用于时域铣削自动稳定性识别的新度量
Andrew Honeycutt1 Tony L. schmitz2
（1.机械工程与工程科学系，北卡罗来那大学 大学城的9201大道，夏洛特，NC 28223 ahoney15@uncc.edu；2.机械工程与工程科学系，北卡罗来那大学 大学城的9201大道，夏洛特，NC 28223 tony.schmitz@uncc.edu）
【摘 要】一种自动建立时域铣削模拟信号的稳定性极限的新的度量被提出，它基于周期性的采样数据，因为稳定的切口表现出受迫振动，所以采样点呈现周期循环。另一方面，用于不稳定切割的周期性采样点不对每个齿通道重复。度量利用该差异来定义对于稳定切割的名义上为零的数值和对于不稳定的切割大于零的数值。该度量被描述并应用于数值和实验结果。
【关键词】铣削，稳定性，庞加菜截面，时域模拟
【文章编号】DOI: 10.1115/1.4032586
引言
加工动力学在文献中备受关注有如下原因：
（1）加工动力学与制造业息息相关；
（2）加工动力学提出了用于描述系统行为的二阶时滞微分方程所需的解决方案，提出了具有挑战性的建模机会。特别地，许多学者使用时域解析数值、半解析数值来研究基于所选择的操作参数（通常是主轴速度和切片宽度）的稳定和不稳定（颤振）切削条件的预测。
本研究的目的是建立稳定和不稳定的行为之间自动区分铣削过程的时域仿真的度量。该方法基于铣削信号的周期采样，并且从使用庞加莱图来研究非线性动力学中的状态空间轨道。本文结构如下。首先，提供关于铣削稳定性预测的背景信息；第二，演示了周期采样和庞加莱图的应用从新的有效的时域铣削模拟的结果。第三，提出了新的稳定性度量。第四，将实验结果与模拟进行比较。最后，提出结论。
背景
在科学和工程领域，新的见解通常伴随着一连串的后续研究活动和相应的出版物。这些见解往往是对研究团体的催化剂，通常导致新的发现，改进对基本现象的理解，以及增强建模能力。对于机械加工，其快速进展的时期开始于19世纪中叶[1]。在此期间，二阶时滞微分方程首次用于描述自激振动[2]。其中“波纹再生”被提升为反馈机制（时滞项），在切割表面结合的瞬时振动状态决定了目前的切片厚度、力水平，和相应的振动响应[3–6]。这项工作通过分析算法产生了现在众所周知的稳定性叶瓣图，将主轴速度芯片宽度域分成稳定和不稳定行为的区域[5-17]。
在1998年，类似的步骤开始在机械加工中产生。戴维斯等人使用每转一次的采样来表征切削工具运动（使用一对正交电容探针测量）的同步性与刀具在铣削中的旋转[18]。他们观察到传统的准周期颤振能与Hopf分支或Neimark-Sacker分支产生周期性时间延迟微分方程的联系。然而，它们还在部分径向浸没铣削期间记录“周期-3”的刀具运动（即以三个刀具旋转的周期重复的运动）。他们指出，这种行为“与现有理论不一致”[18]。2000年，戴维斯等人进一步检查高度中断加工的稳定性[20]。他们开发了一个两阶段图来进行描述：（1）由分析解决方案控制的非切割运动；和（2）在使用近似（具有动量变化的固定刀具位置）的切削期间的运动。他们得出这样一个结论：当切削时间较短时，最佳稳定主轴转速的数量翻了一番。铣削实验得出了新的、低径向浸渍的最佳速度。
2001年，Moon和Kalmar-Nagy在机械加工中回顾了“复杂，不稳定和混沌动力学的预测”[19]。 他们列出了对非线性行为的各种贡献者，包括由于大振幅振动和工件材料本构关系造成的工具-工件接触的损失，并强调了非线性动力学方法在以前的研究中的应用[21-26]。 他们还指定使用相空间方法（例如庞加莱图）来识别加工过程动力学中的变化。
时域仿真是探索铣削行为的强大工具[27,28]。 例如，Zhao和Balachandran实施时域模拟，其中包括工具 - 工件接触和再生的损失，研究铣削[29]。他们确定了次级Hopf分支，并建议对于低径向浸润，“周期加倍分支被认为发生”[29]。 它们包括用于在两个主轴转速下限制切割范围的轴向深度的分支图，以展示两种分支类型。
