确定机器性能损失的数学模型外文翻译资料

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确定机器性能损失的数学模型

威廉·努埃拉，泰洛·斯特克尔布

摘要

对于复杂机器的专业用户和私人用户来说，这是一个众所周知的现象:在大多数情况下，这些机器不能提供它们的全部性能。实际实现的性能和基准测试中获得的一些最大性能之间的差异在不同的用例之间有所不同，但在任何情况下都会对最终的差距提出关键问题。是否有可能通过改变机器设计或工艺特性来降低这种明显的低效率，以提高最终用户的满意度并确认机器投资的理由？

在这篇文章中，我们提出了一种基于几何和随机模型的性能损失原因的新的系统推导和汇编，这可能有助于分析和优化现实场景中复杂机器的平均性能。

关键词: 随机模型，性能损失，可变性，灵活性，机器设计，OEE

请注意:在整个文本中所做的更改和主要更改用蓝色标记。

1。 正式介绍

在许多行业中，使用复杂机器的生产过程面临着机器的某些宣传的最大可实现性能与实际数字之间的巨大差距。在农业中，可以观察到40-50%的性能差异[1]。在其他行业，数字有所不同，但仍然相当可观。在林业中，损耗接近35% [2]，在纺织业中约为40% [3]，在机械工程中约为30% [4]，在洗衣店中接近30% [5]。另一方面，在半导体行业，损失只有大约10% [6，7]。

因此，最大性能和实际性能之间的差距，尤其是复杂机器的性能差距是一个普遍现象，但其大小因行业而异[8]。然而，用作最大性能指标的值在任何情况下都是通过严格控制的执行环境中的基准来获得的。

显然，这种性能差距的存在给机器的最终用户以及这些机器的制造商带来了问题。对于前者来说，这种差距主要表现为令人讨厌的投资浪费，而后者则面临着与这种明显的低效率有关的几个严重问题。必须对影响因素进行系统分析，机器本身的设计及其开发过程可能也需要优化。

在本文中，我们通过提供一个简明但足够通用的数学模型来解决内部和外部对机器性能的影响，从而扩展了描述和分析机器性能的现有工作。基于该模型，可以解释性能损失的原因，并提出限制性能损失的方法。

文章进行如下。第一，在Sec。2我们介绍了与量化动态环境中机器性能问题相关的工作，并确定了剩余的未决问题。基于此，在Sec。我们给出了导致我们的模型的基本假设，然后使用部分来自经典分析的基本概念来分析机器的性能。通过这种方式，我们获得了最大值附近性能的近似值。第二步(秒。4)我们使用随机分析对多次运行的结果进行平均，以模拟实际情况中报告的数字。这就产生了一个通用的性能差距公式，专门用于证券交易委员会的简单情况。5.基于Sec中的这些结果。6对两个真实世界的场景进行了数值研究。对模型及其含义和结论的讨论使文章完整。

2。 相关著作

对工业系统、其过程和机器性能的研究由来已久。在整个过程的层次上，有许多方法可以模拟它们的性能。例如，经济研究使用数据包络分析[9，10]等工具处理决定过程效率的一般关系，而统计过程控制[11]则侧重于产出分布的最初时刻，以量化过程的绩效。但是众所周知，通过像金曼近似这样的陈述，过程的可变性对时间行为有着至关重要的影响[12，13，15]。因此，对过程执行中的变化的影响进行了研究[14]。另一方面，对在这些过程中运行的单台机器的性能行为的密切调查通常是在非常详细的层面上进行的[16，17]，或者是通过生产率和整体设备效率(OEE)等现象测量来进行的[18]。

虽然生产率通常被定义为产出与投入价值的比率，但这种方法是基于不同损失的平均值乘以原始设备效率开始的[19，20，21]。使用OEE的标准定义，其值可以写成单位时间内平均实际无缺陷输出与平均预期输出的比率[19，22]，因此两个值密切相关。然而，与整个过程的性能类似，机器的性能值强烈依赖于影响机器处理环境的外部设置和机器的活动配置[23，24，25]。尤其是第一个因素可能表现出很强的可变性[26，27]，因此实际性能值基本上成为随机变量。

因此，机器性能的解释模型必须考虑两个方面:第一，外部可变性的重要性和机器对扰动的内部反应能力，第二，性能值的随机性质。目前对机器性能建模的方法通常局限于一个方面，要么是随机性质及其相关的高阶矩[28]，要么是外部可变性[29]或内部灵活性[31，30]的影响。

