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3.1 用sigma;，eta;和theta;表示莫尔-库伦准则 6
扩展莫尔-库伦准则对延性断裂的应用
Yuanli.Bai Tomasz.Wierzbicki
摘要:本文重新对莫尔-库伦准则的断裂特性进行了研究，目的是描述各向同性无裂纹固体的延性断裂。这个标准已广泛用于岩土力学中，因为它正确地考虑了静水压力以及Lode角参数的影响。结果表明这两个参数对于表征地质材料的断裂至关重要，也控制延性金属的断裂。（Bai和Wierzbicki 2008；Xue 2007； Barsoum 2006；Wilkins等人1980）。莫尔-库伦标准的局部形式被变换、扩展到球面坐标系，其中轴的坐标分别是等效应变对裂缝，应力三轴度和归一化的Lode角度参数。对于成比例的载荷断裂表面显示为的不对称函数。进行详细的参数研究来证明模型参数对断裂位置的影响。在研究中发现莫尔-库伦断裂轨迹几乎准确地预测了材料延性与应力三轴性的外延衰变，这与Rice和Tracey（1969）的理论分析，Hancock和Mackenzie（1976）和Johnson和Cook（1985）的经验方程一致。莫尔-库伦准则还预测接近抛物线的Lode角依赖性的形式。使用两种材料（2024-T351铝合金和TRIP RA-K40/70（TRIP690）高强度钢板）的试验结果来校准和验证所提出的M-C断裂模型。莫尔-库伦断裂模型的另一个优点是它唯一地预测断裂表面的取向。表明单位法向量与断裂面的方向余弦是莫尔-库伦准则中“摩擦”系数的函数。现象学和物理声学莫尔-库伦准则标准具有很大的潜力用作为预测韧性断裂的工程工具。
关键词：莫尔-库伦准则、延性断裂、3D断裂轨迹、裂纹方向
引言
莫尔-库伦断裂标准（Coulomb 1776；Mohr 1914）已广泛用于岩土力学（例如Zhao（2000）；Palchik（2006））和其他相对脆性材料（例如Lund和Schuh 2004））。这是一个物理健全和简单的骨折模型。这个模型的基础和应用可以在许多教科书，专著和研究论文中找到。作为基于应力的标准，莫尔-库伦模型对于材料具有良好的分辨率，所以其在弹性范围或小应变可塑性（例如岩石，土壤，混凝土等）下失效。
最近已有几个成功的应用该模型预测陶瓷在静态和动态荷载下的断裂（Fossum和Brannon2006）。莫尔-库伦准则是SanDia GeoModel的一个特例（Fossum和Brannon 2005）。莫尔-库伦模型的独特特征是对Lode角度参数的显式依赖，其在几乎所有现有的韧性断裂模型中都缺失。本文的目的是证明莫尔-库伦准则对未裂化体的延性断裂的适用性。
与此同时，韧性断裂群落采取了不同的路径。在寻找基于物理的断裂模型中，确定并广泛研究了空洞的成核，生长和凝聚的机制。根据McClintock（1968），Rice和Tracey（1969），Gurson（1975），Tvergaard和Needleman（1984）的基本工作，确定了延性碎裂主要受静水压力的影响。因此作为材料延展性度量断裂的等效应变取决于应力张量的第一不变量。这可以用断裂标准的混合应力-应变公式推定，因为在塑性范围内，应变的分辨率远大于应力，如图1所示。 Gurson-Tvergaard-Needleman（GTN）模型（Tvergaard,Needleman 1984）的另一个特征是它很好地描述了主要的拉伸断裂，其特征在于相对高的应力三轴性，但不能预测剪切断裂。目前正在尝试扩展空隙生长和合金模型以描述剪切断裂（Xue 2007；Nahshon和Hutchinson 2008）。莫尔-库伦准则是最大剪切应力断裂强度的延伸，因此它很适合预测剪切断裂。