Davies等人扩展了它们在2002年的初始工作，为高度中断的加工提出了第一个分析稳定性边界[30]。 它基于将切割过程建模为具有时间延迟的简谐振子，并且遵循之前描述的两阶段图概念[20]。他们使用麦克风信号的频率内容来确定次Hopf分支和“周期-2”（或周期加倍或翻转）不稳定性的存在。 也提供了次要Hopf和“周期-2”不稳定性的上下铣削的实验验证[31]。他们报告了使用从单自由度挠曲基加工平台记录的每转一次采样位移信号观察到的“一种周期三重现象”[31]。
半解码、时间有限元分析和多频率等方法，也展示了铣削稳定图中的不稳定性[32-36]。在参考文献[37]中，使用半解码方法显示，除了最高速度稳定性叶瓣之外，“周期-2”分支在次级Hopf叶瓣内呈现闭合的，透镜状的曲线。同时准周期（次级Hopf）和“周期-2”也观察到分支行为。据报道，这种“组合”行为发生在“周期-2”叶瓣以上的不稳定的轴向切割深度。另外，观察到“周期-3”不稳定性，并且注意到，具有“周期-3”（或更高）的这种“周期性振颤”总是发生在次级Hopf稳定性极限之上。相同的组[38]报道了准周期性次级Hopf），“周期-2”， “周期-3”， “周期-4”，以及组合准周期和“周期-2”抖动，这取决于两个自由度动态系统的主轴速度-轴向深度值。在参考文献中进行扰动分析[39]。识别次要Hopf和“周期-2”不稳定性。此外，实施数值积分以构建用于所选择的主轴速度的分叉图，其示出了当轴向深度增加时从稳定操作到准周期性颤振的转变。Stepan等人在2005年继续探讨碾磨行为的非线性方面[40]。他们描述了稳定的“周期-2”运动，其中刀具在每个齿周期中不接触工件（即使在没有跳动的情况下）。例如，对于双槽刀具，每转只有一个齿接触工件;他们将这种情况称为“飞越效应”，并且包括这些提出的稳定和不稳定的“周期-2”振荡的分支图。
Zatarain等人首先研究了螺旋角对“周期-2”不稳定性的影响[41]。 他们发现，根据螺旋角度，次级Hopf叶内的闭合的、镜片状的曲线能改变它们的尺寸和形状。他们还发现这些即使在最高速度稳定性叶中（与不考虑螺旋角时的结果相反），也可以出现稳定性的闭合岛。这项工作在参考文献[42]中继续，作者强调，在轴向深度等于刀齿的轴向节距，运动方程自动变成时滞微分方程，所以周期两不稳定是不可能的。Patel等人使用时间有限元方法研究了上下铣削中的螺旋效应[43]。
时域仿真，周期采样和庞加莱图
铣削中的强迫函数由旋转刀具上的每个齿到工件材料/从工件材料的周期性进入和离开限定。这种周期性的强迫函数描述的是齿通过频率（即主轴转速和齿数的乘积），并且激励刀具和/或工件运动。引入时间延迟是因为前一个齿留下的表面影响当前齿的切屑厚度 时域仿真包括时间延迟的数值结果和运动的二阶微分方程，但是相对于分析或半分析，稳定性预测技术比较占用计算时间[44]。
为了减少执行时间，在这里应用新的“预定义”方法。在该技术中，在时间步长模拟循环外部描述每个时间步长处的切割器角度和标称切片厚度值。该方法的具体步骤如下，具体流程见图-1。
- 通过将主轴转速（电阻符号）除以dt来确定每个时间步长中的刀具旋转角度d；
- 计算每一个齿周期的步数S（例如具有四个齿的刀具的pi;/2rad旋转，使用d和齿数Nt，即S=2pi;/Nt*d）；
- 为单个齿定义以步长d增加齿角的矢量；
- 将向量Nt的值传递到到单一向量phi;中，phi;描述了刀具一转的所有齿角；
- 基于径向确定切割进入/退出角度深度和上或下铣削条件；
- 使用ftsintheta;计算单个齿的切屑厚度矢量，其中ft是每齿进给量。如果齿角不受这些角度的限制，则切屑厚度进入设定为零；