在德国前沿集群中，致力于开发柔性制造系统的是OWL [32]，作者对单个机器的性能进行了第一次初步分析，重点是环境可变性的重要性，但仅使用半定量假设来描述这种可变性的一阶值[22]。因此，这种方法缺乏一个简洁而通用的内在随机性数学模型。在一个改进的模型中，像可变性，特别是灵活性这样的相关术语应该被更精确、更普遍地定义，以便能够直接应用于现实场景。此外，该模型应该足够灵活，以通过外部扰动的任意概率分布来模拟过程环境中的可变性。在下一节中，将介绍一种针对机器性能损失的扩展数学模型的方法。

3。 机器性能损失

为了模拟机器的性能，我们从教科书中通常的性能定义开始:性能是每单位时间的工作[33]。按照业务流程的说法，机器在运行过程中会产生一些输出。因此，与前面的部分一致，我们将机器在短时间间隔t内的性能p(t)定义为

. (1)

例如每小时生产的谷物量、每分钟清洗的衣物量、每秒生产的晶片量等。然而，瞬时性能通常不太重要。大多数情况下，使用一些平均性能。平均值可以通过几种方式获得，但通常要求相同或相似的任务(如收割田地)要执行多次。请注意，如果忽略质量问题，这个数量与通常的OEE定义成正比。由于这些问题只会降低实际感知的性能，因此我们下面的分析与最小性能损失有关。实际上，只会出现更大的差距。

在下文中，我们假设机器在处理其任务期间提供的性能不会随时间本身而变化:在观察期间，机器没有显示出磨损或退化的迹象，并且不会故意以低于最佳可能速度的速度运行。所以根据Sec的说法。我们从一个简单的模型开始，在这个模型中，由于环境的变化和机器配置的变化，机器的测量性能会发生变化。准确的说，我们假设机器的执行环境可以用单个变量x isin; R来参数化。想想田地的坡度或作物的湿度、衣物的污染程度或制造晶片所需的硅的质量等。

然而，特别复杂的机器的性能一般也取决于机器的内部状态[24]。我们将通过机器中活动的配置来表示这种状态。这里我们用一个简单的实数c isin; R来建模构型。例子可以是农业机械的旋转式割草机的调整、洗涤程序的速度或层的生产步骤。根据第二节中给出的区别。2因此，我们的简单入口点由下式给出

p(t) = p(x(t)，c(t)) (2)

其中推广到高维空间是直接的。

此外，我们引入了另外两个假设。首先，我们假设对于特定的环境和配置(xmax，cmax)，所有x，c都有一个最大性能pmax ge; p(x，c):

pmax = p(xmax，cmax)。(3)

这是通常在严格控制的基准中努力争取并在营销中使用的性能。

其次，我们假设每个环境x0都存在一个最优配置copt，因此

p(x0，copt(x0)) ge; p(x0，c) (4)

对于所有c和任意x0。当然，这应该意味着copt(xmax) = cmax。请注意，尽管最佳配置的存在似乎是合理的，但这一假设并不意味着该配置实际上是活动的。例如，在现代农业机械中，大约有50个配置参数和许多传感器值，因此在这个高维配置空间中识别给定环境的最优配置可能需要时间，并且根本不能保证找到全局最优。

除了这些由机器现实世界行为驱动的弱假设之外，性能函数p可以是环境和配置的任意函数。为了简化问题，我们首先看它的最大值pmax附近的性能函数。这里我们可以展开

高阶项 (5)

用p(x，c) [35]，(...)。^{t表示转置，x = x xmax，c = c Cmax。}在两个变量的简单情况下，我们通过part;u = part;upart;和忽略高阶项得到

(6)

= pmaxsigma;x2prod;x2sigma;C2prod;C2 2sigma;xcprod;xprod;c (7)

其中我们定义和sigma;xc =

.

对于接下来的步骤，我们进一步简化，并不失一般性地假设xmax = cmax = 0.在该参数化中，最佳曲线copt(x)由必要条件/= 0决定。因此，R3中最佳曲线copt的嵌入是

(8)

这些量描绘在图2中。1.