与韧性断裂的“物理基础”模型平行，许多经验断裂模型在文献中获得了永久的地位（Cockcroft和Latham 1968；Hancock和Mackenie 1976；Wilkins等人1980；Johnson和Cook 1985；Bao和Wierzbicki 2004；Wierzbicki和Xue 2005；Bai和Wierzbicki 2008）。这些模型基于对散装材料和片材的广泛测试程序。Bao（2003），Bao和Wierzbicki（2004）报道了最全面的系列实验之一，包括无切口和缺口圆棒的拉伸试验，镦锻试验和剪切试验。最近Wierzbicki等人（2005a），在组合张力，剪切和压缩载荷下对特殊设计的蝴蝶样本进行了一系列断裂试验。Barsoum和Faleskog（2007）发表了拉伸和扭转荷载框架中管状试样的双轴断裂试验结果，而Korkolis和Kyr- iakides（2008）研究了6260-T4铝管的断裂受到内压和轴向张力或压缩。所有这些最近的测试已经证明材料延展性取决于应力三轴度和Lode角参数。这两个效应实际上是由M-C模型捕获的，如本文所示。
图 1 应变和应力参数的不同分辨率质量：应力参数在弹性区域具有良好的分辨率，并且应变参数在塑性区域中具有良好的分辨率
莫尔-库伦标准的特定情况是最大剪切应力标准。Lee（2005）已经表明，最大剪应力标准预测了2024-T351铝合金的平面应力断裂，见图2。Wierzbicki等人（2005b）报道了最大剪应力标准与其他模型的比较。最大剪切应力断裂标准的一个主要缺点是漏失压力依赖性，莫尔-库伦准则消除了这个缺点。为了提高地质断裂预测的分辨率，莫尔-库伦准则在单调加载假设下被转换并扩展到基于应变的表示进行参数研究以更好地了解这个裂缝模型。两种材料的实验结果，2024-T351铝合金（Bao 2003；Bao和Wierzbicki 2004；Wierzbicki等人2005b）和TRIP RA-K40 / 70钢板，用于验证新形式的莫尔-库伦准则。
图 2 最大剪应力断裂标准在平面应力条件下延性断裂中的应用（Lee 2005；Wierzbicki等人2005b）
应力状态的表征
应力张量的三个不变量分别定义为
其中[S]是偏应力张量，定义为
是身份张量，，和表示主应力,其中假定。注意参数
在压缩时为正，在张力上为正。它使用无量纲静水压力eta;（由下式定义）是方便的
通常称为三轴性参数的已经广泛用于关于韧性断裂的文献中（McClintock 1968；Rice和Tracey 1969；Hancock和Mackenzie 1976；Mackenzie等人1977；Johnson和Cook 1985；Bao 2003）。第二个重要参数是Lode角，其与归一化的第三偏应力不变量相关
图 3 主应力空间中的三种类型的坐标系
从上式可以看出，标准化的第三偏应力不变量可以用Lode角表示（参见Malvern（1969），Xu和Liu（1995），ABAQUS 2005；推导在第3.1节）。由于Lode角的范围为，的范围为。图3显示了Lode角的几何表示。
从图3中可以想到三种类型的坐标系来描述应力状态。首先是笛卡尔坐标系，第二个是圆柱坐标系，第三个是球坐标。等效应力sigma;与通过材料的应变硬化函数的等效应变ε有关。坐标phi;通过以下等式与应力三轴性eta;相关
因此的范围为。下面将参数称为Lode角参数。现在主应力空间中的每个应力矢量（或负载条件）的方向可以由上面定义的参数的集合来表征。它很容易显示（Wierzbicki和Xue 2005；Bai和Wierzbicki 2008）对应于轴对称张力，对应于广义剪切（或塑性平面应变）负载条件，并且对应于轴对称压缩或等双轴向张力。特别注意平面应力状态。由Wierzbicki和Xue（2005），Bai和Wierzbicki（2008）显示平面应力条件，唯一关联的参数和或相关