- 将向量Nt复制到单个向量h中，该向量描述了刀具旋转一周的角度相关的标称芯片厚度值；
- 指定模拟的刀具旋转数R；
- 将矢量phi;和h以及R复制到两个矢量phi;sim和hsim，它们为整个模拟定义刀具角度和标称芯片厚度值；
在预定义这两个矢量之后，在完成对S、Nt、R（对于每个时间步长在所选择的转数上一次）定义下的索引i下的单个循环内使用以下步骤完成模拟。
图1 时域仿真的流程图
- 如果hsin（i）中的数值大于零，则计算垂直于切割面的当前振动：n（i）=x(i-1)sinsim（i）-y（i-1）cossim（i）, 其中i是循环索引，x/y是A是来自刀具变形浅的偏转时间步长，用n（i）
- 计算瞬时切片厚度，h（i）=hsim（i） n（i-s）-n（i），其取决于正常振动下的（i）值和之前（i-s）的齿数。
- 如果h（i）的值大于零，则使用Ft=ktcbh（i） kteb和Fn=kncbh（i) kneb计算切向和法向切削力分量，其中b是切削的轴向深度，k项是切削力系数（下标c表示切割，下标e表示边缘或摩擦）。通过Fx（i）=Ft cossim（i） Fnsinsim（i）和Fy（i）=Ft sinsim（i）—Fn cossim（i）得出这些力在x和y方向上的分力。 具体参见图2。
- 如果h（i）的值小于或等于零，则将x和y方向上的分力进行归零处理。注意，该步骤包括当振动水平足够大使得齿离开切口（在这种情况下，切片厚度为负）时发生的非线性情况。
- 根据x和y方向上的分力大小，计算出x和y方向上的加速度大小：ẍ（i）=[Fx（i）-cxẋ（i-1）-kxx（i-1）]/mx和ӱ（i）=[Fy（i）-cyẏ（i-1）-kyy（i-1）]/my，其中mx/y是模态质量，cx/y是粘性阻尼，kx/y是刚度值。
- 使用欧拉积分计算当前速度：ẋ（i）=ẋ（i-1） ẍ（i）*dt和ẏ（i）=ẏ（i-1） ӱ（i）*dt。这个固定的步骤数值积分方案具有提供的时间步长足够小的强大特点，同时其他的方案策略也可以交替使用。
- 由x（i）=x（i-1） ẋ（i）*dt和y（i）=y（i-1） ẏ（i）*dt计算出当前位移。
图2 切割力几何示意图
法向和切线方向切削力Fn和Ft；固定x和y方向，以及旋转法线方向n；角度phi;限定了齿角。刀具进给是向右的工具顺时针旋转，轴向深度是在z方向。
这个简单的描述可以扩展到包括：
（1）螺旋角——轴向切削深度被分割成多个具有宽度db的切片，其中每个切片相对旋转到下一个角度db*tan/r，这取决于螺旋角upsih;和刀具半径r；
（2）多种刀具模式——x和y方向上的力用于计算每种刀具模式（由模态参数表示）的加速度，速度和位移，并将结果在每个方向上求和；
（3）柔性工件——x和y方向上的力也用于再次通过数值确定工件偏转积分，以及相对工件振动用于计算瞬时芯片厚度；
（4）切削齿的跳动——切屑厚度的更新受当前齿的跳动的控制；
（5）不等齿间距——修改齿角矢量以考虑实际齿距。
用于铣削动力学的强大的查询工具是庞加莱图，其中绘制了刀具（或工件）位移与速度图，然后每个齿周期采样一次。该采样确定了运动的同步性（响应）与切割力（激励）。用于稳定切削条件，仅存在强制振动和采样点重复的每个齿通道。另一方面，对于不稳定切削，没有观察到单个点的重复，并且采样点的特征识别不稳定的类型：次级Hopf或周期-n分支。
作为示例，在考虑对称的单自由度动态5％径向浸入式铣削，主轴转速为30,000rpm。模态参数是：721Hz自然频率，0.009粘性阻尼比，105N/m刚度。切割器具有一个齿，45°螺旋角和8mm直径。 铝合金切削力系数为：ktc=604*10^6N/m2，knc=223*10^
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用于时域铣削自动稳定性识别的新度量
