（例如力）或局部（例如，应变）测量用于评估网格的粗糙度（埃尔代米尔等人，2012）。即使使用这种方法认为网格是有效的，质量往往仍然很差（Knupp，2000）。最后，当开发涉及手动调整的复杂网格时，执行网格敏感性研究并不总是可行的（加蒂
等，2010）。网格敏感性分析的替代方法，本节的重点是报告网格的整体质量，其受到每个元素的形状的影响，部分取决于网格的大小，完全独立于输出措施。
用于评估网格质量的度量主要基于元素几何（Knupp，2001），并且涉及确保元素具有对称形状（纵横比），理想化的内部角度并具有正体积（元素雅可比）（赫奴普，2001）。
图2，对报告的文章执行网格敏感性分析以确定最佳网格大小的比较。黑色条是左轴回读，并且代表了已经和不包括网格敏感性分析的研究的总体比较，剩余的条从右轴读出并进行比较。
3.1网格形状
虽然自动四面体网格划分可能比六面体元素所需的手动啮合少得多的劳动密集度，但是通常假设四面体网格比从六面体网格获取的结果更为准（Tadepalli等人（2011）; Benzley等人，1995; Raut，2012; Shim等人，2012）。与实现四面体元素相关的不精确归因于其高刚度，不可压缩性和网状锁定的倾向。Benzley等人（1995）报道，与全六面体网格相比，由四面体元素组成的网格的刚度矩阵特征值更大，导致在静态弯曲，扭转和动态载荷的计算位移和应力结果;结果与Raut（2012）相一致。同样，Tadepalli等（2011）得出结论，四面体元素只能在无摩擦下使用条件或材料不可压缩条件可以放宽时。虽然Ramos和Simoes（2006）和Cifuentes和Kalbag（1992）发现四面体和六面体网格之间的模拟精度相当，但是六面体网格在稳定性方面优于其对网格细化变化的敏感性。这些发现表明，在可能的情况下，生物结构应与六面体元素相互啮合，特别是在动态建模场景中。
3.2长宽比
长宽比（AR）是量化网格中每个元素的形状的相对简单的测量。对于六面体元素，AR通过将元素的最长边缘或对角线除以最短来计算。四面体纵横比以最长边长与最小边的最小高度的比值（图3）进行测量。正如Rice（1985），有限元要求至少中等长宽比来优化计算准确性和问题的条件。当ARs接近一致（〜1）时，最准确的解决方案就是实现。然而，许多骨骼包含倾向于导致不可避免的薄元素的高曲率部分和薄的区域（在皮质骨的一些部分中为o1mm）（Fellipa，2012）。结果表明，六面体元素的AR分类如下：1oARo3是可以接受的; 3oARo10处理警告; AR410被报警处理（Fellipa，2012）。这些类别得到了最近的一份报告的支持，据报道，45％，23％和19％的有限元建模从业者分别喜欢纵横比低于3,5和2（Ray等，2008）。然而，已经报道了四面体元素.Tsukerman和Plaks（1998）发现了纵横比当与合理形状的四面体元素相比时，1和4之间产生最小的误差。虽然重要的是考虑AR的大小，但是在评估网格质量时，警报元素的总数及其位置也是重要的因素。因此，建议元素AR大于3的百分比仍然低于5％，作者报告违规要素的总体位置。例如，虽然Quenneville和Dunning（2011）报道了1.1到23.1之间的元素长宽比，超过3的元素长宽比仅占所有元素的一小部分，并且位于远离最高利益区域的位置（即，兴趣区域为胫骨的远端方面，而纵横比差的要素主要位于胫骨骨干）。
3.3角度理想化
内角偏离理想角度的元素（对于六面体元素为90°，四面体元素为60°）的元素可产生不切实际的变形响应。因此，作者建议将所有论文中包含的第二个网格质量评估指标作为元素的角度理想化。该度量涉及六面体和四面体单元中的每个顶点处的三个角度，其由每对边缘（每六面体单元24个角度测量值和每四面体12个
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