在本文中，莫尔-库伦模型将在球面坐标系中重新形成。
将莫尔-库伦变换到空间坐标系
考虑受到三个主应力，和的材料元素。在由单位法向量定义的任意切割平面处，剪切应力和相应的法向应力由下式确定
其中三个分量，和由约束。
莫尔-库伦断裂标准表明，当正常应力和剪切应力达到临界值，根据下式
其中，是材料常数。常数通常被称为“摩擦”系数，是剪切阻力。和的范围是 和。在的极限情况下，莫尔-库伦标准降低到最大剪切应力标准。
莫尔-库伦标准捕获延性断裂的适用性将在第8节中显示。为了找到在哪个切割平面上要满足莫尔-库伦标准，先要解决以下最大值问题：
回想到上面提到过的使用拉格朗日乘法的最大值问题的解是
其中，和分别是最大，中间和最小主应力的方向余弦。把式14代式12，莫尔-库伦准则可以用主应力表示，
条件是。上述断裂标准的平面应力表示如图20所示。鉴于莫尔-库伦标准相关的大量文献，对上述最大值问题的解决必须早先公布。然而本发明的作者未能找到关于该主题的任何参考，因此这里只给出最终结果。应当注意，断裂面的取向仅取决于摩擦系数，而断裂的开始由和控制。为了将莫尔-库伦准则转换为的空间，需要用，和表示主应力。类似的变换方程可以在例如Malvern（1969）中找到。然而对于符号的一致性和转换从3.1节的几何结构中可以推导出来。
用sigma;，eta;和theta;表示莫尔-库伦准则
主应力和主偏移台可以在偏平面（平面）上表示，如图1所示。注意由于偏平面和主轴之间的倾斜角度，所有的分量被缩放（参见图3）。从几何构造可以容易地获得偏离原理的表达式应力和，
图 4 在偏平面（平面）上的主应力，偏应力,等效应力和Lode角
应当注意偏差主应力的约束自动满足。如式16所示可以用，和表示三个主应力。
由于Lode角的范围为，可以证明式18中的三个主应力成立。使用式18也可以证明标准化的第三偏差不变量xi;和表示的Lode角theta;的关系早于式6。此外通过使用上述变换公式可以容易地证明平面应力的条件（公式9）。
把式18代入式15可以得出用，和表示莫尔-库伦准则，
这种裂缝包含在归一化应力不变量的空间中形成表面，这也是“球形”应力坐标系。
扩展塑性模型
如图1中所解释如果使用应变表示，则检测韧性断裂的开始的分辨率更好。此外断裂是具有大应力梯度的局部现象。没有简单的方法来测量应力张量的分量，并从测试中直接评价。如果等效应力用其他可测量参数表示则克服了这个困难。
等效应力和等效应变之间的功率类型关系所基于的二次产出条件不足以正确地预测材料屈服强度和塑性流动的方向。Hosford（1972）提出了一个具有一个参数k的非二次收益函数，
式20分别降低到k =1的von Mises yield条件和k→infin;的Tresca yield轨迹。指数2k的实际值可以调整为适合双轴测试的实验数据。例如引用2k=8拟合一类铝合金的初始屈服表面。对各向同性和各向异性固体和片材的Hosford屈服条件的进一步扩展可以在论文中找到Karafillis和Boyce（1993），Barlat等人（2007）。
最近的实验结果已经表明（Bai和Wierzbicki 2008；Yang等人2009；Gao等人2009）在金属可塑性中应当考虑流体静压力和Lode角参数。.Bai和Wierzbicki（2008）提出硬化规则用压力和Lode角依赖性的形式，
其中A是材料常数，n是应变硬化指数，，，和是描述材料塑性的压力依赖性和Lode角依赖性的参数。总的来说六个参数定义塑性模型。式21中的参数gamma;与Lode角度参数有关，
通过适当地选择模型参数可以获得一般屈服函数的一些极限情况。但是通过固定参数=1和= 0，在非二次霍斯福德产量函数和产量函数的
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