Andrew Honeycutt1 Tony L. schmitz2
（1.机械工程与工程科学系，北卡罗来那大学 大学城的9201大道，夏洛特，NC 28223 ahoney15@uncc.edu；2.机械工程与工程科学系，北卡罗来那大学 大学城的9201大道，夏洛特，NC 28223 tony.schmitz@uncc.edu）
【摘 要】一种自动建立时域铣削模拟信号的稳定性极限的新的度量被提出，它基于周期性的采样数据，因为稳定的切口表现出受迫振动，所以采样点呈现周期循环。另一方面，用于不稳定切割的周期性采样点不对每个齿通道重复。度量利用该差异来定义对于稳定切割的名义上为零的数值和对于不稳定的切割大于零的数值。该度量被描述并应用于数值和实验结果。
【关键词】铣削，稳定性，庞加菜截面，时域模拟
【文章编号】DOI: 10.1115/1.4032586
引言
加工动力学在文献中备受关注有如下原因：
（1）加工动力学与制造业息息相关；
（2）加工动力学提出了用于描述系统行为的二阶时滞微分方程所需的解决方案，提出了具有挑战性的建模机会。特别地，许多学者使用时域解析数值、半解析数值来研究基于所选择的操作参数（通常是主轴速度和切片宽度）的稳定和不稳定（颤振）切削条件的预测。
本研究的目的是建立稳定和不稳定的行为之间自动区分铣削过程的时域仿真的度量。该方法基于铣削信号的周期采样，并且从使用庞加莱图来研究非线性动力学中的状态空间轨道。本文结构如下。首先，提供关于铣削稳定性预测的背景信息；第二，演示了周期采样和庞加莱图的应用从新的有效的时域铣削模拟的结果。第三，提出了新的稳定性度量。第四，将实验结果与模拟进行比较。最后，提出结论。
背景
在科学和工程领域，新的见解通常伴随着一连串的后续研究活动和相应的出版物。这些见解往往是对研究团体的催化剂，通常导致新的发现，改进对基本现象的理解，以及增强建模能力。对于机械加工，其快速进展的时期开始于19世纪中叶[1]。在此期间，二阶时滞微分方程首次用于描述自激振动[2]。其中“波纹再生”被提升为反馈机制（时滞项），在切割表面结合的瞬时振动状态决定了目前的切片厚度、力水平，和相应的振动响应[3–6]。这项工作通过分析算法产生了现在众所周知的稳定性叶瓣图，将主轴速度芯片宽度域分成稳定和不稳定行为的区域[5-17]。
在1998年，类似的步骤开始在机械加工中产生。戴维斯等人使用每转一次的采样来表征切削工具运动（使用一对正交电容探针测量）的同步性与刀具在铣削中的旋转[18]。他们观察到传统的准周期颤振能与Hopf分支或Neimark-Sacker分支产生周期性时间延迟微分方程的联系。然而，它们还在部分径向浸没铣削期间记录“周期-3”的刀具运动（即以三个刀具旋转的周期重复的运动）。他们指出，这种行为“与现有理论不一致”[18]。2000年，戴维斯等人进一步检查高度中断加工的稳定性[20]。他们开发了一个两阶段图来进行描述：（1）由分析解决方案控制的非切割运动；和（2）在使用近似（具有动量变化的固定刀具位置）的切削期间的运动。他们得出这样一个结论：当切削时间较短时，最佳稳定主轴转速的数量翻了一番。铣削实验得出了新的、低径向浸渍的最佳速度。
2001年，Moon和Kalmar-Nagy在机械加工中回顾了“复杂，不稳定和混沌动力学的预测”[19]。 他们列出了对非线性行为的各种贡献者，包括由于大振幅振动和工件材料本构关系造成的工具-工件接触的损失，并强调了非线性动力学方法在以前的研究中的应用[21-26]。 他们还指定使用相空间方法（例如庞加莱图）来识别加工过程动力学中的变化。
时域仿真是探索铣削行为的强大工具[27,28]。 例如，Zhao和Balachandran实施时域模拟，其中包括工具 - 工件接触和再生的损失，研究铣削[29]。他们确定了次级Hopf分支，并建议对于低径向浸润，“周期加倍分支被认为发生”[29]。 它们包括用于在两个主轴转速下限制切割范围的轴向深度的分支图，以展示两种分支类型。