我们现在将机器M相对于x的特异性sigma;M，x2定义为

. (9)

特异性与性能函数的曲率密切相关，并且模拟了当改变环境参数x时机器经历的最小性能损失。因此，它是对机器灵活性的一种衡量[25]:一台具有较大特异性的机器只有在非常接近xmax的环境中才能表现出最佳性能，而非特异性的机器则能够通过调整配置在所有/许多环境中提供最大性能。“专用性”符号的选择是由交易成本理论[36]推动的，它衡量转移和重用对象的可能性。具有低特异性的对象通常易于在不同的环境中重用。另一方面，具有高特异性的对象需要额外的工作才能被重用。在交易成本理论中，这项工作可以用一个对象在不同的情况下，而不是在它的目标场景中(“第一最佳使用”)所经历的价值损失来量化。有时这种损失被称为准租金[37]。

现在，考虑一台机器执行其任务的典型时间行为，如收割田地(图。2). 为了再次提高性能，环境x(t)的变化通常需要触发配置的自适应。实际配置可能会达到最佳配置，可能会有人为或机器引起的延迟，也可能根本没有延迟。最终的性能在任何情况下都等于或小于最佳性能。相对于其最大性能，t0时刻的性能损失由下式给出

pmax(t) = pmax p(x(t)，c(t)) (10)

= pmax popt(x，copt(x)) popt(x，copt(x))-p(x，c) (11)

= ∮PS ∮Pc (12)

演出 功能

图1:性能函数和最大性能值附近的最佳配置曲线

图2:环境的简化时间行为(x(t))，真实和最优配置(creal(t)和creal(t))和性能(p)。描述了最大、最佳和实际实现的性能。

因此，这种损失由两个因素决定。首先，环境x的变化通常会导致性能降低，因为机器不能以超过最佳的性能运行。这种损失由特异性决定。第二个因素prod;Pc = popt p衡量时间t时最佳性能和实际性能之间的差异。例如，如果机器需要一些时间来调整到新的最佳配置，或者如果根本不能确定或达到新的最佳配置，这种差异就会出现，在高维参数空间中可能就是这种情况。

结合情商。(12)带eqs。我们得到了中间结果

pmax(t) = pmax p(x，copt(x)) p(x，copt(x))-p(x，c) (13)

= ∮PS ∮Pc (14)

= sigma;M，x2 x2 ∮Pc (15)

对于机器的瞬时性能损失。(15)仅适用于最大性能附近。请注意，专注于性能差异非常类似于OEE方法，类似地将不同的输出值联系起来，参见。秘书。2.

4。 性能损失的随机描述

等式中给出的差距。(13)描述了机器在特定执行相关任务期间发现的瞬时性能差异，如图1所示。2.然而，当谈到机器的性能时，通常隐含着某种平均。我们通过首先定义由路径xi;(t) = (x(t)，c(t))描述的一个过程执行期间的平均性能损失来捕捉这种平均

(16)

其中tf是执行的结束时间，ts是设置为零的开始时间，不失一般性。

当然，下次运行相同或可比的任务时，通常会获得不同的值:再次收获相同的田地或清洗相同类型的衣物，我们预计详细的动态会有所不同。因此，基本上机器工作的业务流程必须被视为一个随机过程，带有实现xi;(t) [38]。情商。(16)因此是随机积分，并取决于路径xi;(t)。在本文中，我们将假设路径的行为足够良好，从而保证了这个积分的存在。总时间tf = tf(xi;)是停止时间的一个例子，因此是路径相关的随机变量[39]。

为了使数学保持简单，我们另外假设xi;(t)是沿路径连续的，因此图1所示的表示。2只是一个近似值，大多数标准积分定理都成立。

为了进一步参考，我们注意到我们可以表示积分方程。(16)以稍微不同的形式。回归情商。(1)我们得到一次执行的总输出

(17)

另一方面，当以我们获得的最高性能执行相同的任务时

(18)

对于所有路径xi;，tmax le; tf。等式。(17)和(18)产量

(19)

积分方程。(16)因此可以写成

(20)

t = TF tmaxge;0。

为了得到一个只依赖于机器而不依赖于单个路径的表达式，我们现在假设机器在重复执行给定任务时会采取许多路径。对于这些路径，假设路径xi;的概率分布w(xi;)存在。因此，所有可能路径的平均是通过加权路径积分来完成的，对于任意函数g(xi;) [40]，我们用hg(xi;)i = R Dxi; w(xi;)g(xi;)来表示加权路径积分。该路径积分测量在多次执行类似任务时经历的平均性能损失。当然，w(xi;)的存在和相应的路径积分也远非微不足道[40]。然而，为了避免本出版物中这些复杂的数学问题，我们可以把路径积分看作是在几个离散时间点测量的路径符号的形式简化:在大多数情况下，p的测量是在n个离散时间进行的，因此路径积分简化为一个公共的n维积分。

结合统计和几何结果方程。(13)、(16)和(20)我们最终得到了机器路径和系综平均性能损失的主要结果

(21)

(22)

(23)

其中第二个等式为。(22)仅适用于最大性能附近。请注意，最后一个等式意味着，由于环境变化和次优配置管理造成的平均性能损失随着最佳性能的增长而增加。以降低的性能运行时，完成同一任务所需的剩余时间与停止时间的关

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