Davies等人扩展了它们在2002年的初始工作，为高度中断的加工提出了第一个分析稳定性边界[30]。 它基于将切割过程建模为具有时间延迟的简谐振子，并且遵循之前描述的两阶段图概念[20]。他们使用麦克风信号的频率内容来确定次Hopf分支和“周期-2”（或周期加倍或翻转）不稳定性的存在。 也提供了次要Hopf和“周期-2”不稳定性的上下铣削的实验验证[31]。他们报告了使用从单自由度挠曲基加工平台记录的每转一次采样位移信号观察到的“一种周期三重现象”[31]。
半解码、时间有限元分析和多频率等方法，也展示了铣削稳定图中的不稳定性[32-36]。在参考文献[37]中，使用半解码方法显示，除了最高速度稳定性叶瓣之外，“周期-2”分支在次级Hopf叶瓣内呈现闭合的，透镜状的曲线。同时准周期（次级Hopf）和“周期-2”也观察到分支行为。据报道，这种“组合”行为发生在“周期-2”叶瓣以上的不稳定的轴向切割深度。另外，观察到“周期-3”不稳定性，并且注意到，具有“周期-3”（或更高）的这种“周期性振颤”总是发生在次级Hopf稳定性极限之上。相同的组[38]报道了准周期性次级Hopf），“周期-2”， “周期-3”， “周期-4”，以及组合准周期和“周期-2”抖动，这取决于两个自由度动态系统的主轴速度-轴向深度值。在参考文献中进行扰动分析[39]。识别次要Hopf和“周期-2”不稳定性。此外，实施数值积分以构建用于所选择的主轴速度的分叉图，其示出了当轴向深度增加时从稳定操作到准周期性颤振的转变。Stepan等人在2005年继续探讨碾磨行为的非线性方面[40]。他们描述了稳定的“周期-2”运动，其中刀具在每个齿周期中不接触工件（即使在没有跳动的情况下）。例如，对于双槽刀具，每转只有一个齿接触工件;他们将这种情况称为“飞越效应”，并且包括这些提出的稳定和不稳定的“周期-2”振荡的分支图。
Zatarain等人首先研究了螺旋角对“周期-2”不稳定性的影响[41]。 他们发现，根据螺旋角度，次级Hopf叶内的闭合的、镜片状的曲线能改变它们的尺寸和形状。他们还发现这些即使在最高速度稳定性叶中（与不考虑螺旋角时的结果相反），也可以出现稳定性的闭合岛。这项工作在参考文献[42]中继续，作者强调，在轴向深度等于刀齿的轴向节距，运动方程自动变成时滞微分方程，所以周期两不稳定是不可能的。Patel等人使用时间有限元方法研究了上下铣削中的螺旋效应[43]。
时域仿真，周期采样和庞加莱图
铣削中的强迫函数由旋转刀具上的每个齿到工件材料/从工件材料的周期性进入和离开限定。这种周期性的强迫函数描述的是齿通过频率（即主轴转速和齿数的乘积），并且激励刀具和/或工件运动。引入时间延迟是因为前一个齿留下的表面影响当前齿的切屑厚度 时域仿真包括时间延迟的数值结果和运动的二阶微分方程，但是相对于分析或半分析，稳定性预测技术比较占用计算时间[44]。
为了减少执行时间，在这里应用新的“预定义”方法。在该技术中，在时间步长模拟循环外部描述每个时间步长处的切割器角度和标称切片厚度值。该方法的具体步骤如下，具体流程见图-1。
- 通过将主轴转速（电阻符号）除以dt来确定每个时间步长中的刀具旋转角度d；
- 计算每一个齿周期的步数S（例如具有四个齿的刀具的pi;/2rad旋转，使用d和齿数Nt，即S=2pi;/Nt*d）；
- 为单个齿定义以步长d增加齿角的矢量；
- 将向量Nt的值传递到到单一向量phi;中，phi;描述了刀具一转的所有齿角；
- 基于径向确定切割进入/退出角度深度和上或下铣削条件；
- 使用ftsintheta;计算单个齿的切屑厚度矢量，其中ft是每齿进给量。如果齿角不受这些角度的限制，则切屑厚度进入设定为零；
- 将向量Nt复制到单个向量h中，该向量描述了刀具旋转一周的角度相关的标称芯片厚度值；
- 指定模拟的刀具旋转数R；
- 将矢量phi;和h以及R复制到两个矢量phi;sim和hsim，它们为整个模拟定义刀具角度和标称芯片厚度值；
在预定义这两个矢量之后，在完成对S、Nt、R（对于每个时间步长在所选择的转数上一次）定义下的索引i下的单个循环内使用以下步骤完成模拟。
图1 时域仿真的流程图
- 如果hsin（i）中的数值大于零，则计算垂直于切割面的当前振动：n（i）=x(i-1)sinsim（i）-y（i-1）cossim（i）, 其中i是循环索引，x/y是A是来自刀具变形浅的偏转时间步长，用n（i）
- 计算瞬时切片厚度，h（i）=hsim（i） n（i-s）-n（i），其取决于正常振动下的（i）值和之前（i-s）的齿数。
- 如果h（i）的值大于零，则使用Ft=ktcbh（i） kteb和Fn=kncbh（i) kneb计算切向和法向切削力分量，其中b是切削的轴向深度，k项是切削力系数（下标c表示切割，下标e表示边缘或摩擦）。通过Fx（i）=Ft cossim（i） Fnsinsim（i）和Fy（i）=Ft sinsim（i）—Fn cossim（i）得出这些力在x和y方向上的分力。 具体参见图2。
- 如果h（i）的值小于或等于零，则将x和y方向上的分力进行归零处理。注意，该步骤包括当振动水平足够大使得齿离开切口（在这种情况下，切片厚度为负）时发生的非线性情况。
- 根据x和y方向上的分力大小，计算出x和y方向上的加速度大小：ẍ（i）=[Fx（i）-cxẋ（i-1）-kxx（i-1）]/mx和ӱ（i）=[Fy（i）-cyẏ（i-1）-kyy（i-1）]/my，其中mx/y是模态质量，cx/y是粘性阻尼，kx/y是刚度值。
- 使用欧拉积分计算当前速度：ẋ（i）=ẋ（i-1） ẍ（i）*dt和ẏ（i）=ẏ（i-1） ӱ（i）*dt。这个固定的步骤数值积分方案具有提供的时间步长足够小的强大特点，同时其他的方案策略也可以交替使用。
- 由x（i）=x（i-1） ẋ（i）*dt和y（i）=y（i-1） ẏ（i）*dt计算出当前位移。
图2 切割力几何示意图
法向和切线方向切削力Fn和Ft；固定x和y方向，以及旋转法线方向n；角度phi;限定了齿角。刀具进给是向右的工具顺时针旋转，轴向深度是在z方向。
这个简单的描述可以扩展到包括：
（1）螺旋角——轴向切削深度被分割成多个具有宽度db的切片，其中每个切片相对旋转到下一个角度db*tan/r，这取决于螺旋角upsih;和刀具半径r；
（2）多种刀具模式——x和y方向上的力用于计算每种刀具模式（由模态参数表示）的加速度，速度和位移，并将结果在每个方向上求和；
（3）柔性工件——x和y方向上的力也用于再次通过数值确定工件偏转积分，以及相对工件振动用于计算瞬时芯片厚度；
（4）切削齿的跳动——切屑厚度的更新受当前齿的跳动的控制；
（5）不等齿间距——修改齿角矢量以考虑实际齿距。
用于铣削动力学的强大的查询工具是庞加莱图，其中绘制了刀具（或工件）位移与速度图，然后每个齿周期采样一次。该采样确定了运动的同步性（响应）与切割力（激励）。用于稳定切削条件，仅存在强制振动和采样点重复的每个齿通道。另一方面，对于不稳定切削，没有观察到单个点的重复，并且采样点的特征识别不稳定的类型：次级Hopf或周期-n分支。
作为示例，在考虑对称的单自由度动态5％径向浸入式铣削，主轴转速为30,000rpm。模态参数是：721Hz自然频率，0.009粘性阻尼比，105N/m刚度。切割器具有一个齿，45°螺旋角和8mm直径。 铝合金切削力系数为：ktc=604*10^6N/m2，knc=223*10^
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